1、四川省泸县第二中学2019-2020学年高二数学下学期第一次在线月考试题 理（含解析）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（ ）A. 30B. 60C. 120D. 150【答案】C【解析】【分析】由直线的一般式方程得到直线的斜率，再由求解倾斜角.【详解】
2、直线的斜率，.故选：C【点睛】本题考查了直线的一般式方程、直线的斜率和直线的倾斜角的关系，考查了学生转化，运算的能力，属于基础题.2.命题“”的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题，再判断即可得解.【详解】解：命题“”的否定是“”，故选：C.【点睛】本题考查了特称命题与全称命题的关系，重点考查了命题的否定，属基础题.3.“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由不等式的性质，结合充分必要性的判定即可得解.【详解】解：由，但时不一定成立，例如当，即“”是“”的充
3、分不必要条件，故选：A【点睛】本题考查了不等式的性质，重点考查了充分必要条件，属基础题.4.已知命题“设、，若，则”，则它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意得，命题“设、，若，则”为真命题，所以它的逆否命题也为真命题；又由原命题的逆命题为“设、，若，则”为假命题，所以它的否命题也为假命题，所以在它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有一个，故选B考点：四种命题的真假的判定5.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段的中点的横坐标为4，则（ ）A. 6B. 8C. 12D. 16【答案】C【解析】分析】
4、利用焦半径公式可求.【详解】设，抛物线的焦点为，则.由焦半径公式可得，故，因为线段的中点的横坐标为4，故，故.故选：C.【点睛】本题考查抛物线中焦点弦的长度计算，可借助焦半径公式来计算，一般地，抛物线 上的点到焦点的距离为；抛物线 上的点到焦点的距离为.6.若圆的半径为，则实数（ ）A. B. -1C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】将圆的方程化为标准方程，即可求出半径的表达式，从而可求出的值.【详解】由题意，圆的方程可化为，所以半径为，解得.故选：B.【点睛】本题考查圆的方程，考查学生的计算求解能力，属于基础题.7.已知圆，圆，则圆和圆的位置关系为（ ）A. 相切B. 内含C. 外离D.
5、 相交【答案】B【解析】【分析】将两圆的方程化为标准方程，求出两圆的圆心与半径，求出圆心距，再根据两圆的圆心距与半径和与差的关系，即可得到结论.【详解】圆，即，圆，即，两圆的圆心距，故两圆内含.故选：B.【点睛】本题主要考查圆的标准方程，两圆的位置关系的判定方法，属于基础题.8.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则锐角的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】依题意可得关于的三角不等式，根据正弦函数的性质解答.【详解】解：因为方程表示焦点在轴上的椭圆所以即，由正弦函数的性质可得，又为锐角即故选：【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，以及正弦函数的性质，属于基础题.9.已知定点
6、，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设再表达出的坐标代入圆方程化简即可.【详解】设,则满足.故 .故.又点在圆上.故.故选：C【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求法,属于基础题型.10.三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为，则该三棱锥的外接球的表面积（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得外接球的直径等于 ,所以表面积为 ,选D.点睛: (1)补形法的应用思路：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补
7、形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”(2)补形法的应用条件：当某些空间几何体是某一个几何体的一部分，且求解的问题直接求解较难入手时，常用该法11.若点在椭圆上，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先根据的几何意义是点到点的斜率，然后求解斜率的最小值即可.【详解】由题知椭圆的方程为，求的最小值即求点到点斜率的最小值，设过点和点的直线方程为，联立， 知当时直线斜率取最小值，故当时，斜率取最小值，即的最小值为.故选：D.【点睛】本题主要考查了联立方程组求椭圆的切线，结合考查了的几何意义，属于一般题.12.已知双曲线的左、右焦点
8、分别为、，为左顶点，过点且斜率为的直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若，则该双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由，得为直角，可得，即可得，然后利用直线斜率公式求解即可.【详解】解：双曲线的渐近线方程为，设点，因为，即为直角三角形，且为直角， 所以，则上，解得， 故，又，所以直线的斜率，所以，故该双曲线的离心率.故选：B.【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，重点考查了双曲线渐近线方程及直线的斜率公式，属中档题.第II卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.不等式的解集用区间表示为_.【答案】【解析】【分析】由二次
9、不等式的解法求解即可.【详解】解：原不等式可化为，即，即，即表达式的解集为，故答案为：.【点睛】本题考查了二次不等式的解法，重点考查了运算能力，属基础题.14.抛物线的焦点坐标是_【答案】【解析】【分析】将抛物线方程转化为标准形式，由此求得抛物线的焦点坐标.【详解】由得，所以抛物线的焦点在轴上，且，所以抛物线的焦点坐标为.故答案为：【点睛】本小题主要考查抛物线焦点坐标的求法，属于基础题.15.双曲线上一点到它一个焦点的距离等于9，那么点到另一个焦点的距离等于_.【答案】3或15【解析】【分析】通过双曲线方程求出，再由已知条件，利用双曲线定义能求出结果【详解】解：双曲线的标准方程是，设点到另一个
10、焦点的距离为，双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于9，由双曲线定义知：，解得，或点到另一个焦点的距离是15或3故答案为：3或15【点睛】本题考查双曲线上一点到焦点距离的求法，解题时要熟练掌握双曲线性质，属于基础题16.已知点，若动点满足，则点的轨迹方程为_.【答案】【解析】【分析】根据中为定值,故先化简,再分析满足的距离关系即可.【详解】设,因为,故即.故的轨迹是以为焦点,的双曲线的下支.此时.故.故.故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线的定义,需要注意为双曲线的下支,属于基础题型.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.给定如下两个命题：命题“曲线是焦点在轴上的
11、椭圆，其中为常数”；命题“曲线是焦点在轴上的双曲线，其中为常数”已知命题“”为假命题，命题“”为真命题，求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】先求出为真时参数的取值范围，再分真假和假真两类讨论后可得实数的取值范围.【详解】若命题为真命题，则，若命题为真命题，则，由题知与一真一假，若真假，则，此时无解.若假真，则，得，综上：实数的取值范围是【点睛】对于为真，为假的问题，我们一般先求出真时参数的范围，再求出为真时参数的范围，通过真假和假真得到最终的参数的取值范围18.我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位
12、居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照,分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由.【答案】（1）；（2）万；（3）.【解析】【详解】试题分析：本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（1）问，由高组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计
13、算出a的值；第（2）问，利用高组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率样本容量=频数，计算所求人数；第（3）问，将前6组的频率之和与前5组的频率之和进行比较，得出2.5x0.85，而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.730.85，所以2.5x3由0.3(x2.5)=0.850.73，解得x=2.9所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准【考点】频率分布直方图【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n个小矩形的面积就是
14、相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础19.已知动点到定点的距离比到定直线的距离小，其轨迹为.（1）求的方程（2）过点且不与坐标轴垂直的直线与交于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知条件结合抛物线的定义即可得解；（2）先联立直线与抛物线方程求得中点的坐标，然后求出线段的中垂线的方程,再求出点的坐标即可得解.【详解】解：（1）由题意知，动点到定直线的距离与到定点的距离相等，由抛物线的定义可知，曲线的方程为：.（2）由题意知直线存在斜率，设直线的方程为，中点，则由得，所以，则线段的中垂线的方程为，则，又，
15、即，所以的取值范围是.【点睛】本题考查了抛物线的定义，重点考查了中垂线方程的求法，属基础题.20.足球是世界普及率最高的运动，我国大力发展校园足球.为了解本地区足球特色学校的发展状况，社会调查小组得到如下统计数据：年份x20142015201620172018足球特色学校y（百个）0.300.601.001.401.70（1）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱.（已知：，则认为y与x线性相关性很强；，则认为y与x线性相关性一般；，则认为y与x线性相关性较）：（2）求y关于x的线性回归方程，并预测A地区2020年足球特色学校的个数（精确到个）.参考公式和数据：，.
16、【答案】（1） ，y与x线性相关性很强（2），244【解析】【分析】（1）根据题意计算出r，再比较即得解；（2）根据已知求出线性回归方程，再令x=2020即得解.【详解】（1）由题得所以，y与x线性相关性很强.（2），关于的线性回归方程是.当时，即该地区2020年足球特色学校有244个.【点睛】本题主要考查相关系数的应用，考查线性回归方程的求法和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21.如图，四棱锥中侧面PAB为等边三角形且垂直于底面ABCD，, E是PD的中点(1)证明：直线平面；(2)求二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)取的中点,证明进而求得即可.(2
17、) 在平面内作于,建立空间直角坐标系求解即可.【详解】(1)取的中点,连,是的中点, ,又 四边形是平行四边形又平面,平面 平面(2)在平面内作于,不妨令,则由是等边三角形,则,为的中点,分别以、所在的直线为轴和轴,以底面内的中垂线为轴建立空间直角坐标系, 则, 设平面的法向量为,平面的法向量为,则 则 则 经检验,二面角的弦值的大小为【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及建立空间直角坐标系求解二面角的问题,属于中等题型.22.已知椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点（）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点，若直线l绕点F任意转动，总有，求a的取值范围【答案】（）（）（，+）【解析】【详解】（1）设为短轴的两个三等分点，为正三角形，所以，解得，所以椭圆方程为（2）设（）当直线与轴重合时，（）当直线不与轴重合时，设直线的方程为：整理得因恒有，所以恒为钝角，即恒成立又，所以对恒成立，即对恒成立，当时，最小值为0，所以，因为，即，解得或（舍去），即，综合（i）（ii），的取值范围为