1、第十章概率第三节几何概型A级基础过关|固根基|1.已知函数f(x)log2x，x1，8，则不等式1f(x)2成立的概率是()A. B.C. D.解析：选B区间1，8的长度为7，不等式1f(x)2，即不等式1log2x2，解得2x4，对应区间2，4的长度为2，由几何概型概率公式可得使不等式1f(x)2成立的概率是P.2已知以原点O为圆心，1为半径的圆以及函数yx3的图象如图所示，则向圆内任意投掷一粒小米(视为质点)，该小米落入阴影部分的概率为()A. B.C. D.解析：选B由图形的对称性知，所求概率为P.故选B.3为了测量某阴影部分的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投
2、掷600个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此可以估计阴影部分的面积是()A4 B3C2 D1解析：选B由投掷的点落在阴影部分的个数与投掷的点的个数比得到阴影部分的面积与正方形的面积比为，所以阴影部分的面积约为93.4在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A1 B.C. D1解析：选D如图，与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面，其体积V13.事件“点P与点O距离大于1的概率”对应的区域体积为23，根据几何概型概率公式得，点P与点O距离大于1的概率P1.5(2020届“四
3、省八校联盟”高三联考)在区间6，9内任取一个实数m，设f(x)x2mxm，则函数f(x)的图象与x轴有公共点的概率等于()A. B.C. D.解析：选D对于方程x2mxm0，令m24m0，得m0或m4，所以函数f(x)的图象与x轴有公共点的概率P.故选D.6(2020届惠州调研)关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学每人随机写下一个x，y都小于1的正实数对(x，y)，再统计其中x，y能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)的个数m，最后根据统计个数m估计的值如果统计结果是m34，那么可以估计
4、的值为()A. B.C. D.解析：选B由题意，得120对正实数对(x，y)中的x，y满足该不等式组表示的平面区域的面积为1，若正实数对(x，y)中的x，y能与1构成钝角三角形的三边，则x，y需满足该不等式组表示的平面区域的面积为，则，故选B.7如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为()A. B.C1 D1解析：选C正方形的面积为8264，内切圆半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为42224128，所以黑色区域的
5、面积为648，所以在正方形图案上随机取一点，该点取自黑色区域的概率P1，故选C.8在区域内任意取一点P(x，y)，则x2y21的概率是()A. B.C. D.解析：选B根据题意画出图形，符合题意的点P在阴影部分内，由几何概型的概率公式得所求概率为P，故选B.9已知集合Ay|yx22x，2x2，Bx|x22x30，在集合A中任意取一个元素a，则aB的概率为_解析：Ay|yx22x，2x2y|1y8Bx|x22x30x|3x1若aA，则aB，则1a1，则所求的概率P.答案：10已知半径为R的圆周上有一定点A，在圆周上等可能地任意取一点与点A连接，则所得弦长小于 R的概率为_解析：当弦长为 R时，如
6、图所示OBA30，BOA120，故所取点在AB(不包括A，B两点)上时，满足题意，在半径OA的另一边也存在相等的弧，所求概率为.答案：11.如图，正四棱锥SABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为_解析：设球的半径为R，则所求的概率为P.答案：12在区间0，4上随机取两个实数x，y，“使得x2y8成立”的概率为_解析：由x，y0，4知(x，y)构成的区域是边长为4的正方形及其内部，其中满足x2y8的区域为如图所示的阴影部分易知A(4，2)，S正方形16，S阴影12，故“使得x2y8成立”的概率P.答案：B级素养提升|练能力|13.把一枚质
7、地均匀、半径为1的圆形硬币抛掷在一个边长为8的正方形托盘上，已知硬币平放在托盘上且没有掉下去，则该硬币完全落在托盘上(即没有任何部分在托盘以外)的概率为()A. B.C. D.解析：选B由题意可知，要使硬币平放在托盘上且没有掉下去，则硬币的圆心必须落在正方形ABCD中(包括边界)，如图，则该硬币完全落在托盘上(即没有任何部分在托盘以外)的概率P，故选B.14若函数f(x)在区间0，e上随机取一个实数x，则f(x)的值不小于常数e的概率是()A. B1C. D.解析：选B当0x1时，恒有f(x)exe，不满足题意当1xe时，f(x)ln xe.由ln xee，得1xe.所求事件的概率P1.15七
8、巧板是一种古老的中国传统智力游戏，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的，如图是一个用七巧板拼成的正方形，在该正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A. B.C. D.解析：选A设AB2，则BCCDDEEF1，所以SBCI，S平行四边形EFGH2SBCI2，所以所求的概率P.故选A.16如图所示，OA1，在以O为圆心，OA为半径的半圆弧上随机取一点B，则AOB的面积小于的概率为_解析：因为OA1，若AOB的面积小于，则11sinAOB，所以sinAOB，所以0AOB或AOB，所以AOB的面积小于的概率为P.答案：