1、第1讲函数、函数与方程及函数的应用一、填空题1(2015宿迁调研模拟)函数f(x)ln x的定义域为_解析要使函数f(x)ln x有意义，则解得0x1，即函数定义域是(0，1答案(0，12(2015苏北四市调研)已知函数ylog2(ax1)在(1，2)上单调递增，则a的取值范围为_解析根据复合函数的单调性及对数函数的定义域求解因为ylog2(ax1)在(1，2)上单调递增，所以uax1在(1，2)单调递增，且恒大于0，即a1.答案1，)3(2015苏、锡、常、镇模拟)若alog3，blog76，clog20.8，则a，b，c由小到大的顺序为_解析因为alog31，0blog761，clog20
2、.80，故cba.答案cba4已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是_解析由f(x)g(x)，|x2|1kx，即|x2|kx1，所以原题等价于函数y|x2|与ykx1的图象有2个不同交点如图：ykx1在直线yx1与yx1之间，k1.答案5(2011江苏卷)已知实数a0，函数f(x)若f(1a)f(1a)，则a的值为_解析首先讨论1a，1a与1的关系，当a0时，1a1，1a1，所以f(1a)(1a)2a1a；f(1a)2(1a)a3a2.因为f(1a)f(1a)，所以1a3a2，所以a.当a0时，1a1，1a1，所以f(1a)2(
3、1a)a2a；f(1a)(1a)2a3a1.因为f(1a)f(1a)，所以2a3a1，所以a(舍去)综上，满足条件的a.答案6已知函数f(x)x3x，对任意的m2，2，f(mx2)f(x)0，f(x)在R上为增函数又f(x)为奇函数，由f(mx2)f(x)0知，f(mx2)f(x)mx2x，即mxx20，令g(m)mxx2，由m2，2知g(m)0恒成立，可得2x.答案7(2015南师附中模拟)若函数f(x)有两个不同的零点，则实数a的取值范围是_解析当x0时，由f(x)ln x0，得x1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x0时，函数f(x)2xa有一个零点，令f(x)0得a2x，因为02
4、x201，所以0a1，所以实数a的取值范围是0a1.答案(0，18已知函数yf(x)是R上的偶函数，对xR都有f(x4)f(x)f(2)成立当x1，x20，2，且x1x2时，都有0，给出下列命题：f(2)0；直线x4是函数yf(x)图象的一条对称轴；函数yf(x)在4，4上有四个零点；f(2 014)0.其中所有正确命题的序号为_解析令x2，得f(24)f(2)f(2)，解得f(2)0，因为函数f(x)为偶函数，所以f(2)0，正确；因为f(4x)f(4x4)f(x)，f(4x)f(4x4)f(x)f(x)，所以f(4x)f(4x)，即x4是函数f(x)的一条对称轴，正确；当x1，x20，2，
5、且x1x2时，都有0，说明函数f(x)在0，2上是单调递减函数，又f(2)0，因此函数f(x)在0，2上只有一个零点，由偶函数知函数f(x)在2，0上也只有一个零点，由f(x4)f(x)，知函数的周期为4，所以函数f(x)在(2，4与4，2)上也单调，因此，函数在4，4上只有2个零点，错；对于，因为函数的周期为4，即有f(2)f(6)f(10)f(2 014)0，正确答案二、解答题9已知函数f(x)x22exm1，g(x)x(x0)(1)若g(x)m有实根，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根解(1)x0，g(x)x22e，等号成立的条件是xe.故g(x
6、)的值域是2e，)，因而只需m2e，则g(x)m就有实根故m2e，)(2)若g(x)f(x)0有两个相异的实根，即g(x)f(x)中函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)x(x0)的大致图象f(x)x22exm1(xe)2m1e2.其对称轴为xe，开口向下，最大值为m1e2.故当m1e22e，即me22e1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根m的取值范围是(e22e1，)10请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P
7、，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBx(cm)(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.由已知得ax，h(30x)，0x30.(1)S4ah8x(30x)8(x15)21 800，所以当x15时，S取得最大值(2)Va2h2(x330x2)，V6x(20x)由V0，得x0(舍)或x20.当x(0，20)时，V0；当x(20，30)时，V0.所以当x20时，V取
8、得极大值，也是最大值此时.即包装盒的高与底面边长的比值为.11.如图，现要在边长为100 m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m(x不小于9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为x2 m的圆形草地为了保证道路畅通，岛口宽不小于60 m，绕岛行驶的路宽均不小于10 m.(1)求x的取值范围；(运算中取1.4)(2)若中间草地的造价为a元/m2，四个花坛的造价为ax元/m2，其余区域的造价为元/m2，当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？解(1)由题意得解得即9x15.所以x的取值范围是9，15(2)记“环岛”的整体造价为y元，则由题意得yaaxx2，令f(x)x4x312x2，则f(x)x34x224x4x.由f(x)0解得x0(舍去)或x10或x15，列表如下：x9(9，10)10(10，15)15f(x)00f(x)极小值所以当x10时，y取最小值故当x10时，可使“环岛”的整体造价最低