1、3.带电粒子在匀强磁场中的运动课前自主学习1带电粒子在匀强磁场中的运动(1)运动轨迹：带电粒子(不计重力)以一定的速度v进入磁感应强度为B的匀强磁场时：当vB时，带电粒子将做_运动。当vB时，带电粒子将做_运动。匀速直线匀速圆周(2)圆周运动的轨道半径和周期：洛伦兹力提供向心力，即qvB。轨道半径r_。运动周期T_。带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期与粒子的_和_无关。2mvrmvqB2 rv2 mqB运动速率半径2带电粒子在有界匀强磁场中的运动(1)运动轨迹是一段圆弧。(2)对圆弧的研究方法：_、_。(3)带电粒子在有界磁场中的运动时间：t。T2mqB寻找圆心确定半径课堂合作探究主题一 带
2、电粒子在匀强磁场中的运动【实验情境】如图所示，观察洛伦兹力演示仪，当不存在磁场时观察电子的径迹，加上磁场之后，再观察电子的径迹。利用“洛伦兹力演示仪”观察电子束在磁场中的运动。【问题探究】(1)不加磁场时，电子束的运动轨迹有什么特点？提示：不加磁场时，电子枪射出的电子做匀速直线运动，径迹是一条直线。(2)给励磁线圈通电，在玻璃泡中产生沿两线圈中心轴线方向、由内指向外的匀强磁场时，电子束的径迹有什么特点？原因是什么？提示：径迹为圆周，原因是电子所受洛伦兹力的方向与速度方向垂直，不改变速度的大小，只改变速度的方向，洛伦兹力提供向心力，所以电子做匀速圆周运动。(3)保持电子束进入磁场的速度不变，改变
3、磁感应强度的大小，电子束的径迹有什么变化？说明了什么？提示：磁感应强度越大，半径越小，磁感应强度越小，半径越大，说明匀速圆周运动的半径与磁感应强度的大小有关。(4)保持磁感应强度的大小不变，改变电子束进入磁场的速度，电子束的径迹有什么变化？说明了什么？提示：速度越大，半径越大，速度越小，半径越小，说明匀速圆周运动的半径与速度的大小有关。【结论生成】1洛伦兹力的特点：由于洛伦兹力的方向总是与速度方向垂直，故洛伦兹力对粒子不做功。2带电粒子在匀强磁场中的运动：(1)运动特点：沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子，在磁场中做匀速圆周运动。洛伦兹力提供向心力。(2)半径和周期公式：由洛伦兹力提供向心
4、力，即 qvBmv2r，可得 rmvqB。周期 T2rv2mqB。由此可知带电粒子做匀速圆周运动的周期与速率 v 和半径 r 无关。【典例示范】【典例 1】(多选)在匀强磁场中，一个带电粒子做匀速圆周运动，如果又顺利垂直进入另一磁感应强度是原来磁感应强度 2 倍的匀强磁场中做匀速圆周运动，重力不计，则()A粒子的速率加倍，周期减半B粒子的速率不变，轨道半径减半C粒子的速率减半，轨道半径变为原来的14D粒子的速率不变，周期减半【解析】选 B、D。由 rmvqB 可知，磁场的磁感应强度加倍，带电粒子运动的半径减半，洛伦兹力不做功，带电粒子的速率不变，由 T2mBq可知，带电粒子运动的周期减半，故
5、B、D 选项正确。【典例 2】质量和电荷量都相等的带电粒子 M 和 N，以不同的速率经小孔 S 垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如图中虚线所示。下列表述正确的是()AM 带负电，N 带正电BM 的速率小于 N 的速率C洛伦兹力对 M、N 做正功DM 的运行时间大于 N 的运行时间【解析】选 A。根据左手定则可知 N 带正电，M 带负电，A 正确；因为 rmvBq，而 M 的半径大于 N 的半径，所以 M 的速率大于 N 的速率，B 错误；洛伦兹力不做功，C 错误；M 和 N 的运行时间都为 tmBq，D 错误。故选 A。【探究训练】1.(2021济宁高二检测)如图所示，虚线左侧的匀强磁场磁感应
6、强度为 B1，虚线右侧的匀强磁场磁感应强度为 B2，且 B12B2，当不计重力的带电粒子从 B1 磁场区域运动到 B2 磁场区域时，粒子的()A速率将加倍 B轨迹半径将减半C周期将加倍 D做圆周运动的角速度将加倍【解析】选 C。由公式 qvBmv2R，带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，则轨迹半径 RmvqB，周期 T2mqB，角速度 2T qBm，洛伦兹力不做功，B12B2，故由 B1 进入 B2 后 v 不变，R 加倍，T 加倍，减半，A、B、D 错误，C 正确。2p 质子(11 H)和 粒子(42 He)以相同的速率在同一匀强磁场中做匀速圆周运动，轨道半径分别为 Rp 和 R，周期分
7、别为 Tp 和 T，则下列选项正确的是()ARpR12 TpT12BRpR11 TpT11CRpR11 TpT12DRpR12 TpT11【解析】选 A。质子(11 H)和 粒子(42 He)带电荷量之比 qpq12，质量之比mpm14。由带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动规律，RmvqB，T2mqB，粒子速率相同，代入 q、m 可得 RpR12，TpT12，故选项 A正确。【补偿训练】如图所示，ab 是一弯管，其中心线是半径为 R 的一段圆弧，将它置于一给定的匀强磁场中，方向垂直纸面向里。有一束粒子对准 a 端射入弯管，粒子的质量、速度不同，但都是一价负粒子，则下列说法正确的是()A只有速度
8、大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管B只有质量大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管C只有质量和速度乘积大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管D只有动能大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管【解析】选 C。由 rmvqB 可知，在粒子处于相同的磁场和带有相同的电荷量的情况下，粒子做圆周运动的半径取决于粒子的质量和速度的乘积。主题二 带电粒子在有界磁场中的运动任务 1 探究带电粒子在有界磁场中的运动【实验情境】有界磁场主要包括：单边界的有界磁场(图甲)、双边界的有界磁场(图乙)，圆形有界磁场(图丙)。【问题探究】(1)带电粒子垂直进入有界磁场运动，有无边界对带电粒子的运动有什么影响？提示：粒子在有界磁场由于洛
9、伦兹力会做匀速圆周运动，由于磁场边界的影响，运动轨迹可能不再是一个整圆，而是一段圆弧。(2)带电粒子在有界磁场中运动的这段圆弧应该如何分析？提示：对于圆弧的分析主要有，找到这段圆弧的圆心、求出圆弧对应的半径，寻找这段圆弧对应的运动时间。任务 2 探究圆形有界磁场的几何关系【实验情境】如图所示，一个质量为 m、电荷量为 q 的带负电的粒子沿着磁感应强度为 B 的圆形有界磁场圆心的方向射入磁场(如图)，圆形有界磁场的半径为 r，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动。【问题探究】(1)画出带电粒子的运动轨迹(圆弧)，它有什么特点？提示：用左手定则判断洛伦兹力的方向，也就是圆心所在的直线。画出圆弧所对应的
10、圆，如图所示，由图中可知，两个圆相交，圆形磁场的半径正好是圆周运动的切线方向，也就是说粒子对着磁场圆心的方向(AO)射入磁场，离开磁场的方向也正好沿着背离磁场圆心的方向(OB)。(2)如果带电粒子运动圆弧所对的圆心角为，试分析带电粒子运动的轨迹半径和在磁场中的运动时间？提示：带电粒子穿过圆形磁场区域，画出运动轨迹，画好辅助线(如半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线、偏转角等)，由学过的几何知识可以得出，OAOOBO。圆形磁场的半径为 r，图中粒子做圆周运动的偏转角为、由几何关系可知，运动轨迹对应的圆心角也等于，由图可知，圆周运动的半径：Rrtan 2运动时间：t 2 TmqB。【结论生成】1带电粒
11、子在有界磁场中的运动分析方法(1)圆心的确定方法：两线定一点圆心一定在垂直于速度的直线上。如图甲所示，已知入射点 P 和出射点 M 的速度方向，可通过入射点和出射点作速度的垂线，两条直线的交点就是圆心。圆心一定在弦的中垂线上。如图乙所示，作 P、M 连线的中垂线，与其中一个速度的垂线的交点为圆心。(2)半径的确定：半径的计算一般利用几何知识解直角三角形。做题时一定要作好辅助线，由圆的半径和其他几何边构成直角三角形。由直角三角形的边角关系或勾股定理求解。(3)粒子在磁场中运动时间的确定：粒子在磁场中运动一周的时间为 T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为 时，其运动时间 t 360 T(或 t 2
12、 T)。当 v 一定时，粒子在磁场中运动的时间 tlv，l 为带电粒子通过的弧长。2带电粒子在磁场中运动的临界极值问题借助半径 R 和速度 v(或磁场 B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值。注意：(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。(2)当速度 v 一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。(3)当速率 v 变化时，圆心角大的，运动时间长。【典例示范】【典例 1】如图所示，有界匀强磁场边界线 SPMN，速率不同的同种带电粒子从S 点沿 SP 方向同时射入磁场。其中
13、穿过 a 点的粒子速度 v1 与 MN 垂直；穿过 b点的粒子速度 v2 与 MN 成 60角，设粒子从 S 运动到 a、b 所需时间分别为 t1 和 t2，则 t1t2 为(重力不计)()A13 B43 C11 D32【解析】选 D。如图所示，可求出从 a 点射出的粒子对应的圆心角为 90。从 b点射出的粒子对应的圆心角为 60。由 t 2 T，可得：t1t232，故选 D。【典例 2】(2020全国卷)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为 a和 3a 的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v 的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为 m，电荷量为
14、e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为()A.3mv2ae Bmvae C3mv4ae D3mv5ae【解析】选 C。电子从圆心沿半径方向进入磁场后做匀速圆周运动，为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，做匀速圆周运动的半径最大值为 r，如图所示，由勾股定理可得 a2r2(3ar)2，解得 r43 a，由洛伦兹力提供向心力qvBmv2r 得磁场的磁感应强度最小值 B3mv4ae，故选 C。【典例 3】一磁场宽度为 L，磁感应强度为 B，如图所示，一质量为 m、电荷量为q，不计重力的带电粒子，以某一速度(方向如图)射入磁场。若不使其从右边界飞
15、出，则粒子的速度应为多大？【解析】若要粒子不从右边界飞出，当达到最大速度时运动轨迹如图，由几何知识可求得半径 r，即 rr cos L，rL1cos ，又 Bqvmv2r，所以 vBqrmBqLm（1cos）。答案：vBqLm（1cos）【探究训练】1(2021全国乙卷)如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为 m、电荷量为 q(q0)的带电粒子从圆周上的 M 点沿直径 MON 方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为 v1，离开磁场时速度方向偏转 90；若射入磁场时的速度大小为 v2，离开磁场时速度方向偏转 60。不计重力，则v1v2 为()A12 B 33 C 32 D 3【解析
16、】选 B。带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力有：qvBmv2r，解得 rmvqB。设匀强磁场的圆形区域半径为 R，根据粒子射入磁场时的速度大小为 v1，离开磁场时速度方向偏转 90可知 r1R，且 r1mv1qB，射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场时速度方向偏转60可知r2 3 R，且r2mv2qB，则v1v2 r1r2 13 33，故选项 B 正确。2(多选)长为 l 的水平极板间有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B，板间距离也为 l，板不带电。现有质量为 m、电荷量为 q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直于磁感线以速度 v 水平射入磁场，欲使粒
17、子不打在极板上，可采用的办法是()A使粒子的速度 v5Bql4mC使粒子的速度 vBqlmD使粒子的速度Bql4m v5Bql4m【解析】选 A、B。如图所示，带电粒子刚好打在极板右边缘时，有 r21(r1l2)2l2，又 r1mv1Bq，所以 v15Bql4m，粒子刚好打在极板左边缘时，有 r2l4 mv2Bq，v2Bql4m。综合上述分析可知，选项 A、B 正确。3(多选)(2020天津等级考)如图所示，在 xOy 平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为 B 的匀强磁场，一带电粒子从 y 轴上的 M 点射入磁场，速度方向与 y 轴正方向的夹角 45。粒子经过磁场偏转后在 N
18、 点(图中未画出)垂直穿过 x 轴。已知 OMa，粒子电荷量为 q，质量为 m，重力不计。则()A.粒子带负电B粒子速度大小为qBamC粒子在磁场中运动的轨道半径为 aDN 与 O 点相距(2 1)a【解析】选 A、D。由题意可画出粒子的运动轨迹如图所示，通过左手定则可知，粒子带负电，故 A 正确；在三角形 OMO中，由几何关系可知粒子运动半径为2 a，又 Bqvmv2r，可知 v 2aBqm，故 B、C 错误；由几何关系得，ONr 22r(2 1)a，故 D 正确。4(2021重庆高二检测)如图，匀强磁场沿 z 轴正向，磁感应强度大小为 B，一质量为 m、带电量为 q 的粒子从 O 点沿 y
19、 轴正向以速度 v 进入磁场，不计粒子的重力。求：(1)沿 z 轴负方向看，粒子是顺时针运动还是逆时针运动；(2)粒子做圆周运动的半径与周期(要求写出推导过程)；(3)粒子第一次回到 x 轴上的坐标。【解析】(1)由左手定则可知粒子做逆时针运动。(2)令粒子做圆周运动的半径为 R，周期为 T，则有 qvBmv2R解得 RmvqB又 T2Rv，可得 T2mqB。(3)粒子第一次回到 x 轴的负半轴，坐标 x2R2mvqB故坐标为(2mvqB，0)。答案：(1)逆时针(2)mvqB 2mqB 推导过程见解析(3)(2mvqB，0)【补偿训练】如图所示，正六边形 abcdef 区域内有垂直于纸面的匀
20、强磁场。一带正电的粒子从f 点沿 fd 方向射入磁场区域，当速度大小为 vb 时，从 b 点离开磁场，在磁场中运动的时间为 tb，当速度大小为 vc 时，从 c 点离开磁场，在磁场中运动的时间为 tc，不计粒子重力。则()A.vbvc12，tbtc21Bvbvc21，tbtc12Cvbvc21，tbtc21Dvbvc12，tbtc12【解析】选 A。带正电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，运动轨迹如图所示，由几何关系得，rc2rb，b120，c60，由 qvBmv2r 得，vqBrm，则 vbvcrbrc12,又由 T2mqB、t 2 T 和 b2c 得 tbtc21，故选项
21、 A 正确，B、C、D 错误。【课堂小结】课堂素养达标1月球探测器在研究月球磁场分布时发现，月球上的磁场极其微弱。探测器通过测量运动电子在月球磁场中的轨迹来推算磁场强弱的分布。如图是探测器在月球上四个位置所探测到的电子运动轨迹的照片，设在各位置电子速率相同，且电子进入磁场时速度方向均与磁场方向垂直。则由照片可判断这四个位置中磁场最弱的是()【解析】选 D。电子在月球磁场中做匀速圆周运动的半径为 rmvqB，m、q、v 相同，则半径 r 与磁感应强度 B 成反比，由题图可看出，D 照片中电子轨迹半径最大，则磁感应强度 B 最小，即磁场最弱，故 D 正确。2(多选)有两个匀强磁场区域和，中的磁感应
22、强度是中的 k 倍。两个速率相同的电子分别在两磁场区域做圆周运动。与中运动的电子相比，中的电子()A运动轨迹的半径是中的 k 倍B加速度的大小是中的 k 倍C做圆周运动的周期是中的 k 倍D做圆周运动的角速度与中的相等【解析】选 A、C。设电子的质量为 m，速率为 v，电荷量为 q，则由牛顿第二定律得：qvBmv2RT2Rv由得：RmvqB，T2mqB 所以R2R1 B1B2 k，T2T1 B1B2 k根据 aqvBm，vR qBm可知a2a1 B2B1 1k，21 B2B1 1k，所以选项 A、C 正确，B、D 错误。3如图所示，在第象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对正、负粒子分别以相同速
23、率沿与 x 轴成 30角的方向从原点射入磁场，则正、负粒子在磁场中运动的时间之比为()A.12 B21 C1 3 D11【解析】选 B。正、负粒子在磁场中运动轨迹如图所示，正粒子做匀速圆周运动，在磁场中的部分对应圆心角为 120，负粒子做匀速圆周运动，在磁场中的部分对应圆心角为 60，故时间之比为 21。故选 B。4(多选)如图所示，在 MNQP 矩形区域中有一垂直纸面向里的匀强磁场，质量和电荷量都相等的带电粒子 a、b、c 以不同的速率从 O 点沿垂直于 PQ 的方向射入磁场，图中实线是它们的运动轨迹。已知 O 是 PQ 的中点，不计粒子的重力。下列说法中正确的是()A.粒子 c 带正电，粒
24、子 a、b 带负电B射入磁场时粒子 c 的速率最小C粒子 a 在磁场中运动的时间最长D若匀强磁场的磁感应强度增大，其他条件不变，则粒子 a 运动时间不变【解析】选 A、C。由左手定则知，粒子 c 带正电，粒子 a、b 带负电，A 正确；由图知，粒子a 在磁场中运动的轨迹半径最小，由 qvBmv2R 得粒子的速率 vqBRm，故射入磁场时粒子 a的速率最小，B 错误；由 T2mqB知，三个粒子在磁场中运动的周期相同，由题图知，粒子 a在磁场中运动轨迹所对圆心角最大，由 t 360 T 知，粒子 a 在磁场中运动的时间最长，C 正确；由 qvBmv2R 得粒子的轨迹半径 RmvqB，若匀强磁场的磁
25、感应强度 B 增大，其他条件不变，则粒子 a 的轨迹半径减小，仍从 OQ 边射出，它在磁场中运动的时间为 t12 TmqB，B增大，则 t 减小，D 错误。5如图，一个质量为 m，电荷量为q，不计重力的带电粒子从 x 轴上的 P(a，0)点以速度 v，沿与 x 轴正方向成 60角的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于 y 轴射出第一象限，求：(1)匀强磁场的磁感应强度 B；(2)带电粒子穿过第一象限的时间。【解析】(1)作出带电粒子做圆周运动的圆心和轨迹，由图中几何关系知：Rcos30a，得 R2 3a3Bqvmv2R，得 BmvqR 3mv2qa。(2)带电粒子在第一象限内运动时间t
26、120360 2mqB 4 3a9v。答案：(1)3mv2qa(2)4 3a9v【补偿训练】在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿x方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿y方向飞出。(1)请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷qm；(2)若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60角，求磁感应强度B多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？【解析】(1)由粒子的运动轨迹(如图)，利用左手定则可知，该粒子带负电荷。粒子由A点沿x方向射入，由C点沿y方向飞出，其速度方向改变了90，则粒子轨迹半径Rr，又qvBmv2r，则粒子的比荷qm vBr。(2)设粒子从D点飞出磁场，速度方向改变了60角，故AD弧所对圆心角为60，粒子做圆周运动的半径Rrtan30 3 r，又RmvqB，所以B 33 B，粒子在磁场中运动所用时间t16 T16 2Rv 3r3v。答案：(1)负电荷 vBr (2)33 B 3r3v