1、第2节参数方程【选题明细表】知识点、方法题号参数方程与普通方程的互化1参数方程及其应用3极坐标方程与参数方程的综合应用2,41.(2016山西太原三模)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知曲线C1:(t为参数),C2:(为参数).(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;(2)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:(cos -2sin )=7距离的最小值.解:(1)曲线C1:(t为参数)化为普通方程为(x+4)2+(y-3)2=1,所以C1为圆心是(-4,3),半径是1的圆.C2:(为参数)化为普
2、通方程为+=1.C2为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.(2)当t=时,P(-4,4),Q(8cos ,3sin ),故M(-2+4cos ,2+sin ),直线C3:(cos -2sin )=7化为x-2y=7,M到C3的距离d=|4cos -3sin -13|=|5sin(+)+13|,从而当cos =,sin =-时,d取得最小值.2.(2016贵州贵阳二模)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(t为参数),在以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为cos(+)=-,A,B两点的极坐标分别为A(2,),B(2,).(1
3、)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程;(2)点P是圆C上任一点,求PAB面积的最小值.解:(1)由化简得消去参数t,得(x+5)2+(y-3)2=2,所以圆C的普通方程为(x+5)2+(y-3)2=2.由cos(+)=-,化简得cos -sin =-,即cos -sin =-2,即x-y+2=0,即直线l的直角坐标方程为x-y+2=0.(2)将A(2,),B(2,)化为直角坐标为A(0,2),B(-2,0),显然点A,B在直线l上,|AB|=2.设P点的坐标为(-5+cos t,3+sin t),所以P点到直线l的距离为d=.所以dmin=2.则PAB面积的最小值是S=22=4.3.导学号
4、 49612294已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方程为(t为参数,为倾斜角),曲线C的极坐标方程为=4cos (其中坐标原点O为极点,x轴非负半轴为极轴,取相同单位长度).(1)写出曲线C的直角坐标方程;(2)若曲线C与直线l相交于不同的两点M,N,设P(4,2),求|PM|+|PN|的取值范围.解:(1)由曲线C的极坐标方程=4cos 化为2=4cos ,所以x2+y2=4x即为所求直角坐标方程.(2)把直线l的参数方程代入x2+y2=4x,可得t2+4(sin +cos )t+4=0,由=16(sin +cos )2-160得sin cos 0.又0,),所以(0,),所以t1+t2
5、=-4(sin +cos ),t1t2=4.所以t10,t20.所以|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4(sin +cos )=4sin (+),由(0,)可得(+)(,),所以sin(+)1,所以|PM|+|PN|的取值范围是(4,4.4.导学号 49612295在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l1的极坐标方程为sin(-)=,直线l2的极坐标方程为=,l1与l2的交点为M.(1)判断点M与曲线C的位置关系;(2)点P为曲线C上的任意一点,求|PM|的最大值.解:(1)法一由得=1,所以l1与l2的交点M的极坐标为(1,).即点M的直角坐标为(0,1).又曲线C的普通方程为+y2=1,且+12=1,所以点M在曲线C上.法二直线l1的直角坐标方程为x-y+1=0,直线l2的直角坐标方程为x=0.由得所以l1与l2的交点M的直角坐标为(0,1),又曲线C的普通方程为+y2=1.且+12=1,所以点M在曲线C上.(2)设点P的坐标为(2cos ,sin ),所以|PM|2=4cos2+(sin -1)2=-3sin2-2sin +5=-3(sin +)2+,当sin =-时,|PM=,所以|PM|的最大值为.
