1、专题十四空间向量在立体几何中的应用本试卷满分96分，考试时间80分钟解答题(本大题共8小题，每小题12分，共96分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1(2019厦门模拟)如图，在四棱锥PABCD中，平面ABCD平面PAD，ADBC，ABBCAPAD，ADP30，BAD90，E是PD的中点(1)证明：PDPB；(2)设AD2，点M在线段PC上且异面直线BM与CE所成角的余弦值为，求二面角MABP的余弦值解(1)证明：BAD90，BAAD，平面ABCD平面PAD，交线为AD，BA平面PAD，BAPD，在PAD中，sinAPD1，APD90，APPD，BAAPA，PD平面PAB，PB平面PAB
2、，PDPB.(2)如图，以P为坐标原点，过点P垂直于平面PAD的射线为z轴，射线PD为x轴，射线PA为y轴，建立空间直角坐标系，AD2，ABBCAP1，PD，P(0,0,0)，A(0,1,0)，B(0,1,1)，C，E，设，则，M，又，点M在线段PC上且异面直线BM与CE所成角的余弦值为，|cos，|，整理，得9236200，解得或(舍去)，M，设平面MAB的法向量m(x，y，z)，则取x2，得m(2，0)，由(1)知PD平面PAB，平面PAB的一个法向量为n(1,0,0)，cosm，n.二面角MABP的余弦值为.2. (2019天津高考)如图，AE平面ABCD，CFAE，ADBC，ADAB，
3、ABAD1，AEBC2.(1)求证：BF平面ADE；(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；(3)若二面角EBDF的余弦值为，求线段CF的长解依题意，可以建立以A为原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2)设CFh(h0)，则F(1,2，h)(1)证明：依题意，(1,0,0)是平面ADE的法向量，又(0,2，h)，可得0，又因为直线BF平面ADE，所以BF平面ADE.(2)依题意，(1,1,0)，(1,0,2)，(1，2,2)设n(x，y，z)为平面BDE的法向量，则即不
4、妨令z1，可得n(2,2,1)因此有cos，n.所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.(3)设m(x1，y1，z1)为平面BDF的法向量，则即不妨令y11，可得m.由题意，有|cosm，n|，解得h.经检验，符合题意所以，线段CF的长为.3(2019宜宾二诊)如图，四边形ABCD是菱形，EA平面ABCD，EFAC，CF平面BDE，G是AB的中点(1)求证：EG平面BCF；(2)若AEAB，BAD60，求二面角ABED的余弦值解(1)证明：设ACBDO，连接OE，OF，四边形ABCD是菱形，EA平面ABCD，EFAC，CF平面BDE，OECF，EFAOCO，OF平面ABCD，设OAa，OB
5、b，AEc，以O为坐标原点，OA，OB，OF所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则E(a,0，c)，G，B(0，b,0)，C(a,0,0)，F(0,0，c)，(0，b，c)，(a,0，c)，设平面BCF的法向量为n(x，y，z)，则取zb，得n，nc(c)b0，EG平面BCF，EG平面BCF.(2)设AEAB2，BAD60，OB1，OA，A(，0,0)，B(0,1,0)，E(，0,2)，D(0，1,0)，(，1,2)，(，1,0)，(0，2,0)，设平面ABE的法向量n(x1，y1，z1)，则取x11，得n(1，0)，设平面BDE的法向量m(x2，y2，z2)，则取x22，得m
6、(2,0，)，设二面角ABED的平面角为，则cos.二面角ABED的余弦值为.4(2019天津市河西区二模)在RtABC中，ABC90，tanACB.已知E，F分别是BC，AC的中点将CEF沿EF折起，使C到C的位置且二面角CEFB的大小是60.连接CB，CA，如图：(1)求证：平面CFA平面ABC；(2)求平面AFC与平面BEC所成二面角的大小解(1)证法一：F是AC的中点，AFCF.如图，设AC的中点为G，连接FG.设BC的中点为H，连接GH，EH.易证：CEEF，BEEF，BEC即为二面角CEFB的平面角BEC60，而E为BC的中点，易知BEEC，BEC为等边三角形，EHBC.EFCE，
7、EFBE，CEBEE，EF平面BEC.而EFAB，AB平面BEC，ABEH，即EHAB.由，BCABB，EH平面ABC.G，H分别为AC，BC的中点，GHABFE，四边形EHGF为平行四边形FGEH，FG平面ABC，又FG平面AFC，平面AFC平面ABC.证法二：如图，建立空间直角坐标系，设AB2.则A(0,0,2)，B(0,0,0)，F(0,2,1)，E(0，2,0)，C(，1,0)设平面ABC的法向量为a(x1，y1，z1)，(0,0,2)，(，1,0)，令x11，则a(1，0)，设平面AFC的法向量为b(x2，y2，z2)，(0,2，1)，(，1，2)，令x2，则b(，1,2)ab0，平
8、面AFC平面ABC.(2)如图，建立空间直角坐标系，设AB2.则A(0,0,2)，B(0,0,0)，F(0,2,1)，E(0,2,0)，C(，1,0)显然平面BEC的法向量m(0,0,1)，设平面AFC的法向量n(x，y，z)，(，1，2)，(0,2，1)，n(，1,2)cosm，n，由图形观察可知，平面AFC与平面BEC所成二面角的平面角为锐角平面AFC与平面BEC所成二面角的大小为45.5(2019四平二模)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ADEF为正方形，ADBC，ADAB，AD2BC2.(1)证明：平面ADEF平面ABF；(2)若平面ADEF平面ABCD，二面角ABCE为30，三棱
9、锥ABDF的外接球的球心为O，求异面直线OC与DF所成角的余弦值解(1)证明：因为四边形ADEF为正方形，所以ADAF，又ADAB，ABAFA，所以AD平面ABF，因为AD平面ADEF，所以平面ADEF平面ABF.(2)因为平面ADEF平面ABCD，ADAF，平面ADEF平面ABCDAD，所以AF平面ABCD.由(1)知AD平面ABF，又ADBC，则BC平面ABF，从而BCBF，又BCAB，所以二面角ABCE的平面角为ABF30.以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，如图所示，则B(2，0,0)，D(0,2,0)，C(2，1,0)，E(0,2,2)，F(0，0,2)因为三棱锥ABDF的外
10、接球的球心为O，所以O为线段BE的中点，则O的坐标为(，1,1)，(，0，1)，又(0，2,2)，则cos，故异面直线OC与DF所成角的余弦值为.6(2019辽宁朝阳模拟)在如图所示的几何体ABCDEF中，平面ABCD平面ABEF，四边形ABCD和四边形ABEF都是正方形，且边长为2，Q是AD的中点(1)求证：直线AE平面FQC；(2)求二面角AFCB的大小解(1)证明：AFBE，ADBC，AF与AD交于点A，BE与BC交于点B，平面ADF平面BCE，又EFABCD，几何体ADFBCE是三棱柱又ABBE，ABBC，BEBCB，AB平面BCE，故几何体ADFBCE是直三棱柱又四边形ABCD和四边
11、形ABEF都是正方形，EFABDC且EFABDC，四边形DCEF为矩形连接DE，交FC于点P，连接PQ.P是DE的中点，Q是AD的中点，PQ是三角形DAE的中位线，PQAE.AE平面FQC，PQ平面FQC，直线AE平面FQC.(2)平面ABCD平面ABEF，ABBC，BC平面ABEF，BCBE.AB，BC，BE两两垂直以B为坐标原点，BA，BC，BE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Bxyz，则B(0,0,0)，Q(2,1,0)，F(2,0,2)，C(0,2,0)，A(2,0,0)，(0,2,0)，(2,0,2)设平面BFC的法向量为m(x，y，z)，则取x1，则z1，m(1,0
12、，1)同理可得平面AFC的法向量n(1,1,0)，cosm，n，记二面角AFCB的大小为，依题意知为锐角，cos，解得，即二面角AFCB的大小为.7. (2019天津市重点中学高三联考)如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD.(1)求证：PD平面PAB；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由解(1)证明：因为平面PAD平面ABCD，ABAD，所以AB平面PAD，所以ABPD.又因为PAPD，PAABA，所以PD平面PAB.(2)取AD
13、的中点O，连接PO，CO.因为PAPD，所以POAD.又因为PO平面PAD，平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD.因为CO平面ABCD，所以POCO.因为ACCD，所以COAD.如图建立空间直角坐标系Oxyz.由题意得，A(0,1,0)，B(1,1,0)，C(2,0,0)，D(0，1,0)，P(0，0,1)设平面PCD的法向量为n(x，y，z)，则即令z2，则x1，y2，所以n(1，2,2)又(1,1，1)，所以cosn，所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.(3)设M是棱PA上一点，则存在0,1使得.因此点M(0,1，)，(1，)因为BM平面PCD，所以BM平面PCD，当且仅当n
14、0，即(1，)(1，2,2)0，解得.所以在棱PA上存在点M使得BM平面PCD，此时.8(2019呼和浩特市质量普查调研考试)如图，平面四边形ABCD，ABBD，ABBCCD2，BD2，将ABD沿BD翻折到与平面BCD垂直的位置(1)证明：CD平面ABC；(2)若E为AD的中点，求二面角EBCA的大小解(1)证明：平面四边形ABCD，ABBD，ABBCCD2，BD2，平面ABD平面BCD，ABBD，平面ABD平面BCDBD，AB平面BCD，ABCD，又AC2AB2BC28，AD2AB2BD212，AD2AC2CD212，ACCD，ACABA，CD平面ABC.(2)因为AB平面BCD，如图，以B为坐标原点，在平面BCD中，过B作BD的垂线为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A(0,0,2)，C(，0)，D(0,2，0)，E是AD的中点，E(0，1)，(，0)，(0，1)，令平面BCE的法向量为n(x，y，z)，则取x1，得n(1，1，)，CD平面ABC，平面ABC的一个法向量为(，0)，|cosn，|，由图可知二面角EBCA为锐角，二面角EBCA的大小为45.