江西省南昌市八一中学、洪都中学等七校2020-2021学年高二数学下学期期中联考试题 理.doc

1、江西省南昌市八一中学、洪都中学等七校2020-2021学年高二数学下学期期中联考试题 理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）1复数（i为虚数单位)的虚部为（ ）A B C D2下列说法正确的是（ ）A有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；B有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；C有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥；D棱台各侧棱的延长线交于一点.3已知，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列判断正确的是（ ）A若，则直线与一定平行B若，则直线与可能相交、平行或异面C若，则直线与一定垂直D若，则直线与一定平行4

2、在空间中，给出下面四个命题，则其中正确命题的个数为（ ）过平面外的两点，有且只有一个平面与平面垂直；若平面内有不共线三点到平面的距离都相等，则；若直线与平面内的无数条直线垂直，则；两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线A0 B1 C2 D35如右图，正方体的棱长为1，E，F分别为线段， 上的点，则三棱锥的体积为（ ） A B C D6如图，正方体的棱长为，下面结论错误的是（ ）A平面 B平面C异面直线与所成角为 D三棱锥体积为7如下图，在下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形是（ ）A B C D8已知正方体中，点是线段的中点，且平面平面，则

3、直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD9九章算术中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵中，则在堑堵中截掉阳马后的几何体的外接球的体积是A B C D10已知复数满足，则的最大值是（ ）A5 B9 C7 D311某几何体的三视图如右图所示，则其外接球的表面积为（ ）A B C D12已知正方体的棱长为2，分别是棱，的中点，点在四边形内（包括边界）运动，则下列说法不正确的是（ ）A若是线段的中点，则平面平面B若在线段上，则与所成角的取值范围为C若平面，则点的轨迹的长度为D若平面，则线段长度的最小值为二、填空题（本大题共4

4、小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的母线与轴所成的角为_14已知正三棱锥中，是的中点，若三个侧面是直角三角形，则直线与直线所成的角的大小为_.15在正三棱锥中，则三棱锥外接球的表面积为_.16如图，在正方体中，点为上一动点（含端点），则下列四个结论：平面；平面平面；点到平面的距离为定值.其中一定正确的结论序号是_三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）如图，在三棱柱中，侧面底面，分别为棱和的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.18（12分）如图，在矩形中，E为的中点，

5、把和分别沿折起，使点B与点C重合于点P（1）求证：平面；（2）求二面角的大小19（12分）已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，其中点的极坐标为（1）求直线以及曲线的普通方程；（2）若直线与曲线交于、两点，求的值20（12分）如图直三棱柱在底面中，棱分别为的中点.（1）求证：平面；（2）.求异面直线、所成角的余弦值.21（12分）椭圆与椭圆有共同的焦点，且椭圆的离心率，点分别为椭圆的左顶点和右焦点，直线过点且交椭圆于两点，设直线的斜率分别为.（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在直线，使得，若存在，求出直线方程

6、；若不存在，说明理由.22（12分）已知函数（e是自然对数的底数，）（1）讨论函数极值点的个数，并说明理由；（2）若，求a的取值范围高二理科数学期中联考参考答案1 C 2.D 3C 4A 5C 6D 7A 8A 9B 10C 11C 12D1330 14 15 1617（1）取的中点，连接， 在中，因为，分别为，的中点，所以，且，在三棱柱中，又为棱的中点，所以且，从而四边形为平行四边形，于是，又因为面，面，所以平面.(5分）（2）证明：在中，因为，为的中点，所以，又因为侧面底面，侧面底面，且面，所以平面，又面，所以平面平面.(10分）18（1）在矩形中，有，由题意知：，而，平面；.(6分）（2

7、）过作于，连接，又平面，由（1）知：，而，所以平面，为二面角的平面角，而，则，.(12分）19（1）在的参数方程中消去参数可得，在曲线的参数方程中，可得，即，所以，直线的普通方程为，曲线的普通方程为；.(6分）（2）易知点，设直线的参数方程为（为参数），设点、对应的参数分别、，将直线的参数方程代入得，所以，.(9分）由于直线过，故.(12分）20（1）证明：在直三棱柱中为的中点，,N为的中点，易得连接，得.(6分）(2)连接交于点,作的中点分别为连接,则即为异面直线、所成的角易求得则在中，.(12分）21（1）由题意可知椭圆中，由离心率可得又知，所以椭圆的标准方程为.(4分）（2）右焦点，右顶

8、点，假设存在直线，满足若直线斜率不存在时，不合题意，舍去;设直线的方程为，联立方程化简得由题意易知恒成立.(7分）设直线与椭圆的两个交点为则所以即直线，化简得综上可知，存在直线，满足.（12分）22解（1）的定义域为，当时，在上单调递减，在上单调递增，有1个极值点；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，有2个极值点；当时，在上单调递增，没有极值点；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，有2个极值点；综上所述，当时，有1个极值点；当且时，有2个极值点；当时，没有极值点.（6分）（2）由，得，当时，即对恒成立，设，则设，则，在上单调递增，即，在上单调递减，在上单调递增，a的取值范围是.(12分）9