1、第5节函数yAsin(x)的图象及应用考试要求1.了解函数yAsin(x)的物理意义；能画出yAsin(x)的图象，了解参数A，对函数图象变化的影响；2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.知 识 梳 理1.函数yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0)，x0，)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相ATfx2.用“五点法”画yAsin(x)(A0，0，|0，0)的变换：向左平移个单位长度而非个单位长度.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)将函数y3sin 2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y3sin.
2、()(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.()(3)函数yAcos(x)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.()(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.()解析(1)将函数y3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y3cos 2x.(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为.故当1时平移的长度不相等.答案(1)(2)(3)(4)2.(新教材必修第一册P240T1改编)为了得到函数ysin的图象，只需把函数ysin 2x图象上所
3、有的点()A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度解析因为ysinsin 2，所以要得到其图象，需把ysin 2x图象上所有的点向左平移个单位长度.答案C3.(老教材必修4P66T4改编)如图所示，某地夏天从814时的用电量变化曲线近似满足函数yAsin(x)b.则这段曲线的函数解析式为_.解析观察图象可知从814时的图象是yAsin(x)b的半个周期的图象，A(5030)10，b(5030)40.148，y10sin40.将x8，y30代入上式，解得.所求解析式为y10sin40，x8，14.答案y10sin40，x8，144.(2019衡
4、水中学联考)将曲线C1：y2cos上的点向右平移个单位长度，再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到曲线C2，则C2的方程为()A.y2sin 4x B.y2sinC.y2sin x D.y2sin解析将曲线C1：y2cos上的点向右平移个单位长度，可得y2sin 2x的图象，再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得曲线C2：y2sin 4x，故选A.答案A5.(2020绵阳诊断改编)ycos(x1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是_.解析相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期，故它们之间的距离为.答案6.(2020太原一模)已知函数f(x)Asin(x)(A
5、0，0，|)的部分图象如图，则函数g(x)cos(4x)的解析式为_.解析由题图可得A2，6(2)8，T16，则f(x)2sin.函数f(x)的图象过点(6，0)，且在点(6，0)附近递增，2k，kZ，2k，kZ.又|0)个单位长度，得到yg(x)的图象.若yg(x)图象的一个对称中心为，求的最小值.解(1)根据表中已知数据，解得A5，2，.数据补全如下表：x02xAsin(x)05050且函数解析式为f(x)5sin.(2)由(1)知f(x)5sin，得g(x)5sin.因为函数ysin x图象的对称中心为(k，0)(kZ).令2x2k，kZ，解得x(kZ).由于函数yg(x)的图象关于点成
6、中心对称，所以令(kZ)，解得(kZ).由0可知，当k1时，取得最小值.规律方法作函数yAsin(x)(A0，0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图，用“五点法”作yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，设zx，由z取0，2来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(x)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.【训练1】 (1)(2017全国卷)已知曲线C1：ycos x，C2：ysin，则下面结论正确的是()A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个
7、单位长度，得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2(2)(2020石家庄调研)若把函数ysin的图象向左平移个单位长度，所得到的图象与函数ycos x的图象重合，则的一个可能取值是()A.2 B. C. D.解析(1)易知C1：ycos xsin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数ysin的图象，再把所
8、得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数ysinsin的图象，即曲线C2，因此D项正确.(2)ysin和函数ycos x的图象重合，可得2k，kZ，则6k2，kZ.2是的一个可能值.答案(1)D(2)A考点二由图象求函数yAsin(x)的解析式【例2】 (1)(一题多解)(2019长郡中学、衡阳八中联考)函数f(x)sin(x)的部分图象如图所示，已知A，B，则f(x)图象的对称中心为()A.(kZ) B.(kZ)C.(kZ) D.(kZ)(2)(2020河南六市联考)函数f(x)Asin(x)(A0，0，00，.f(x)Asin.又f(1)A，AsinA，即sin1.又02，.f(x)Asi
9、n.又知f(0)1，Asin 1，得A2，f(x)2sin.f(2 019)2sin2sin2sin2sin2sin 1.答案(1)C(2)1规律方法yAsin(x)中的确定方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.(2)五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.【训练2】 (1)(2020佛山模拟)某地一天614时的温度变化曲线近似满足函数yAsin(x)b(|0)的图象向左平移个单位，所得的部分函数图象如图所示，则的值为()A. B.C. D.解析(1)令0.由函数图象可知，函数的最大值M为30，
10、最小值m为10，周期T2(146)16，A10，b20.又知T，0，y10sin20.又知该函数图象经过(6，10)，1010sin20，即sin1，2k(kZ)，又|，.故函数的解析式为y10sin20，x6，14.(2)由题图知，T2，2，f(x)2cos 2x，f(x)2cos(2x2)，则由图象知，f2cos2.22k(kZ)，则k(kZ).又00，0，|0)满足f(0)f，且函数在上有且只有一个零点，则f(x)的最小正周期为_.(3)(角度3)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数yaAcos(x1，2，3，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ，12月份
11、的月平均气温最低为18 ，则10月份的平均气温为_.解析(1)因为f(x)是奇函数(显然定义域为R)，所以f(0)Asin 0，即sin 0.又|0)在区间0，1上至少出现50次最大值，则的最小值为()A.98 B. C. D.100解析由题意，至少出现50次最大值即至少需要49个周期，所以T1，所以.答案B思维升华解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T与所给区间的关系，从而建立不等关系.类型2三角函数的单调性与的关系【例2】 若函数f(x)sin x(0)在区间上单调递减，则的取值范围是()A. B.C. D.解析令2kx2k(kZ)，得x，因为f(x)在上单调递减，所以得6k4k3.又0
12、，所以k0，又6k4k3，得0k0)在区间上单调递减，建立不等式，即可求的取值范围.类型3三角函数的对称性、最值与的关系【例3】 (1)(2020枣庄模拟)已知f(x)sin xcos x，若函数f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(，2)，则的取值范围是_.(结果用区间表示)(2)已知函数f(x)2sin x在区间上的最小值为2，则的取值范围是_.解析(1)f(x)sin xcos xsin，令xk(kZ)，解得x(kZ).当k0时，即，当k1时，2，即.综上，.(2)显然0，分两种情况：若0，当x时，x.因函数f(x)2sin x在区间上的最小值为2，所以，解得.若0
13、)个单位后得到的图象经过原点，则的最小值为()A. B. C. D.解析将函数f(x)sin的图象向左平移(0)个单位后得到的图象对应的解析式为ysin，因为其图象经过原点，所以sin0，所以3k，kZ，解得，kZ，又0，所以的最小值为.答案B4.(2019成都检测)已知f(x)Asin(x)B的部分图象如图，则f(x)图象的一个对称中心是()A. B.C. D.解析由题图得为f(x)图象的一个对称中心，T，从而f(x)图象的对称中心为(kZ)，当k1时，为，选A.答案A5.(2020张家界模拟)将函数f(x)sin 2xcos 2x的图象向左平移t(t0)个单位后，得到函数g(x)的图象，若
14、g(x)g，则实数t的最小值为()A. B. C. D.解析由题意得，f(x)2sin，则g(x)2sin，从而2sin2sin2sin(2x2t)2sin(2x2t)，又t0，所以2t2t2k，即t(kZ)，实数tmin.答案B二、填空题6.将函数ysin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是_.解析ysin xysinysin.答案ysin7.(2020沈阳质检)函数f(x)Asin(x)(A0，0，0)的部分图象如图所示，则f_.解析由图象可知A2，T，T，2.当x时，函数f(x)取得最大值，22k(kZ)，2k
15、(kZ)，又00，0，|)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元.则7月份的出厂价格为_元.解析作出函数简图如图：三角函数模型为：yAsin(x)B，由题意知，A2 000，B7 000，T2(93)12，.将(3，9 000)看成函数图象的“第二点”，则有3，0，满足|0，|0，由图象可知，A1，又知，得T，又T，0，2，f(x)sin(2x).又知函数图象经过点，f1，即sin1，2k(kZ)，得2k(kZ).又|，函数f(x)的解析式为f(x)sin.故只需将f(x)的图象向右平移个单位长度即可得到g(x)sin 2x的图象，因此选A.答案A12.(2
16、020河南百校联考)将函数f(x)sin 2xcos 2x1的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，当a(0，1)时，方程|g(x)|a在区间0，2上所有根的和为()A.6 B.8 C.10 D.12解析f(x)sin 2xcos 2x12sin1，将其图象向右平移个单位长度后得到g(x)2sin 2x1的图象.画出函数y|g(x)|的图象与直线ya(0a1)如图，由图知两图象在0，2上共有8个交点，其中交点A与D，B与C分别关于直线x对称，交点E与H，F与G分别关于直线x对称，所以xAxDxBxC，xExHxFxG，故所有交点横坐标之和为10，则方程|g(x)|a在区间0，2上所有
17、根的和为10.答案C13.(一题多解)(2019南昌测试)已知函数f(x)sin(x)，若ff0，则f()_.解析法一因为ff0，所以得(k1，k2Z)，两式相减得，k2k1(k1，k2Z).因为03，且k2k1是整数，所以2.将点看作五点中的“第一点”，则0，所以，满足|0)，所以(k1N)，所以2k1(k1N)，又03，所以当k11时，2.所以f(x)sin(2x).由f0，得k2(k2Z)，所以k2(k2Z)，又|，所以，则f(x)sin，所以f().答案14.已知函数f(x)cos2sinsin.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)将yf(x)的图象向左平移个单位长度，再将得到的
18、图象横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到yg(x)的图象.若函数yg(x)在区间上的图象与直线ya有三个交点，求实数a的取值范围.解(1)f(x)cos2sinsincos 2xsin 2x(sin xcos x)(sin xcos x)cos 2xsin 2xsin2 xcos2xcos 2xsin 2xcos 2xsin.令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，所以函数f(x)的单调递增区间是，kZ.(2)将f(x)的图象向左平移个单位长度，得ysinsincos 2x的图象，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得g(x)cos x的图象.作函数g(x)cos x在区间上
19、的图象，及直线ya.根据图象知，实数a的取值范围是.C级创新猜想15.(新定义题)(2020江西红色七校联考)已知函数yf(x)(xR)，对函数yg(x)(xI)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为yh(x)(xI)，yh(x)满足：对任意xI，两个点(x，h(x)，(x，g(x)关于点(x，f(x)对称，若h(x)asin x是g(x)关于f(x)coscos的“对称函数”，且g(x)在上是减函数，则实数a的取值范围是_.解析根据“对称函数”的概念可知h(x)g(x)2f(x)，即g(x)2f(x)h(x)cos 2xasin x2sin2xasin x1，令tsin x(因为x，所以t)，则y2t2at1，其图象的对称轴为t，开口向下.由于g(x)在上递减，ysin x在上递增，根据复合函数的单调性可知，a2.答案(，2