1、课时达标检测（四十六） 双 曲 线1已知双曲线1(a0)的离心率为2，则a()A2 B. C. D1解析：选D因为双曲线的方程为1，所以e214，因此a21，a1.选D.2若双曲线1的离心率为，则其渐近线方程为()Ay2x ByxCyx Dyx解析：选B在双曲线中离心率e ，可得，故双曲线的渐近线方程是yx.3双曲线1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为()A2 B. C. D.解析：选C由渐近线互相垂直可知1，即a2b2，即c22a2，即ca，所以e.4(2016天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，则双曲线的方程为()A.y21 Bx21
2、C.1 D.1解析：选A由焦距为2，得c.因为双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，所以.又c2a2b2，解得a2，b1，所以双曲线的方程为y21.5(2016北京高考)双曲线1(a0，b0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点若正方形OABC的边长为2，则a_.解析：不妨令B为双曲线的右焦点，A在第一象限，则双曲线如图所示四边形OABC为正方形，|OA|2，c|OB|2，AOB.直线OA是渐近线，方程为yx，tanAOB1，即ab.又a2b2c28，a2.答案：2一、选择题1若实数k满足0k9，则曲线1与曲线1的()A离心率相等 B虚半轴长相等C实半轴长相等
3、 D焦距相等解析：选D由0k0，b0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B, C两点若A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()A B C1 D解析：选C由题设易知A1(a,0)，A2(a,0)，Bc，C.A1BA2C，1，整理得ab.渐近线方程为yx，即yx，渐近线的斜率为1.5(2017江南十校联考)已知l是双曲线C：1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2分别是C的左、右焦点，若0，则点P到x轴的距离为()A. B. C2 D.解析：选C由题意知F1(，0)，F2(，0)，不妨设l的方程为yx，点P(x0，x0)，由(x0，x0)(x0，x0)
4、3x60，得x0，故点P到x轴的距离为|x0|2，故选C.6已知双曲线1与直线y2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A(1，) B(1， C(，) D，)解析：选C双曲线的一条渐近线方程为yx，则由题意得2，e .即双曲线离心率的取值范围为(，)二、填空题7已知双曲线C：1(a0，b0)与椭圆1有相同的焦点，且双曲线C的渐近线方程为y2x，则双曲线C的方程为_解析：易得椭圆的焦点为(，0)，(，0)，a21，b24，双曲线C的方程为x21.答案：x218过双曲线1(a0，b0)的左焦点F1作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A，B，若v，则双曲线的渐近线方程为_解析：
5、由得x，由解得x，不妨设xA，xB，由可得c，整理得b3a.所以双曲线的渐近线方程为3xy0.答案：3xy09设F1，F2分别是双曲线x21的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|2且F1AF245，延长AF2交双曲线右支于点B，则F1AB的面积等于_解析：由题意可得|AF2|2，|AF1|4，则|AB|AF2|BF2|2|BF2|BF1|.又F1AF245，所以ABF1是以AF1为斜边的等腰直角三角形，则|AB|BF1|2，所以其面积为224.答案：410(2016山东高考)已知双曲线E：1(a0，b0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|
6、AB|3|BC|，则E的离心率是_解析：如图，由题意知|AB|，|BC|2c.又2|AB|3|BC|，232c，即2b23ac，2(c2a2)3ac，两边同除以a2并整理得2e23e20，解得e2(负值舍去)答案：2三、解答题11已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)点M(3，m)在双曲线上(1)求双曲线的方程；(2)求证：0；(3)求F1MF2的面积解：(1)e，双曲线的实轴、虚轴相等则可设双曲线方程为x2y2.双曲线过点(4，)，1610，即6.双曲线方程为1.(2)证明：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则(23，m)，(23，m)(32)(32)m2
7、3m2，M点在双曲线上，9m26，即m230，0.(3)F1MF2的底|F1F2|4.由(2)知m.F1MF2的高h|m|，SF1MF246.12中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为37.(1)求椭圆和双曲线的方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cosF1PF2的值解：(1)由题知c，设椭圆方程为1，双曲线方程为1，则解得a7，m3.则b6，n2.故椭圆方程为1，双曲线方程为1.(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|PF2|14，|PF1|PF2|6，所以|PF1|10，|PF2|4.又|F1F2|2，所以cosF1PF2.