1、第1节函数及其表示考试要求1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段).知 识 梳 理1.函数与映射的概念函数映射两个集合A，B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一
2、个函数称f：AB为从集合A到集合B的一个映射记法函数yf(x)，xA映射：f：AB2.函数的定义域、值域(1)在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽
3、由几个部分组成，但它表示的是一个函数.常用结论与微点提醒1.函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射.2.直线xa(a是常数)与函数yf(x)的图象有0个或1个交点.3.判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致.4.注意以下几个特殊函数的定义域(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.(4)若f(x)x0，则定义域为x|x0.(5)正切函数ytan x的定义域为.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)函数y1与yx0是同一个函
4、数.()(2)对于函数f：AB，其值域是集合B.()(3)f(x)是一个函数.()(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.()解析(1)错误.函数y1的定义域为R，而yx0的定义域为x|x0，其定义域不同，故不是同一函数.(2)错误.值域CB，不一定有CB.(3)错误.f(x)中x不存在.(4)错误.若两个函数的定义域、对应关系均相同时，才是相等函数.答案(1)(2)(3)(4)2.(老教材必修1P25B2改编)若函数yf(x)的定义域为Mx|2x2，值域为Ny|0y2，则函数yf(x)的图象可能是()解析A中函数定义域不是2，2；C中图象不表示函数；D中函数值域不是0，2.答案
5、B3.(新教材必修第一册P66例3改编)下列函数中，与函数yx1是相等函数的是()A.y()2 B.y1C.y1 D.y1解析对于A，函数y()2的定义域为x|x1，与函数yx1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系分别相同，是相等函数；对于C，函数y1的定义域为x|x0，与函数yx1的定义域xR不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数.答案B4.(2020厦门质检)已知函数f(x)则f(f(1)()A.0 B. C.1 D.2解析由题意，知f(1)12211，所以f(f(1)f(1)21.答案B5.(2020九江联考)函数f(x)的定义域是_.解析依
6、题意，得解得0xe，且x1.答案(0，1)(1，e6.已知函数f(x)满足f(x)2f(x)ex，则函数f(x)的解析式为_.解析因为f(x)2f(x)ex，所以将x用x替换，得f(x)2f(x)ex，联立消去f(x)得3f(x)2exex，f(x)exex.答案f(x)exex考点一求函数的定义域【例1】 (1)(2020安徽江南十校期末检测)函数y的定义域为()A.(1，3 B.(1，0)(0，3C.1，3 D.1，0)(0，3(2)(2020济南质检)已知函数f(x)的定义域为0，2，则函数g(x)f的定义域为()A.0，3 B.0，2 C.1，2 D.1，3解析(1)要使函数有意义，x
7、需满足解得1x0或00且1x1，解得x0，且xk(kZ).1x1且kxk，kZ，可得1)，则x，f(t)lg，即f(x)lg(x1).(2)设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)2，得c2，f(x1)f(x)a(x1)2b(x1)2ax2bx22axabx1，所以即f(x)x2x2.(3)在f(x)2f1中，将x换成，则换成x，得f2f(x)1，由解得f(x).答案(1)lg(x1)(2)x2x2(3)规律方法求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数fg(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(3)构造法：已知关于f
8、(x)与f或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x).【训练2】 (1)已知yf(x)是二次函数，若方程f(x)0有两个相等实根，且f(x)2x2，则f(x)_.(2)若f(x)满足2f(x)f(x)3x，则f(x)_.解析(1)设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb，2axb2x2，则a1，b2.所以f(x)x22xc0，且有两个相等实根.44c0，则c1.故f(x)x22x1.(2)因为2f(x)f(x)3x，所以将x用x替换，得2f(x)f(x)3x，由解得f(x)3x.答案(1)x22x1(2)3x考点三分段函数多维探究角度1分段函数求
9、值【例31】 (2018江苏卷)函数f(x)满足f(x4)f(x)(xR)，且在区间(2，2上，f(x)则ff(15)的值为_.解析因为函数f(x)满足f(x4)f(x)(xR)，所以函数f(x)的最小正周期是4.因为在区间(2，2上，f(x)所以f(15)f(1)，因此ff(15)fcos .答案角度2分段函数与方程、不等式问题【例32】 (1)(2020郑州联考)已知函数f(x)则不等式f(x)1的解集为()A.(，2 B.(，0(1，2C.0，2 D.(，01，2(2)已知函数f(x)若f(a)f(1)0，则实数a的值为_.解析(1)当x1时，不等式f(x)1为log2x1，1x2；当x
10、0时，f(a)2a0，此时，f(a)2.综上可知a3.答案(1)D(2)3规律方法1.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.提醒当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.【训练3】 (1)(角度1)(2020佛山检测)已知函数f(x)的图象经过点(3，0)，则f(f(2)()A.2 020 B. C.2 D.1(2)(角度2)(2017全国卷)设函数f(x)则满足f(x)f1的x的取值范围是_.
11、(3)(角度2)已知函数f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是_.解析(1)因为函数f(x)的图象过点(3，0)，所以log3(3m)10，解得m0.所以f(2)log3211，解得x0，当01，该不等式恒成立，当x时，f(x)f2x2x，又x时，2x2x22011恒成立，综上可知，不等式的解集为.(3)当x1时，f(x)2x11，函数f(x)的值域为R，当x1时，(12a)x3a必须取遍(，1)内的所有实数，则解得0a0时，每一个x对应2个y，图象中x0对应2个y，所以均不是函数图象；图象是函数图象.答案B2.(2020太原一中月考)设函数f(x)若f(m)3，则实数m的值为()A.2 B
12、.8 C.1 D.2解析当m2时，m213，解得m2或m2(舍)；当0m2时，log2m3，解得m8(舍).综上，m2.答案D3.如图是张大爷晨练时离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是()解析由y与x的关系知，在中间时间段y值不变，只有D符合题意.答案D4.(2020厦门质检)已知函数f(x)则f(f(log23)()A.9 B.1 C. D.解析f(log23)2log2310，ff(log23)f31.答案B5.(2020黄冈调研)已知函数f(x1)的定义域为(2，0)，则f(2x1)的定义域为()A.(1，0) B.
13、(2，0)C.(0，1) D.解析由题意，知1x11，则f(x)的定义域为(1，1).令12x11，得0x0.当0a0，则实数a的取值范围为()A.(1，) B.(2，)C.(，1)(1，) D.(，2)(2，)解析当a0时，显然不成立.当a0时，不等式af(a)f(a)0等价于a22a0，解得a2.当a0等价于a22a0，解得a2.综上所述，实数a的取值范围为(，2)(2，).答案D二、填空题9.函数f(x)ln的定义域为_.解析要使函数f(x)有意义，则0x1.f(x)的定义域为(0，1.答案(0，110.(2020河北示范性高中联考)函数f(x)的值域为_.解析当x2时，f(x)2x5单
14、调递增，则52时，sin x1，1，f(x)3sin x3，3.故f(x)的值域是(5，3.答案(5，311.已知函数f(x)满足ff(x)2x(x0)，则f(2)_.解析令x2，可得ff(2)4，令x，可得f(2)2f1联立解得f(2).答案12.设函数f(x)则使f(x)的x的集合为_.解析由题意知，若x0，则2x，解得x1；若x0，则|log2x|，解得x或x.故x的集合为.答案B级能力提升13.(2019郑州检测)高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用x表示不超过x的最大整数，则yx称为高斯函数.例如：2.13，3
15、.13，已知函数f(x)，则函数yf(x)的值域为()A.0，1，2，3 B.0，1，2C.1，2，3 D.1，2解析f(x)1，2x0，12x1，01，则02，113，即1f(x)3.当1f(x)2时，f(x)1，当2f(x)3时，f(x)2.综上，函数yf(x)的值域为1，2.答案D14.设函数f(x)若对任意的aR都有ff(a)2f(a)成立，则的取值范围是()A.(0，2 B.0，2C.2，) D.(，2)解析当a1时，2a2.ff(a)f(2a)22a2f(a)恒成立.当am成立，则m的取值范围为_.解析f(x)3fx2log2x，以代替x得f3f(x)3x2log2x，联立消去f，
16、得f(x)xlog2x，则x2，4时，f(x)xlog2x是增函数，f(x)maxf(4)6，因此m6.答案(，6)16.(多填题)已知函数f(x)则f(f(3)_，f(x)的最小值是_.解析由题意知f(3)lg(3)21lg 101，所以ff(3)f(1)0，当x1时，f(x)x323，当且仅当x时，取等号，此时f(x)min230；当x1时，f(x)lg(x21)lg 10，当且仅当x0时，取等号，此时f(x)min0.f(x)的最小值为23.答案023C级创新猜想17.(组合选择题)具有性质：ff(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.下列函数：yx；yln ；y其中满足“倒负”变换的函数是()A. B. C. D.解析对于，f(x)x，fxf(x)，满足题意；对于，f(x)ln ，则fln f(x)，不满足；对于，f即f则ff(x).所以满足“倒负”变换的函数是.答案B