1、第四节 函数与方程 备考方向明确 方向比努力更重要 复习目标学法指导1.函数零点的概念.2.f(x)=0有实根与y=f(x)有零点的关系.3.图象连续的函数y=f(x)在(a,b)内有零点的判定方法.4.利用函数的图象和性质判断函数零点的个数(指导意见).体验函数与方程、数形结合、算法等数学基本思想(发展要求).1.复习函数零点要与方程、图象融会贯通,既要能计算又要能画图,所以解决零点问题的基本思想是数形结合.2.画图要准确,在准确把握基本初等函数图象的基础上,正确变换,细致描点,并适时利用函数性质监控优化.3.含参的函数问题要习惯于分类讨论,明确分类的起点、标准和层次.知识链条完善 把散落的
2、知识连起来 网络构建 函数的零点 函数零点的概念对于函数y=f(x),把使 的实数x叫做函数y=f(x)的零点方程的根与函数零点的关系方程f(x)=0有 函数y=f(x)的图象与 有交点函数y=f(x)有_函数零点的存在性定理图象在a,b上连续不断,若 ,则y=f(x)在(a,b)内存在零点函数存在零点的判断方法解方程f(x)=0利用零点存在性定理数形结合f(x)=0 实数根 x轴 f(a)f(b)0 零点 拓展空间 1.概念理解(1)从“数”的角度看:即是使f(x)=0的实数x;(2)从“形”的角度看:即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标;(3)若函数f(x)的图象在x=x0处与x轴相切
3、,则零点x0通常称为不变号零点;(4)若函数f(x)的图象在x=x0处与x轴相交,则零点x0通常称为变号零点.2.与零点的存在性定理相关的知识(1)零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,不能判断不变号零点.所以在判断一个函数在某个区间内不存在零点时,不能完全依赖函数的零点存在性定理,要结合函数性质进行分析判断.(2)f(a)f(b)0与函数f(x)存在零点的关系 若函数y=f(x)在闭区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0,则函数y=f(x)一定有零点.由函数y=f(x)在闭区间a,b上有零点不一定能推出f(a)f(b)0,如图,所以f(a)f(b)0是
4、y=f(x)在闭区间a,b上有零点的充分不必要条件.若函数f(x)在a,b上单调,且f(x)的图象是连续不断的一条曲线,则f(a)f(b)0函数f(x)在a,b上只有一个零点.1.函数 y=log2x+1x-1 的零点个数是()(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 温故知新 解析:据题意在同一坐标系内分别作出 y=log2x,y=1-1x的图象,如图所示,观察图象可知共有 1 个交点,等价于函数 y=log2x-1+1x共有 1 个零点.故选 B.B 2.函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是()(A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2)B 解析:易知f(
5、x)=2x+3x在R上是增函数.而f(-2)=2-2-60,f(-1)=2-1-30,所以f(-1)f(0)0,故函数f(x)在区间(-1,0)上有零点.3.(2018绍兴市柯桥区高三上期末考试)已知 x0是函数 f(x)=e-x+12x 的零点,若 x1(0,x0),x2(x0,2),则()(A)f(x1)0,f(x2)0(B)f(x1)0(C)f(x1)0,f(x2)0,f(x2)0 C 解析:x0是 f(x)=e-x+12x 的零点等价于 x0是 e-x=-12x 的解,画函数 y=e-x与 y=-12x 的图象.由图象知 x1(0,x0)时,1e x-112x,f(x1)0;x2(x0
6、,2),2e x-212x,f(x2)0,F(10)=-10,所 以 得 x0(9,10),k=9.答案:9 高频考点突破 在训练中掌握方法 考点一 函数零点所在区间的确定【例 1】(1)设函数 f(x)=13x-ln x,则函数 y=f(x)()(A)在区间(1e,1),(1,e)内均有零点(B)在区间(1e,1),(1,e)内均无零点(C)在区间(1e,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点(D)在区间(1e,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点 解析:(1)令 f(x)=0 得 13x=ln x.作出函数 y=13x 和 y=ln x 的图象,如图,显然 y=f(x)在(1e,1)内无
7、零点,在(1,e)内有零点.故选 D.(2)函数f(x)=logax+x-b(2a3b4)的零点所在的一个区间是()(A)(0,1)(B)(1,2)(C)(2,3)(D)(3,4)解 析:(2)因 为 f(1)=1-b0,f(2)=loga2+2-b0,所 以 函 数f(x)=logax+x-b(2 a3b4)的零点所在的一个区间是(2,3),故选C.反思归纳(1)利用函数零点的存在性定理:首先看函数y=f(x)在区间a,b上的图象是否连续,再看是否有f(a)f(b)0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来
8、判断.确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 迁移训练 1.已知函数f(x)=ln x-()x-2的零点为x0,则x0所在的区间是()(A)(0,1)(B)(1,2)(C)(2,3)(D)(3,4)解析:因为 f(x)=ln x-(12)x-2在(0,+)上是增函数,又 f(1)=ln 1-(12)-1=ln 1-20,f(2)=ln 2-(12)0=ln 2-10.故 f(x)的零点 x0(2,3).故选 C.C 122.函数 f(x)=ln(x+1)-21x 的零点所在的大致区间是()(A)(0,1)(B)(1,2)(C)(2,e)(D)(3,4)解析:因为 f(1)=ln 2-10,所
9、以函数 f(x)=ln(x+1)-21x 的零点所在的大致区间是(1,2),故选 B.B 【例 2】(1)已知函数 f(x)=e2,0,ln,0,xxx x则下列关于函数 y=ff(kx)+1+1(k0)的零点个数的判断正确的是()(A)当 k0 时,有 3 个零点;当 k0 时,有 4 个零点;当 k0 时,若 x0,则 kx0,ekx-2=-1 或 ekx-2=1e-1,kx=0 或 kx=ln(1+1e),解得 x=0 或 x=1ln 1ek (舍去);若 x0,则kx0,ln(kx)=-1 或 ln(kx)=1e-1,解得 kx=1e或 kx=1 1ee,x=1ek或 x=1 1eek
10、,均满足.所以,当 k0 时,零点有 3 个;同理讨论可得,k0 时,零点有 3 个.所以,无论 k 为何值,均有 3 个零点.故选 C.(2)(2017杭州高级中学模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x-10),且当0 x10时,f(x)=x3-2x,则函数f(x)在区间0,2 018上的零点个数为()(A)403(B)402(C)401(D)201 解析:(2)由f(x)满足f(x)=f(x-10)知函数f(x)是以10为周期的周期函数,且f(1)0,故 函 数 f(x)=x3-2x 在(1,2)内 存 在 一 个 零点,f(8)0,f(9)0,f(10)0,故函数f(x)=x
11、3-2x在(9,10)内存在一个零点,故函数在一个周期内存在两个零点,在区间0,2 018内存在402+1=403.故选A.反思归纳 判断函数y=f(x)零点个数的常用方法 (1)直接法.令f(x)=0,则方程实根的个数就是函数零点的个数.(2)零点存在性定理法.判断函数在区间a,b上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)0,再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数.(3)数形结合法.转化为两个函数的图象的交点个数问题.(画出两个函数的图象,其交点的个数就是函数零点的个数)迁移训练 1.已知函数 f(x)=221,0,log,0.xxx x则函数 y=f(x
12、)的零点个数是()(A)0(B)1(C)2(D)3 C 解析:f(x)=0 时,得20,10 xx 或20,log0,xx解得 x=-1 或 x=1.故选 C.2.已知函数 f(x)=22,2,2,2,x xxx 函数 g(x)=3-f(2-x),则函数 y=f(x)-g(x)的零点个数为()(A)2(B)3(C)4(D)5 解析:由已知条件可得 g(x)=3-f(2-x)=221,0,3,0.xxxx 函数 y=f(x)-g(x)的零点个数即为函数 y=f(x)与 y=g(x)图象的交点个数,在平面直角坐标系内作出函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象如图所示.由图可知函数 y=f(x)与
13、 y=g(x)的图象有 2 个交点,所以函数 y=f(x)-g(x)的零点个数为 2,选 A.A 【例 3】已知函数 f(x)=x-x,其中x表示不超过实数 x 的最大整数.若关于 x 的方程f(x)=kx+k 有三个不同的实根,则实数 k 的取值范围是()(A)-1,-12)(14,13(B)(-1,-12 14,13)(C)-13,-14)(12,1(D)(-13,-14 12,1)考点三 函数零点的应用 解析:当 0 x1 时,f(x)=x,又 f(x+1)=(x+1)-x+1=x-x=f(x),故函数 f(x)是以 1 为周期的周期函数.在同一坐标系中,分别作出函数 y=f(x),y=
14、kx+k 的图象(过定点(-1,0),可知当方程 f(x)=kx+k 有三个不同的实根时,k 满足 31,21,xkxk或31,21,xkxk解得 14k 13或-10,得 m2 115.即-1515 m1,m 16,由图可知所求正实数 m 的取值范围为（16,1515）.答案:(16,1515)易错分析 本例对图象的要求较高.(1)函数f(x)的图象中既有曲线,又有折线,画圆时注意自变量的取值范围的限制,画折线时注意分类讨论,然后利用周期性得出函数在定义域中的图象.(2)根据零点个数画直线y=mx时,要判定直线与半圆的位置关系,同时还需确定与折线顶点的位置关系,这也是容易遗漏的方面.迁移训练
15、 解析:由题意函数 f(x)=x2+4x-4,由于函数 y=f(x)、函数 y=lg|x+2|的大致图象均关于直线 x=-2 对称,故四个根之和为-8.故选 D.1.规 定 一 种 运 算:ab=a2+2ab-b2,设 函 数 f(x)=x2.且 关 于 x 的 方 程 f(x)=lg|x+2|(x-2)恰有四个互不相等的实数根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4的值是()(A)-4 (B)4 (C)8 (D)-8 D 2.(2018天津卷)已知 a0,函数 f(x)=222,0,22,0,xaxa xxaxa x若关于 x 的方程 f(x)=ax 恰有 2 个互异的实数解,则 a
16、 的取值范围是 .解析:作出函数f(x)的示意图,如图,l1是过原点且与抛物线y=-x2+2ax-2a相切的直线,l2是过原点且与抛物线 y=x2+2ax+a 相切的直线.由图可知,当直线 y=ax 在 l1,l2之间(不含直线 l1,l2)变动时,符合题意.由2,22,yaxyxaxa 消去 y,整理得 x2-ax+2a=0.由=0,得 a=8(a=0 舍去).由2,2,yaxyxaxa消去 y,整理得 x2+ax+a=0.由=0,得 a=4(a=0舍去).综上,得 4af(2)=-2.而 g(x)=-4x在(0,2)上单调递增,所以g(x)2 时,f(x)min=f(a)=a-a24,f(
17、a)=a-a2,而g(x)=-4x在(0,a)上单调递增.当 x=a 时,g(a)=-4a.(3)当 a2 时,讨论 f(x)+4x在区间(0,+)内的零点个数.又 a-a2-(-4a)=2(2)(2)aaaa0,所以 f(a)=a-a22 时,f(x)与 g(x)=-4x有两个交点.综上,当 a=2 时,f(x)+4x有一个零点 x=2;当 a2 时,f(x)+4x有两个零点.解题规范 规范要求:(1)第步决定了分类讨论的标准,标准的起因可根据两个函数y=f(x),g(x)=-4x的图象的位置分析得出.(2)第步结合图象可知,图象不能精确地判定当x(2,+)时,两个图象交点的个数,但较易观察
18、得出当x(0,2)时无交点,所以再次分类讨论,首先用数据说明当x(0,2)时无交点.(3)第步解方程说明两图象只有一个交点,即函数只有一个零点.(4)第步利用作差法比较当x=a时两个函数值的大小,从而确定零点存在与否,并结合函数图象确定零点的个数.温馨提示:(1)解决复杂函数的零点个数问题的基本思想是化归与数形结合.(2)含参数的函数问题要习惯于分类讨论,能准确捕捉讨论的起点,分类的标准,且最后要做出总结归纳.【规范训练】(2018宁波镇海中学高三上期中考试)设函数 f(x)=|x-a|-3x+a,aR,若关于 x 的方程 f(x)=2 有且仅有三个不同的实数根,且它们成等差数列,则实数 a
19、的取值构成的集合为 .解析:f(x)=|x-a|-3x+a=3,32,xxaxxa xax 由 x-3x=2,解得 x=-1 或 x=3,当 a-1 时,xa 时 f(x)=2 的两个根为-1 和 3,因为方程 f(x)=2 有且仅有三个不同的实数根,且它们成等差数列,所以另一个根为-5,即-5a 且 5+35+2a=2,解得 a=-95;当-1a3 时,xa 时 f(x)=2 有两根,设为 x1,x2,xa 时 f(x)=2有一根为 3,且有 x1+3=2x2,-x-3x+2a=2,即 x2-(2a-2)x+3=0 的两根为 x1,x2.有 x1+x2=2a-2,x1x2=3,解得 a=53
20、 338;因为-13 时,f(x)=2 最多有两个根,不符合题意.综上实数 a 的取值构成的集合为(-95,53 338).答案:(-95,53 338)课堂类题精练 在练习中体会学习的乐趣 类型一 函数零点所在区间的确定 1.函数f(x)=ln x+x3-8的零点所在的区间为()(A)(0,1)(B)(1,2)(C)(2,3)(D)(3,4)B 解析:因为函数f(x)=ln x+x3-8是连续不断的函数,又f(1)=0+1-80,即f(1)f(2)0,所以函数f(x)=ln x+x3-8的零点所在的区间为(1,2),故选B.类型二 函数零点及个数的确定 2.若定义在 R 上的函数 f(x)满
21、足 f(x+2)=f(x),且 x-1,1时,f(x)=1-x2,函数 g(x)=lg,0,0,0,1,0,x xxxx则方程 f(x)-g(x)=0 在区间-5,5上的解的个数为()(A)5(B)7(C)8(D)10 C 解析:依题意得,函数f(x)是以2为周期的函数,在同一坐标系下画出函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象,结合图象得,当x-5,5时,它们的图象的公共点共有8个,即方程f(x)-g(x)=0在区间-5,5上的解的个数为8.故选C.解析:f3(x)=|2f2(x)-1|的零点,即 f2(x)=12的实根,即|2f1(x)-1|=12的实根,又 f1(x)=f(x),所以 f
22、(x)=34或 f(x)=14.而以上两方程各有两个实根,故共有 4 个实根.故选 C.3.f(x)=|2x-1|,f1(x)=f(x),f2(x)=f(f1(x),fn(x)=f(fn-1(x),则 函 数y=f3(x)的零点个数为()(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 C 类型三 函数零点的应用 4.(2017杭州调研)函数 f(x)=2x-2x-a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值范围是()(A)(1,3)(B)(1,2)(C)(0,3)(D)(0,2)C 解析:因为 2x在区间(1,2)单调递增,-2x在区间(1,2)单调递增,所以函数 f(x)=2x-2x-a 在
23、区间(1,2)有一个零点,只需 f(1)f(2)0,即(-a)(3-a)0,解得 0a1.答案:(1,+)6.定义域为 R 的偶函数 f(x)满足对任意 xR,有 f(x+2)=f(x)-f(1),且当 x2,3时,f(x)=-2x2+12x-18,若函数 y=f(x)-loga(|x|+1)在(0,+)上至少有三个零点,则 a 的取值范围是()(A)(0,22)(B)(0,33)(C)(0,55)(D)(0,66)类型四 易错辨析 B 解析:令 x=-1,则 f(-1+2)=f(-1)-f(1).又 f(x)为定义域在 R 上的偶函数,所以 f(1)=0,即f(x+2)=f(x),所以函数
24、f(x)的周期为 T=2,又 f(-x+2)=f(-x)=f(x),所以函数 f(x)的图象关于 x=1 对称,根据 f(x)=-2x2+12x-18(x2,3)作出 y=f(x)与函 y=loga(x+1)(x0)的图象,则 y=f(x)-loga(|x|+1)在(0,+)上至少有三个零点,也就是函数 y=f(x)的图象与 y=loga(x+1)(x0)的 图 象 至 少 有 三 个 交 点,如 图 所 示,则01,log212,aa 解 得0a0,所以 ln x=a+1x,作出函数 y1=ln x 与 y2=a+1x的图象(图略),易知选 B.7.已知关于x的方程xln x=ax+1(aR),下列说法正确的是()(A)有两个不等实根(B)只有一个正根(C)无实数根 (D)不能确定 B 点击进入课时训练
