1、考点测试36基本不等式高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度考纲研读1.了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题一、基础小题1下列说法正确的是()A若a，bR，则2B若x0，则x24C若ab0，则abD若x2答案D解析对于A，当ab0时不成立；对于B，若x0，则x24，当且仅当x2时，等号成立，因此B项不成立；对于C，取a1，b2，ab3，所以C项不成立；对于D，若x2成立故选D.2不等式x2x对任意a，b(0，)恒成立，则实数x的取值范围是()A(2,0) B(，2)(1，)C(2,1) D(，4)(2，)答案C解析根据题意，由于不等式x
2、2x对任意a，b(0，)恒成立，则x2xmin，因为22，当且仅当ab时等号成立，所以x2x2，求解此一元二次不等式可知2x0，n0,2mn1，则的最小值为()A4 B2 C D16答案C解析由于m0，n0,2mn1，则(2mn)2，当且仅当n，m时取等号故选C.4设x0，则函数yx的最小值为()A0 B C1 D答案A解析yx2220，当且仅当x，即x时等号成立所以函数的最小值为0.故选A.5已知x0，y0，且4xyxy，则xy的最小值为()A8 B9 C12 D16答案B解析由4xyxy，得1，则xy(xy)14259，当且仅当，即x3，y6时取“”，故选B.6若3x2y2，则8x4y的最
3、小值为()A4 B4 C2 D2答案A解析3x2y2，8x4y23x22y224，当且仅当3x2y，即x，y时等号成立，8x4y的最小值为4.故选A.7已知向量a(1，x1)，b(y,2)，其中x0，y0.若ab，则xy的最大值为()A. B C1 D2答案B解析因为a(1，x1)，b(y,2)，ab，所以aby2(x1)0，即2xy2.又因为x0，y0，所以2xy2，当且仅当x，y1时等号成立，即22，所以xy，所以当且仅当x，y1时，xy取到最大值，最大值为.故选B.8若x0，y0，x2y1，则的最大值为()A. B C D答案C解析(x2y)5529，当且仅当即xy时取等号，所以max.
4、9已知函数f(x)cosx(0x2)，若ab，且f(a)f(b)，则的最小值为()A. B9 C18 D36答案A解析函数f(x)cosx(0x0，y0，x2y5，则的最小值为_答案4解析x0，y0，0.x2y5，224.当且仅当2，且x2y5，即x2，y或x3，y1时取等号的最小值为4.14(2018天津高考)已知a，bR，且a3b60，则2a的最小值为_答案解析由已知，得2a2a23b222，当且仅当2a23b时等号成立，由a3b，a3b60，得a3，b1，故当a3，b1时，2a取得最小值.15(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储
5、费用为4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_答案30解析设总费用为y万元，则y64x4240，当且仅当x，即x30时，等号成立16(2017天津高考)若a，bR，ab0，则的最小值为_答案4解析a44b42a22b24a2b2(当且仅当a22b2时“”成立)，4ab，由于ab0，4ab24，故当且仅当时， 的最小值为4.17(2015重庆高考)设a，b0，ab5，则的最大值为_答案3解析令t，则t2()2a1b329a1b318，当且仅当a1b3时，即a，b时，等号成立，所以t的最大值为3.三、模拟小题18(2019山东日照模拟)若实数x，y满足xy0，则的最大值为()A2
6、 B2 C42 D42答案D解析1111，因为xy0，所以0，0.由基本不等式可知2，当且仅当xy时等号成立，所以1142.故选D.19(2019重庆模拟)设a，bp，cxy，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是()A(1,3) B(1,2 C D答案A解析对任意的正实数x，y，由于a，当且仅当xy时等号成立，bp，cxy2，当且仅当xy时等号成立，且三角形的任意两边之和大于第三边，所以2p，且p2，且p2，解得1p0，且a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10上，其中mn0，则的最小值为()A32 B5C32 D3答案C解析令x31，得x2
7、，故A(2，1)又点A在直线mxny10上，所以2mn10，即2mn1，则(2mn)33232.当且仅当m1，n1时等号成立，所以的最小值为32，故选C.21(2019惠州市高三第三次调研)在ABC中，点D是AC上一点，且4，P为BD上一点，向量(0，0)，则的最小值为()A16 B8 C4 D2答案A解析由题意可知4，其中B，P，D三点共线，由三点共线的充分必要条件可得，41，则(4)88216，当且仅当，时等号成立，即的最小值为16.故选A.22(2019衡阳市高三第一次联考)设正项等差数列an的前n项和为Sn，若S20196057，则的最小值为()A1 B C D答案D解析依题意，(a1
8、a2019)6057a1a2019a2a20186，(a2a2018).当且仅当a22，a20184时取等号所以的最小值为.23(2019浙江省名校联考)已知实数a，b，c，d满足ab1，cd1，则的最小值是()A10 B9 C4 D3答案B解析ab1，cd1，ab2，4，当且仅当ab时，取等号则4(cd)5529，故当且仅当ab且c，d时，的最小值为9.故选B.24(2019山东省济宁市期末)已知数列an满足an1an(n1)cos(n2，nN*)，Sn是数列an的前n项和，若S2021m1012，且a1m0，则的最小值为()A2 B C2 D2答案A解析由an1an(n1)cos(n2，n
9、N*)得，a3a23，a4a30，a5a45，a6a50，a7a67，a8a70，a9a89，a10a90，a2a3a4a5a6a7a8a9a2018a2019a2020a20212，S2021505(a2a3a4a5)a11010a1，又S2021m1012，a1m2，(a1m)2，当且仅当a1m1时，取等号的最小值为2.一、高考大题1(2019全国卷)已知a，b，c为正数，且满足abc1.证明：(1)a2b2c2；(2)(ab)3(bc)3(ca)324.证明(1)因为a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，又abc1，故有a2b2c2abbcca.当且仅当abc1时，等号成立所以
10、a2b2c2.(2)因为a，b，c为正数且abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333(ab)(bc)(ca)3(2)(2)(2)24.当且仅当abc1时，等号成立所以(ab)3(bc)3(ca)324.二、模拟大题2(2019湖北宜昌一中7月起点检测)设a0，b0，且1，求证：a2b .证明设2abx，b1y，则x0，y1，1，则a，by1，所以a2b2y22，当且仅当，即a，b时等号成立故a2b.3(2019河北唐山模拟)已知x，y(0，)，x2y2xy.(1)求的最小值；(2)是否存在x，y满足(x1)(y1)5？并说明理由解(1)因为2，当且仅当xy1时，等号成立，所以的最小值为2
11、.(2)不存在理由如下：因为x2y22xy，所以(xy)22(x2y2)2(xy)又x，y(0，)，所以xy2.从而有(x1)(y1)24，因此不存在x，y满足(x1)(y1)5.4.(2019攀枝花模拟)如图，将宽和长都分别为x，y(xy)的两个矩形部分重叠放在一起后形成的正十字形面积为.(注：正十字形指的是原来的两个矩形的顶点都在同一个圆上，且两矩形长所在的直线互相垂直的图形)(1)求y关于x的函数解析式；(2)当x，y取何值时，该正十字形的外接圆面积最小，并求出其最小值解(1)由题意可得，2xyx2，则y，yx，x，解得0x.y关于x的函数解析式为y(0x)(2)设正十字形的外接圆的直径
12、为d，由图可知，d2x2y2x22，当且仅当x1，y时，正十字形的外接圆的直径d最小，最小值为 ，则半径的最小值为，所以正十字形的外接圆面积的最小值为2.5(2019河南驻马店检测)某地需要修建一条大型输油管道通过240 km宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km的相邻两增压站之间的输油管道的费用为(x2x)万元设余下工程的总费用为y万元(1)试将y表示成x的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少？解(1)设需要修建k个增压站，则(k1)x240，即k1.所以y400k(k1)(x2x)400(x2x)240x160.因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0x240.故y与x的函数关系是y240x160(0x240)(2)y240x1602160248001609440，当且仅当240x，即x20时等号成立，此时k1111.故需要修建11个增压站才能使y最小，其最小值为9440万元