1、第2课时对数函数的性质及其应用1掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法2会解简单的对数不等式3掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法4了解反函数的概念及它们的图象特点1对数函数值的符号规律(1)a1时，当x1时，y0；当0x1时，y0.(2)0a1时，当0x0；当x1时，y0，且a1)和对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数1函数yax与ylogax中，它们的定义域、值域、单调性有何关系？答案指数函数yax的定义域R是函数ylogax的值域，函数yax的值域是函数ylogax的定义域，且a1时，yax与ylogax均为增函数，0a1时均为减函数2判断正误(正确的打“”，错误的打
2、“”)(1)函数ylog0.2x的图象与函数ylog0.2x的图象关于y轴对称()(2)若0a1，则logablogbx，则ab.()答案(1)(2)(3)(4)题型一 比较对数值的大小【典例1】比较下列各组中两个值的大小：(1)ln0.3，ln2；(2)log30.2，log40.2；(3)log3，log3；(4)loga3.1，loga5.2(a0，且a1)思路导引利用对数单调性比较大小解(1)因为函数ylnx是增函数，且0.32，所以ln0.3log0.23log0.24，所以，即log30.2log30.2.(3)因为函数ylog3x是增函数，且3，所以log3log331.因为函数
3、ylogx是增函数，且3，所以log3log3.(4)当a1时，函数ylogax在(0，)上是增函数，又3.15.2，所以loga3.1loga5.2；当0a1时，函数ylogax在(0，)上是减函数，又3.1loga5.2.比较对数值大小时常用的4种方法(1)同底的利用对数函数的单调性，如典例1(1)(2)同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化，如典例1(2)(3)底数和真数都不同，找中间量，如典例1(3)(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论，如典例1(4)针对训练1比较下列各题中两个值的大小：(1)lg6，lg8；(2)log0.56，log0.5
4、4； 解(1)因为函数ylgx在(0，)上是增函数，且68，所以lg64，所以log0.56log221log55log54，log23log54.题型二 求解对数不等式【典例2】(1)已知loga1，求a的取值范围；(2)已知log0.7(2x)1得logalogaa.当a1时，有a，此时无解当0a1时，有a，从而a1.a的取值范围是.(2)函数ylog0.7x在(0，)上为减函数，由log0.72x1.x的取值范围是(1，)常见对数不等式的2种解法(1)形如logaxlogab的不等式，借助ylogax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0ab的不等式，应将b化为以a为底数的对数式
5、的形式，再借助ylogax的单调性求解. 针对训练2不等式log2(2x3)log2(5x6)的解集为()A(，3) B.C. D.解析由得x0loga1.当a1时，ylogax是增函数，解得a，a1；当0a1时，ylogax是减函数，解得a.a0，所以x2.所以函数的定义域为(，1)(2，)，令tx23x2，则ylog0.7t，显然ylog0.7t在(0，)上是单调递减的，而tx23x2在(，1)，(2，)上分别是单调递减和单调递增的，所以函数ylog0.7(x23x2)的单调递增区间为(，1)，单调递减区间为(2，)求对数型函数单调区间的方法(1)求形如ylogaf(x)的函数的单调区间，
6、一定树立定义域优先意识，即由f(x)0，先求定义域(2)求此类型函数单调区间的两种思路：利用定义求解；借助函数的性质，研究函数tf(x)和ylogat在定义域上的单调性，利用“同增异减”的结论，从而判定ylogaf(x)的单调性针对训练4求函数y (1x2)的单调区间解要使y (1x2)有意义，则1x20，x21，则1x1，因此函数的定义域为(1,1)令t1x2，x(1,1)当x(1,0时，x增大，t增大，y t减小，x(1,0时，y (1x2)是减函数；当x0,1)时，y (1x2)是增函数故函数y (1x2)的单调增区间为0,1)，函数的单调递减区间为(1,0.题型四 与对数函数有关的值域
7、问题【典例4】求下列函数的值域：(1)ylog2(|x|4)；(2)f(x)log2(x24x12)思路导引求出真数的范围，利用对数函数的单调性求解解(1)因为|x|44，所以log2(|x|4)log242，所以函数的值域为2，)(2)因为x24x12(x2)21616，所以00，解得1x3，函数的定义域是(1,3)设ux24x3(1x3)，则u(x2)21.1x3，01和0acbBbcaCcbaDcab解析alog43log441，由对数函数的性质可知log53log43，ba0，得x，所以f(x)log(12x)的定义域为.因为y12x在(，)内是减函数，所以f(x)在内是增函数，故选C
8、.答案C4不等式的解集为_解析由得2x1.答案x|2x0，且a1)(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数的奇偶性；(3)求使f(x)0的x的取值范围解(1)由0，得1x1时，由loga0loga1，得1.所以0x1.当0a0loga1，得01，所以1x1时，x的取值范围是x|0x1；当0a1时，x的取值范围是x|1x0点评对数函数是一类具有特殊性质的初等函数，利用函数的图象和性质可以研究符合对数函数的图象性质的综合问题课后作业(三十二)复习巩固一、选择题1若lg(2x4)1，则x的取值范围是()A(，7B(2,7C7，)D(2，)解析lg(2x4)1，02x410，解得2x7，x的取值范围是
9、(2,7，故选B.答案B2已知实数alog45，b0，clog30.4，则a，b，c的大小关系为()AbcaBbacCcabDcb1，b01，clog30.40，故cba.答案D3已知，则()Anm1Bmn1C1mnD1nm解析因为0n1，故选D.答案D4函数f(x)的单调递增区间是()A.B(0,1C(0，)D1，)解析f(x)的图象如右图所示，由图象可知单调递增区间为1，)答案D5函数f(x)log2(x24x12)的值域为()A3，)B(3，)C(，3)D(，3解析ux24x12(x2)288，且21f(x)log283.答案A二、填空题6设函数yax的反函数为f(x)，则f(a1)与f
10、(2)的大小关系是_解析因为yax的反函数为f(x)，f(x)logax.当a1时，a12, f(x)logax是单调递增函数，则f(a1)f(2)；当0a1时，a1f(2)综上f(a1)f(2)答案f(a1)f(2)7设a1，函数f(x)logax在区间a,2a上的最大值与最小值之差为，则a_.解析a1，f(x)logax在a,2a上递增，loga(2a)logaa，即loga2，2，a4.答案48函数f(x) (|x|)的单调递增区间为_解析由|x|0，得x0，t2ax为定义域上的减函数，由复合函数单调性，得ylogat在定义域上为增函数，a1，又函数t2ax0在0,1上恒成立，则2a0即
11、可a2.综上，a的取值范围是(1,2综合运用11函数f(x)lg的奇偶性是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数解析f(x)的定义域为R，f(x)f(x)lglglglg10，f(x)为奇函数，选A.答案A12若函数f(x)loga(2x1)(a0，且a1)在区间内恒有f(x)0，则f(x)的单调减区间是()A. B.C(，0)D(0，)解析当x时，2x1(0,1)，所以0a0，得2x6.x(2,2)时，ux24x12为增函数，ylogu在定义域上为减函数，函数的单调减区间是(2,2)答案(2,2)15已知函数f(x)loga(1x)loga(x3)，其中0a1.(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的最小值为4，求a的值解(1)要使函数有意义，则有解得3x1，所以函数的定义域为(3,1)(2)函数可化为：f(x)loga(1x)(x3)loga(x22x3)loga(x1)24，因为3x1，所以0(x1)244.因为0a1，所以loga(x1)24loga4，即f(x)minloga4，由loga44，得a44，所以a4.