1、莲塘一中20202021学年上学期高二期末质量检测理科数学试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求)1. 若直线a，b是异面直线，则b与平面的位置关系是A. 平行B. 相交C. D. 平行或相交2. 已知，是两个不同的平面，直线m在平面内，给出命题“若，则”，那么它的原命题，逆命题、否命题，逆否命题中，真命题的个数为 A. 0B. 2C. 3D. 43. 设命题P：N，则为A. N，B. N，C. N，D. N，4. 下列命题中正确的个数为 平行于同一平面的两直线平行平行于同一平面的两个平面平行垂直于同一平面的两直线平行垂直于同一平面的两
2、平面垂直A. 0B. 1C. 2D. 35. 菱形ABCD在平面内，则PA与对角线BD的位置关系是A. 平行B. 相交但不垂直C. 相交垂直D. 异面垂直6. “”是“方程表示椭圆”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积与表面积之比为A. ：B. ：C. ：D. ：8. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米米堆为一个圆锥的四分之一，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和
3、堆放的米各为多少？”若圆周率约为3，则可估算出米堆的体积约为 A. 9立方尺B. 18立方尺C. 36立方尺D. 72立方尺9. 已知四棱锥的底面为矩形，平面平面ABCD，则四棱锥的外接球的表面积为 A. B. C. D. 10. 在长方体中，若E，F分别为线段，的中点，则直线EF与平面所成角的正弦值为A. B. C. D. 11. 四个面都是直角三角形的四面体中，平面BCD，且，M为AD的中点，则二面角的正弦值为 A. B. C. D. 112. 如图，已知正方体的棱长为4，P是的中点，点M在侧面内若，则面积的最小值为A. B. 4C. D. 8二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20
4、分把答案填在题中的横线上)13. 在正方体的12条棱中，与平面平行的有_条14. 已知，“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是15. 已知圆锥的底面半径为1，高为，点P是圆锥的底面圆周上一点，若一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是_16. 将正三棱锥置于水平反射镜面上，得一“倒影三棱锥”，如图，下列关于该“倒影三棱锥”的说法中，正确的有_平面ABC；若P，A，B，C在同一球面上，则Q也在该球面上；若该“倒影三棱锥”存在外接球，则；若，则PQ的中点必为“倒影三棱锥”外接球的球心三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 在
5、平面直角坐标系xOy中，以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为为参数，曲线C的极坐标方程为求直线l的普通方程和线C的直角坐标方程；已知定点，设直线l与曲线C相交于两点，求的值18. 如图，在长方体中，点E在棱AB上求异面直线与所成的角；若，求点B到面的距离19. 命题，命题，使得成立若为真，为假，求实数a的取值范围；已知，若r是q的充分不必要条件，求实数k的取值范围20. 如图，在直三棱柱中，M，N，P，Q分别是，AB，的中点在图中画出过M，N，Q三点的截面，并说出截面的形状不必说明画法与理由；求证：平面MNQ21. 如图1，在直角梯形ABCD中，点E为
6、AC的中点将沿AC折起，使平面平面ABC，得到几何体，如图2所示，F为线段CD上的点，且平面BEF确定点F的位置并说明理由；求证：平面平面BDC；求二面角的余弦值莲塘一中20202021学年上学期高二期末质量检测理科数学试卷参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求)1. 若直线a，b是异面直线，则b与平面的位置关系是A. 平行B. 相交C. D. 平行或相交解：直线a，b是异面直线，直线b不可能在平面内，b与平面的位置关系是平行或相交故选D2. 已知，是两个不同的平面，直线m在平面内，给出命题“若，则”，那么它的原命题，逆命题、否命题
7、，逆否命题中，真命题的个数为 A. 0B. 2C. 3D. 4解：已知，是两个不同的平面，直线m在平面内，若，则或与相交，知原命题为假命题，逆否命题也为假命题，原命题的逆命题为，是两个不同的平面，直线m在平面内，若，则，由面面平行易知原命题的逆命题为真命题，则否命题为真命题，故选B3. 设命题P：N，则为A. N，B. N，C. N，D. N，解：命题P：N，为特称命题，则命题的否定为：N，故选：D4. 下列命题中正确的个数为 平行于同一平面的两直线平行平行于同一平面的两个平面平行垂直于同一平面的两直线平行垂直于同一平面的两平面垂直A. 0B. 1C. 2D. 3解：对于，平行于同一平面的两直
8、线可以相交、平行或异面，故错误对于，平行于同一平面的两个平面平行，故正确对于，由线面垂直的性质定理可知正确对于，垂直于同一平面的两平面相交或平行，故错误因此正确命题的个数为故选C5. 菱形ABCD在平面内，则PA与对角线BD的位置关系是A. 平行B. 相交但不垂直C. 相交垂直D. 异面垂直解：菱形ABCD中，又平面，又AC，平面PAC，平面PAC又平面PAC，显然PA与BD异面，故PA与BD异面垂直故选D6. “”是“方程表示椭圆”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解：由方程得，所以要使方程的曲线是椭圆，则，即，且，所以“”是“方程表示椭圆”
9、的必要不充分条件故选B7. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积与表面积之比为A. ：B. ：C. ：D. ：解：设这个圆柱的底面半径为r，高为h，圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的侧面积与表面积之比为：故选：A8. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米米堆为一个圆锥的四分之一，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”若圆周率约为3，则可估算出米堆的体积约为 A. 9立方尺B. 18立方尺C. 36立方尺D. 72立方尺解：设圆锥底
10、面半径为r，由题意，得，故选：C9. 已知四棱锥的底面为矩形，平面平面ABCD，则四棱锥的外接球的表面积为 A. B. C. D. 解：由题意，由平面平面ABCD，底面ABCD矩形外接圆半径四棱锥的高为：球心与圆心的距离为d，构造直角三角形，即，解得：四棱锥的外接球的表面积故选：A10. 在长方体中，若E，F分别为线段，的中点，则直线EF与平面所成角的正弦值为A. B. C. D. 解：取中点为N，连接FN，取FN中点为M，连接，易得，是EF在面上的投影为所求的角令，在中，所以故选B11. 四个面都是直角三角形的四面体中，平面BCD，且，M为AD的中点，则二面角的正弦值为 A. B. C. D
11、. 1解：由题意可以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BDC的垂线为z轴与AB平行，建立空间直角坐标系如图所示，设，则1，1，0，0，则，0，设异面直线BM与CD夹角为，则二面角的正弦值为故选C12. 如图，已知正方体的棱长为4，P是的中点，点M在侧面内若，则面积的最小值为A. B. 4C. D. 8解：以AB，AD，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则0，4，4，设0，则，即取AB的中点N，连接，则点M的轨迹即为线段过点B作，则当点M与点Q重合时，BM最小，且BM的最小值为又平面，故BC，面积的最小值为故选A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分
12、把答案填在题中的横线上)13. 在正方体的12条棱中，与平面平行的有_条解：如图，可知与平面平行的为棱与棱CD故有两2条故答案为214. 已知，“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是解：，是的必要条件，即解得实数a的取值范围为故答案为15. 已知圆锥的底面半径为1，高为，点P是圆锥的底面圆周上一点，若一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是_解：圆锥的侧面展开图为扇形，其弧长为底面圆的周长，即，圆锥的母线长为扇形的圆心角，一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是：故答案为16. 将正三棱锥置于水平反射镜面上，得一“倒影三棱锥”，如图，下列关于
13、该“倒影三棱锥”的说法中，正确的有_平面ABC；若P，A，B，C在同一球面上，则Q也在该球面上；若该“倒影三棱锥”存在外接球，则；若，则PQ的中点必为“倒影三棱锥”外接球的球心解：由倒影三棱锥的几何特征可知平面故正确；当P，A，B，C在同一球面上时，若的外接圆不是球体的大圆，则Q不在该球面上，故不正确；若该“倒影三棱锥”存在外接球，则三棱锥的外接球半径与等边三角形ABC外接圆的半径相等，可设为R，则，所以，故不正确；由推导可知该“倒影三棱锥”外接球的球心为的中心，即PQ的中点，故正确，故答案为：三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 在平面直角坐标
14、系xOy中，以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为为参数，曲线C的极坐标方程为求直线l的普通方程和线C的直角坐标方程；已知定点，设直线l与曲线C相交于两点，求的值【答案】解：由得，所以曲线C的直角坐标方程为直线l的参数方程为为参数，消参可得直线l的参数方程为为参数，代入中，得，设两点对应的参数分别为，则，所以18. 如图，在长方体中，点E在棱AB上求异面直线与所成的角；若，求点B到面的距离【答案】解：连接，在长方体中，由是正方形知D.平面，是在平面内的射影根据三垂线定理得，则异面直线与所成的角为过点D作于F，连，则，由已知，则，设点B到平面的距离为h，即
15、，解得点B到面的距离为19. 命题，命题，使得成立若为真，为假，求实数a的取值范围；已知，若r是q的充分不必要条件，求实数k的取值范围【答案】解：对任意，不等式恒成立，解得，即p为真命题时，；存在：，使得成立，即成立，即命题q为真时，；为真，为假，、q一真一假，当p真q假时，则，且，即，当p假q真时，则或，且，即，综上所述，实数a的取值范围为若，r是q的充分不必要条件，则，所以实数k的取值范围20. 如图，在直三棱柱中，M，N，P，Q分别是，AB，的中点在图中画出过M，N，Q三点的截面，并说出截面的形状不必说明画法与理由；求证：平面MNQ【答案】解：如右图所示：取的中点H，连接HQ，QN，NM
16、，MH则梯形MHQN是过M，N，Q三点的截面证明：连接，三棱柱是直三棱柱，四边形是矩形在矩形中：，N分别是，的中点，AB平面，平面，平面在中：，N分别是，的中点，平面，平面，平面又，平面MNQ平面是AB的中点，平面故平面MNQ21. 定义椭圆的“蒙日圆”方程为已知抛物线的焦点是椭圆C的一个短轴端点，且椭圆C的离心率为求椭圆C的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程；若斜率为1的直线l与“蒙日圆”E相交于两点，且与椭圆C相切，O为坐标原点，求的面积【答案】解：抛物线的焦点为，则，又，且，所以，于是椭圆的标准方程为：；“蒙日圆”E方程为设直线：，由可得：，令可得：，“蒙日圆”E方程为，圆心为，半径，则圆
17、心到直线的距离，于是，22. 如图1，在直角梯形ABCD中，点E为AC的中点将沿AC折起，使平面平面ABC，得到几何体，如图2所示，F为线段CD上的点，且平面BEF确定点F的位置并说明理由；求证：平面平面BDC；求二面角的余弦值【答案】解：F为线段CD的中点理由如下：平面BEF，平面ADC，平面平面，为AC的中点，为CD的中点；证明：在原直角梯形ABCD中，可得，又，折起后垂直关系不变，又平面平面ABC，其交线为AC，平面ABC，平面ADC，而面BCD，所以平面平面ADC；解：如图，连接DE，则，由于平面平面ABC，其交线为AC，平面ADC，平面ABC，所以，过E作，连接DG，DE、平面DEG，所以平面DEG，又平面DEG，则，故是二面角的平面角，可得，所以二面角的余弦值为
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