1、专题十二多面体与球本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分80分，考试时间50分钟第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2019福州二模)设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为4，球心到切面圆心的距离为3，则该西瓜的体积为()A100 B. C. D.答案D解析由题意知切面圆的半径r4，球心到切面的距离d3，所以球的半径R5，故球的体积VR353，即该西瓜的体积为.2(2019泸州二诊)三棱锥SABC中，SA底面ABC，若SAABBCAC3，则该三棱锥外接球的表面积为()A18 B. C
2、21 D42答案C解析由于ABBCAC3，则ABC是边长为3的等边三角形，由正弦定理知，ABC的外接圆的直径为2r2，由于SA底面ABC，所以ABC外接圆的过圆心的垂线与线段SA中垂面的交点为该三棱锥的外接球的球心，所以外接球的半径R，因此，三棱锥SABC的外接球的表面积为4R2421.故选C.3(2019衡水中学模拟)四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB平面BCD，BCD是边长为3的等边三角形，若AB2，则球O的表面积为()A4 B12 C16 D32答案C解析取CD的中点E，连接AE，BE，在四面体ABCD中，AB平面BCD，BCD是边长为3的等边三角形RtABCRtABD，AC
3、D是等腰三角形，设BCD的中心为G，作OGAB交AB的中垂线于O，则O为外接球的球心，BE，BG，外接球的半径R2.四面体ABCD外接球的表面积为4R216.故选C.4(2019沈阳市东北育才学校模拟)将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为()A B2 C3 D4答案B解析将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，设圆锥的底面圆的半径为R，则有2R3，所以R1，设圆锥的内切球的半径为r，结合圆锥和球的特征，可知内切球球心必在圆锥的高线上，设圆锥的高为h，因为圆锥的母线长为3，所以h2，所以，解得r，因此内切球的表面积S4r22.故选B.5(2019四川六市诊断性考试)
4、在空间直角坐标系Oxyz中，四面体ABCD各顶点的坐标分别为A(2,2,1)，B(2,2，1)，C(0,2,1)，D(0,0,1)，则该四面体外接球的表面积是()A16 B12 C4 D6答案B解析如图，在空间直角坐标系内画出A，B，C，D四个点，可得BAAC，DC平面ABC，因此可以把四面体ABCD补成一个棱为2的正方体，其外接球的半径R.所以外接球的表面积为4R212，故选B.6(2019福建适应性练习)已知三棱锥DABC的四个顶点均在球O的球面上，ABC和DBC所在的平面互相垂直，若AB3，AC，BCCDBD2，则球O的表面积为()A4 B12 C16 D36答案C解析如图所示，AB2A
5、C2BC2，CAB为直角，设过ABC的小圆面的圆心为O，则O为BC的中点，ABC和DBC所在的平面互相垂直，则球心在过DBC的圆面上，即DBC的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球的半径R2，球的表面积为S4R216，故选C.7(2019吉林市调研)已知圆锥的高为3，底面半径长为4，若一球的表面积与此圆锥的侧面积相等，则该球的半径长为()A5 B. C9 D3答案B解析圆锥的底面半径r4，高h3，圆锥的母线l5，圆锥的侧面积Srl20，设球的半径为R，则4R220，R，故选B.8(2019全国卷)已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC是边长为2的正三角
6、形，E，F分别是PA，AB的中点，CEF90，则球O的体积为()A8 B4 C2 D.答案D解析设PAPBPC2a，则EFa，FC，EC23a2.在PEC中，cosPEC.在AEC中，cosAEC.PEC与AEC互补，34a21，a，故PAPBPC.又ABBCAC2，PAPB，PBPC，PAPC，外接球的直径2R ，R，VR33.故选D.9(2019汕头市高三期末)在四面体ABCD中，AB1，BCCD，AC，当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为()A2 B3 C6 D8答案C解析AB1，BC，AC，由勾股定理可得AB2AC2BC2，所以ABC是以BC为斜边的直角三角形，且该三角形的
7、外接圆直径为BC，当CD平面ABC时，四面体ABCD的体积取最大值，此时，其外接球的直径为2R，因此，四面体ABCD的外接球的表面积为4R2(2R)26.故选C.10(2019沈阳质量监测)如图，四棱锥PABCD的底面为矩形，矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且球的表面积为16，点P在球面上，则四棱锥PABCD体积的最大值为()A8 B. C16 D.答案D解析因为球O的表面积是16，所以S4R216，解得R2.如题图，四棱锥PABCD底面为矩形且矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上设矩形的长、宽分别为x，y，则x2y2(2R)22xy，当且仅当xy时上式取等号，即
8、底面为正方形时，底面面积最大，此时S正方形ABCD2R28.点P在球面上，当PO底面ABCD时，POR，即hmaxR，则四棱锥PABCD体积的最大值为.11(2019江西新余四中、上高二中联考)如图所示，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O.E，F，G，H为圆O上的点，EAB，FBC，GCD，HDA分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起EAB，FBC，GCD，HDA使得E，F，G，H重合，得到四棱锥当正方形ABCD的边长变化时，所得四棱锥体积(单位：cm3)的最大值为()A3 B. C3 D.答案D
9、解析图形折起合并以后就是下图所示的四棱锥EABCD，设正方形ABCD的边长为a，取CD的中点M，连接EM，EO，OM，则|OM|，|EM|5，则|EO|，故四棱锥的体积为VSha2 .构造函数h(a)25a45a5，求导，得h(a)100a325a4，判定h(a)0,0a4，故h(x)在(0,4)递增，在其他区间递减；故当a4时，h(x)取得最大值，也就是V取得最大值，将a4代入，得到V.故选D.12(2019咸阳市高考模拟检测)已知矩形ABCD中，AB2AD2，E，F分别为AB，CD的中点，将四边形AEFD沿EF折起，使二面角AEFC的大小为120，则过A，B，C，D，E，F六点的球的表面积
10、为()A6 B5 C4 D3答案B解析画出图象如图所示其中O1，O2分别为正方形AEFD和BCFE的中心，OO1，OO2分别垂直于这两个平面由于OGO260，O2G，所以OO2，而O2CCE，所以球的半径OC，所以球的表面积为4OC25.故选B.第卷(非选择题，共20分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13(2019漳州质量监测)已知正四面体ABCD的外接球的体积为8，则这个四面体的表面积为_答案16解析将正四面体ABCD放在一个正方体内，设正方体的棱长为a，如图所示，设正四面体ABCD的外接球的半径为R，则R38，解得R.因为正四面体ABCD的外接球和正方体的外接球是同一个
11、球，则有a2R2，所以a2.而正四面体ABCD的每条棱长均为正方体的面对角线长，所以正四面体ABCD的棱长为a4，因此，这个正四面体的表面积为442sin16.14(2019哈尔滨市第三中学模拟)在四面体ABCD中，ABAD2，BAD60，BCD90，二面角ABDC的大小为150，则四面体ABCD外接球的半径为_答案解析因为BCD90，所以BCCD，设BD的中点为O2，则O2为BCD外接圆的圆心，由ABAD2，BAD60知，ABD为等边三角形，设ABD的外接圆的圆心为O1，连接AO2，则O1在线段AO2上，过O1，O2分别作平面ABD与平面BDC的垂线，交于点O，则O为四面体ABCD外接球的球
12、心，过O2在平面BCD内作O2EBD，交DC于点E，则AO2E150，所以AO2O60，又O1O2，所以OO11，连接OA，又AO1，所以OA.15(2019宝鸡中学高三第一次模拟)已知一个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为9的球O的表面上，且ABCDa，ACADBCBD，则a_.答案2解析由题意可知，四面体ABCD的对棱都相等，故该四面体可以通过补形补成一个长方体，如图所示设AFx，BFy，CFz，则，又429，可得xy2，a2.16(2019渭南一模)已知四面体PABC四个顶点都在球O的球面上，若PB平面ABC，ABAC，且AC1，ABPB2，则球O的表面积为_答案9解析由PB平面ABC，ABAC，可得图中四个直角三角形，且PC为PBC，PAC的公共斜边，故球心O为PC的中点，由AC1，ABPB2，PC3，球O的半径为，其表面积为9.
