1、宜昌市葛洲坝中学20142015学年度第二学期高二年级期中考试试卷 数学（理科）试 题 考试时间：2015年4月一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确。请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑。）1复数= （ ）A B C0 D2.一个物体的运动方程为其中的单位是米,的单位是秒,那么物体，在秒末的瞬时速度是（ ）米/秒A2 B4 C.6 D.83. 函数单调递增区间是（ ）A B C D4若，则的值为()A. 6 B. 4 C. 3 D. 2.5. 在用数学归纳法证明时，则当时左端应在的基础上加上的项是（ ）A BC D6.在弹性限度内，弹
2、簧所受的压缩力与缩短的距离按 胡克定律计算.今有一弹簧原长，每压缩需的压缩力，若把这根弹簧从压缩至（在弹性限度内），外力克服弹簧的弹力做了（ ）功（单位：）A. B. C.0.686 D.0.987.直线与曲线相切于点（2,3），则的值为（ ）A.-3 B.9 C.-15 D.-78.已知，观察下列各式：，类比有(),则( )A B C D9下列说法正确的有几个（ ）（1）回归直线过样本点的中心；（2）线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点，中的一个点；（3）在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越宽，其模型拟合的精度越高；（4）在回归分析中，为0.98的模型比为0.80的模型拟合的效果好
3、.A.1 B.2 C.3 D. 410.已知实数a，b满足a1，b1，则函数yx3ax2bx5有极值的概率为()A. B. C. D.11. 定义在R上的可导函数f(x),且f(x)图像连续,当x0时, ,则函数的零点的个数为（）A.1B.2C.0 D.0或2.Co12. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”。某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。设函数，则=( ) A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在答题卡中相应的位置上。）O-
4、241-1-21211.若是纯虚数，则实数的值为_ 12.观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第7个等式为 。13.如右图，是定义域为R的函数的图象，是函数的导函数，则不等式的解集为 14.已知函数是定义在R上的奇函数，且时，函数取极值1;若对任意的，均有 成立，则s的最小值为_三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）15（本小题10分）已知函数求的最小正周期及对称中心;若,求的最大值和最小值.16.(本小题满分10分) 在等差数列中，其前项和为，等比数列 的各项均为正数，公比为，且，
5、.（1）求与；（2）设数列满足，求的前项和.17（本小题满分12分）（第17题）如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，面，设为中点，点在线段上且 （1）求证：平面； （2）设二面角的大小为，若，求的长18. （本小题满分12分）一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1，2，3，4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为x1，x2，记X(x13)2+(x23)2(1)分别求出X取得最大值和最小值时的概率；(2)求X的分布列及数学期望19.（本小题满分12分）已知椭圆的右焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，O为坐标原点 （1）求椭圆C的方程； （2）设经过
6、点M（0，2）作直线A B交椭圆C于A、B两点，求AOB面积的最大值20（本小题满分14分）已知， ，其中是无理数且，.（1）若，求的单调区间与极值；（2）求证：在（1）的条件下，；（3）是否存在实数，使的最小值是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.题号123456789101112答案ACCADACDBCCB11._1_ 12.13. 14.15.解: 的最小正周期为, 令,则, 的对称中心为; 当时,的最小值为;当时,的最大值为 16.解（1）设的公差为.因为所以3分解得 或（舍），.5分故 ，. 7分（2）由（1）可知，8分所以.故17.解：（）由，得，又面，所以以分别为轴建立坐标系
7、如图则设，则 设，得：解得：，所以 .5分所以,，设面的法向量为，则，取因为，且面，所以平面 .9分（）设面法向量为， 因为，所以，取 . 11分由，得，所以 .解：（）设，则，知.18.解：(1)掷出点数x可能是：1，2，3，4.则x3分别得：2，1，0，1.于是(x3)2的所有取值分别为：0，1，4.因此X的所有取值为0，1，2，4，5，8.当x11且x21时，X(x13)2(x23)2可取得最大值8，P(X8).当x13且x23时，X(x13)2(x23)2可取得最小值0，P(X0). 4分(2)由(1)知X的所有取值为0，1，2，4，5，8. 5分P(X0)P(X8)；当X1时，(x1
8、，x2)的所有取值为(2，3)，(4，3)，(3，2)，(3，4)，即P(X1)；当X2时，(x1，x2)的所有取值为(2，2)，(4，4)，(4，2)，(2，4)，即P(X2)；当X4时，(x1，x2)的所有取值为(1，3)，(3，1)，即P(X4)；当X5时，(x1，x2)的所有取值为(2，1)，(1，4)，(1，2)，(4，1)，即P(X5).所以X的分布列为012458 19.过点且与轴垂直的直线方程为，代入椭圆方程，有 ，解得. 于是，解得. 又，从而.所以椭圆的方程为 （4分）（）设，.由题意可设直线的方程为.由消去并整理，得.由，得.由韦达定理，得.点到直线的距离为， .设，由，
9、知.于是.由，得.当且仅当时等号成立.所以面积的最大值为20.解：（1）当a=1时， （1分）令，得x=1.当时，此时单调递减； （2分）当时，此时单调递增. （3分）所以的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，e），的极小值为. （4分）（2）由（1）知在上的最小值为1. （5分）令，所以. （6分）当时，在上单调递增， （7分）所以.故在（1）的条件下，. （8分）（3）假设存在实数a，使（）有最小值-1. 因为， （9分）当时，在上单调递增，此时无最小值；（10分）当时，当时，故在（0，a）单调递减；当时，故在（a，e）单调递增； （11分）所以，得，满足条件； （12分）当时，因为，所以，故在上单调递减.，得（舍去）； （13分）综上，存在实数，使得在上的最小值为-1. （14分）
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