1、第八章第六讲A组基础巩固一、选择题1(2015福建)若双曲线E：1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|等于(B)A11B9C5D3解法一：依题意知，点P在双曲线的左支上，根据双曲线的定义，得|PF2|PF1|236，所以|PF2|639，故选B解法二：根据双曲线的定义，得|PF2|PF1|236，所以|PF2|3|6，所以|PF2|9或|PF2|3(舍去)，故选B2(2017浙江省台州中学高三10月月考数学试题)双曲线x21的两条渐近线夹角是(B)A30B60C90D130根据题意可知，双曲线的渐近线方程是yx，其倾斜角为，故两渐近线的夹角是，故选B3(
2、2015安徽)下列双曲线中，渐近线方程为y2x的是(A)Ax21By21Cx21Dy21对于A，令x20，得y2x；对于B，令y20，得yx；对于C，令x20，得yx；对于D，令y20，得yx.故选A求双曲线1或1的渐近线方程时，可令0或0.4(2017浙江省台州中学高三10月月考数学试题)过双曲线C：1的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为(A)A1B1C1D1由题意得，cr4，a2b216，而双曲线的渐近线方程为yx，故不防A(a，b)，(a4)2b216，联立方程组，从而可知a2，b2，双曲线的标
3、准方程是1，故选A在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容对渐近线：1.掌握方程；2.掌握其倾斜角、斜率的求法；3.会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数5(2017广东省揭阳市普宁市华侨中学高三上学期期末数学试题)设F1，F2分别为椭圆C1：1(ab0)与双曲线C2：1(a10，b10)的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，F1MF290，若椭圆的离心率e，则双曲线C2的离心率e1为(B)ABCD利用椭圆与双曲线的定义列出方程，通过勾股定理求解离心率即可解：由椭圆与双曲线的定义，知|MF1|MF2|2a，|MF1|MF2|2a，所以|MF1|aa1，|MF2|aa1
4、.因为F1MF290，所以|MF1|2|MF2|24c2，即a2a2c2，即()2()22，因为e，所以e1.故选B6(2015重庆高考)设双曲线1(a0，b0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点若A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为(C)ABC1D题意，A1(a,0)，A2(a,0)，B(c，)，C(c，)，A1BA2C，1，ab，双曲线的渐近线的斜率为1，故选C7(2016衡水模拟)已知F1，F2为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2(B)ABCD设|PF1|2|PF2|2m，则根据双
5、曲线的定义，可得m2a，|PF1|4a，|PF2|2a.双曲线C：x2y21，|F1F2|2a，cosF1PF2，故选B8(2016广西柳州一模)已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(B)A(1，)B(1，)C(1，1)D(1，)由题设条件可知ABF2为等腰三角形，只要AF2B为钝角即可，所以有2c，即2ac0，b0)的一条渐近线为2xy0，一个焦点为(，0)，则a_1_；b_2_.由题意知，渐近线方程为y2x，由双曲线的标准方程以及性质可知2，由c，c2a2b2，可得b2，
6、a1.10(2015新课标全国)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程为 y21.方法一：因为双曲线过点(4，)，且渐近线方程为yx，故点(4，)在直线yx的下方设该双曲线的标准方程为1(a0，b0)，所以解得故双曲线方程为y21.方法二：因为双曲线的渐近线方程为yx，故可设双曲线为y2(0)，又双曲线过点(4，)，所以()2，所以1，故双曲线方程为y21.11(2016北京)双曲线1(a0，b0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点若正方形OABC的边长为2，则a_2_.双曲线1的渐近线方程为yx，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，
7、由双曲线的对称性可得1.又正方形OABC的边长为2，所以c2，所以a2b2c2(2)2，解得a2.三、解答题12如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F1，F2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一支P，F1PF2，且PF1F2面积为2，双曲线的离心率为2，求该双曲线的标准方程.设双曲线为1(a0，b0)，则F1(c,0)，F2(c,0)，在PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，4c24a2|PF1|PF2|.又SPF1F22，|PF1|PF2|sin2.|PF1|PF2|8，4c24a2
8、8，c2a22，b2c2a22，又e2，c2a，4a2a22，a2，双曲线的标准方程为1.13已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，).(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：0；(3)在(2)的条件下求F1MF2的面积(1)x2y26(2)略(3)6(1)e，可设双曲线方程为x2y2(0)过点P(4，)，1610，即6.双曲线方程为x2y26.(2)方法一：由(1)可知，在双曲线中，ab.c2，F1(2，0)，F2(2，0)kMF1，kMF2.kMF1kMF2.点M(3，m)在双曲线上，9m26，m23.故kMF1kMF21，MF1M
9、F2.0.方法二：(32，m)，(23，m)，(32)(32)m23m2.M(3，m)在双曲线上，9m26，即m230.0.(3)F1MF2的底|F1F2|4，F1MF2的边F1F2的高h|m|，SF1MF26.B组能力提升1(2017重庆市西北狼教育联盟高三上学期12月月考数学试题)已知双曲线M：1(a0，b0)的一个焦点到一条渐近线的距离为c(c为双曲线的半焦距长)，则双曲线的离心率e为(C)ABCD3根据双曲线方程可得它的渐近线方程为bxay0，焦点坐标为(c,0)利用点到直线的距离，结合已知条件列式，可得b，c关系，利用双曲线离心率的公式，可以计算出该双曲线的离心率解：双曲线双曲线M：
10、1(a0，b0)的渐近线方程为bxay0，焦点坐标为(c,0)，其中c一个焦点到一条渐近线的距离为d，即7b22a2，由此可得双曲线的离心率为e.故选C2(2016开封模拟)从双曲线1(a0，b0)的左焦点F引圆x2y2a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|MT|与ba的关系为(C)A|MO|MT|baB|MO|MT|0，b0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使()0(O为坐标原点)，且|PF1|PF2|，则双曲线的离心率为(D)AB1CD1()0，()()0，220，OPOF2cOF1，PF1PF2，RtPF1F2中，|P
11、F1|PF2|，PF1F230.由双曲线的定义得PF1PF22a，PF2，sin30，2ac(1)，1，故选D4(2016山东)已知双曲线E：1(a0，b0)若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_2_.如图，由题意不妨设|AB|3，则|BC|2.设AB，CD的中点分别为M，N，则在RtBMN中，|MN|2c2，故|BN|.由双曲线的定义可得2a|BN|BM|1，而2c|MN|2，所以双曲线的离心率e2.5(2016江西横峰中学第一次联考)已知双曲线C：1(a0，b0)与圆O：x2y23相切，过C的左焦点且斜率为的直线也与圆O相切
12、.(1)求双曲线C的方程；(2)P是圆O上在第一象限内的点，过P且与圆O相切的直线l与C的右支交于A、B两点，AOB的面积为3，求直线l的方程(1)y21(2)yx(1)双曲线C与圆O相切，a，由过C的左焦点且斜率为的直线也与圆O相切，得c2，进而b1，故双曲线C的方程为y21.(2)设直线l：ykxm(k0，m0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)圆心O到直线l的距离d，由d，得m23k23.由得(3k21)x26kmx3m230，(*)则x1x2，x1x2.|AB|x2x1|.又AOB的面积S|OP|AB|AB|3，|AB|2.由2，得k1，m，此时(*)式0，x1x20，x1x20，直线l的方程为yx.