1、2015-2016学年广东省佛山市高明一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1一个物体的运动方程为s=1+t+t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A7米/秒B6米/秒C5米/秒D8米/秒2设f （x）为可导函数，且满足=1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率是（）A2B1CD23用反证法证明命题：“已知a、bN*，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）Aa、b都能被5整除Ba、b都不能被5整除Ca、b不都能被5整除Da不能被5整除4某个命题与自然数n有关
2、，若n=k（kN*）时命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（）A当n=6时，该命题不成立B当n=6时，该命题成立C当n=4时，该命题不成立D当n=4时，该命题成立5若（m23m4）+（m25m6）i是纯虚数，则实数m的值为（）A1B4C1或4D不存在6若函数y=f（x）的导函数在区间a，b上是增函数，则函数y=f（x）在区间a，b上的图象可能是（）ABCD7函数f（x）=x3ax2bx+a2在x=1处有极值10，则点（a，b）为（）A（3，3）B（4，11）C（3，3）或（4，11）D不存在248曲线f（x）=ln（2x1）上的点到直线2xy
3、+3=0的最短距离是（）RA1B2CD3b9如图，在一个长为，宽为2的矩形OABC内，曲线y=sinx（0x）与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点（该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是（）cABCD110设aR，若函数y=eax+3x，xR有大于零的极值点，则（）JAa3Ba3CaDaw11已知函数y=x33x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）JA2或2B9或3C1或1D3或1w12已知f1（x）=sinxcosx，fn+1（x）是fn（x）的导函数，即f2（x）=f1（x），f3（x）=f2（x），fn+1（x）=fn（x），
4、nN*，则f2012（x）=（）oAsinx+cosxBsinxcosxCsinx+cosxDsinxcosx2二、填空题：（每小题5分，共20分）C13函数f（x）=（x3）ex的单调递增区间是f14一物体在力F（x）=（单位：N）的作用下，沿着与力F相同的方向，从x=0处运动到x=4处（单位：m），则力F（x）所做的功为J715平面上有n条直线，它们任何两条不平行，任何三条不共点，设k条这样的直线把平面分成f（k）个区域，且已知f（2）=4，f（3）=7，f（4）=11，则f（5）=，k+1条直线把平面分成的区域数f（k+1）=f（k）+g16已知f（x）=lgx，函数f（x）定义域中任意
5、的x1，x2（x1x2），有如下结论：m0f（3）f（3）f（2）f（2）；W0f（3）f（2）f（3）f（2）；20；f（）8上述结论中正确结论的序号是e三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤A17（1）用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60/（2）已知n0，试用分析法证明：A18已知数列an满足an+1=，a1=0=（1）计算a2，a3，a4，a5的值；=（2）根据以上计算结果猜想an的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想19如图，一矩形铁皮的长为8m，宽为3m，在四个角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以制成一个无盖的长方
6、体容器，所得容器的容积V（单位：m3）是关于截去的小正方形的边长x（单位：m）的函数（1）写出关于x（单位：m）的函数解析式；（2）截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？20定义：对于区间I内可导的函数y=f（x），若x0I，使f（x0）=f（x0）=0，则称x0为函数y=f（x）的新驻点已知函数f（x）=axx（）若函数y=f（x）存在新驻点，求新驻点x0，并求此时a的值；（）若f（x）0恒成立，求实数a的取值范围21已知x=1是函数f（x）=mx33（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，nR，m0（）求m与n的关系表达式；（）求f（x）的单调区间；（）当x1
7、，1时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围22已知函数，aR（）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线x+2y=0垂直，求a的值；（）求函数f（x）的单调区间；（）当a=1，且x2时，证明：f（x1）2x52015-2016学年广东省佛山市高明一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1一个物体的运动方程为s=1+t+t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A7米/秒B6米/秒C5米/秒D8米/秒【考点】导数的几何意义【分析】求函数的导数，利用导数的物理
8、意义即可得到结论【解答】解：s=s（t）=1+t+t2，s（t）=1+2t，则物体在3秒末的瞬时速度s（3）=1+23=7，故选：A2设f （x）为可导函数，且满足=1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率是（）A2B1CD2【考点】直线的斜率；极限及其运算【分析】首先根据极限的运算法则，对所给的极限式进行整理，写成符合导数的定义的形式，写出导数的值，即得到函数在这一个点的切线的斜率【解答】解：，f（1）=2即曲线y=f （x）在点（1，f（1）处的切线的斜率是2，故选D3用反证法证明命题：“已知a、bN*，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应
9、为（）Aa、b都能被5整除Ba、b都不能被5整除Ca、b不都能被5整除Da不能被5整除【考点】反证法【分析】反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证命题“a，bN，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”故选：B4某个命题与自然数n有关，若n=k（kN*）时命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（）A当n=6时，该命题不成立B当n=6时，该命题成立C当n=4时，
10、该命题不成立D当n=4时，该命题成立【考点】数学归纳法【分析】本题考查的知识点是数学归纳法，由归纳法的性质，我们由P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对nk的任意整数均成立，结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对n=k不成立时，则它对n=k1也不成立，由此类推，对nk的任意正整数均不成立，由此不难得到答案【解答】解：由题意可知，P（n）对n=4不成立（否则n=5也成立）同理可推得P（n）对n=3，n=2，n=1也不成立故选C5若（m23m4）+（m25m6）i是纯虚数，则实数m的值为（）A1B4C1或4D不存在【考点】复数的基本概念【分析】直接根据复数z=a+bi（aR，
11、bR）是纯虚数则a=0，b0，建立方程组，解之即可求出所求【解答】解：（m23m4）+（m25m6）i是纯虚数，即，解得m=4，实数m的值为4故选：B6若函数y=f（x）的导函数在区间a，b上是增函数，则函数y=f（x）在区间a，b上的图象可能是（）ABCD【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】根据函数的单调性与导函数的关系，用排除法进行判断【解答】解：函数y=f（x）的导函数在区间a，b上是增函数，对任意的axxb，有f（a）f（x）f（x）f（b），也即在a，x，x“，b处它们的斜率是依次增大的A 满足上述条件，B 存在f（x）f（x），C 对任意的axxb，f（x）=f（x），D 对任
12、意的xa，b，f（x）不满足逐项递增的条件，故选A7函数f（x）=x3ax2bx+a2在x=1处有极值10，则点（a，b）为（）A（3，3）B（4，11）C（3，3）或（4，11）D不存在【考点】函数在某点取得极值的条件【分析】首先对f（x）求导，然后由题设在x=1时有极值10可得解之即可求出a和b的值【解答】解：对函数f（x）求导得 f（x）=3x22axb，又在x=1时f（x）有极值10，解得或，验证知，当a=3，b=3时，在x=1无极值，故选B8曲线f（x）=ln（2x1）上的点到直线2xy+3=0的最短距离是（）A1B2CD3【考点】点到直线的距离公式【分析】根据题意，求出直线2xy+
13、3=0的斜率，再利用导数求出曲线f（x）与直线平行的切线的切点，求出切点到直线2xy+3=0的距离即可【解答】解：因为直线2xy+3=0的斜率为2，所以令f（x）=2，解得x=1，把x=1代入曲线方程得：f（1）=ln（21）=0，即曲线f（x）过（1，0）的切线斜率为2，则（1，0）到直线2xy+3=0的距离d=，即曲线f（x）=ln（2x1）上的点到直线2xy+3=0的最短距离是故选：C9如图，在一个长为，宽为2的矩形OABC内，曲线y=sinx（0x）与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点（该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是（）A
14、BCD【考点】几何概型【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出阴影部分的面积，及矩形的面积，再将它们代入几何概型计算公式计算出概率【解答】解：阴影部分面积S阴影=0（sinx）dx=2，矩形部分面积S矩形=2，所投的点落在阴影部分的概率P=，故选A10设aR，若函数y=eax+3x，xR有大于零的极值点，则（）Aa3Ba3CaDa【考点】利用导数研究函数的极值【分析】题目中：“有大于零的极值点”问题往往通过导函数的零点问题：f（x）=3+aeax=0有正根，通过讨论此方程根为正根，求得参数的取值范围【解答】解：设f（x）=eax+3x，则f（x）=3+aeax若函数在xR上有大于
15、零的极值点即f（x）=3+aeax=0有正根当有f（x）=3+aeax=0成立时，显然有a0，此时x=ln（）由x0，得参数a的范围为a3故选B11已知函数y=x33x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A2或2B9或3C1或1D3或1【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系【分析】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x33x+c的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值【解答】解：求导函数可得y=3（x+1）（x1），令y0，可得x1或x1；令y0，可得1x1；函数在（，1），（1，+）上单调增，（1，1）上单调减，
16、函数在x=1处取得极大值，在x=1处取得极小值函数y=x33x+c的图象与x轴恰有两个公共点，极大值等于0或极小值等于013+c=0或1+3+c=0，c=2或2故选：A12已知f1（x）=sinxcosx，fn+1（x）是fn（x）的导函数，即f2（x）=f1（x），f3（x）=f2（x），fn+1（x）=fn（x），nN*，则f2012（x）=（）Asinx+cosxBsinxcosxCsinx+cosxDsinxcosx【考点】导数的运算；函数的值【分析】先从f1（x）开始求导，找出其周期即可【解答】解：f1（x）=sinxcosx，f5（x）=f1（x），fn+4k（x）=fn（x）f2
17、012（x）=f5024+4（x）=f4（x）=cosxsinx故选D二、填空题：（每小题5分，共20分）13函数f（x）=（x3）ex的单调递增区间是（2，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】首先对f（x）=（x3）ex求导，可得f（x）=（x2）ex，令f（x）0，解可得答案【解答】解：f（x）=（x3）ex+（x3）（ex）=（x2）ex，令f（x）0，解得x2故答案为：（2，+）14一物体在力F（x）=（单位：N）的作用下，沿着与力F相同的方向，从x=0处运动到x=4处（单位：m），则力F（x）所做的功为46J【考点】定积分【分析】根据积分的物理意义，求积分即可【解答】解：F（
18、x）=，F（x）做的功为F（x）dx=10dx+（3x+4）dx=10x|+（+4x）|=20+26=46故答案为：4615平面上有n条直线，它们任何两条不平行，任何三条不共点，设k条这样的直线把平面分成f（k）个区域，且已知f（2）=4，f（3）=7，f（4）=11，则f（5）=16，k+1条直线把平面分成的区域数f（k+1）=f（k）+k+1【考点】归纳推理【分析】1条直线把平面分成2个区域，2条直线马平面分成2+2个区域，3条把平面分成2+2+3个区域，4条直线把平面分成2+2+3+4个区域，由此可知若n条直线把平面分成f（k）个区域，则f（k+1）f（k）=k+1【解答】解：1条直线把
19、平面分成2个区域，2条直线马平面分成2+2个区域，3条把平面分成2+2+3个区域，4条直线把平面分成2+2+3+4个区域，5条直线把平面分成2+2+3+4+5=16个区域，由此可知若n条直线把平面分成f（k）个区域，则f（k+1）f（k）=k+1故答案为：16，k+116已知f（x）=lgx，函数f（x）定义域中任意的x1，x2（x1x2），有如下结论：0f（3）f（3）f（2）f（2）；0f（3）f（2）f（3）f（2）；0；f（）上述结论中正确结论的序号是【考点】导数的运算；对数函数的单调性与特殊点【分析】据导数的几何意义及对数函数的图象特点，判断出对错；利用对数函数的图象其任意两点连线的
20、斜率都大于0判断出对；利用对数函数的图象上凸得到错【解答】解：对于，由于f（3），f（2）分别表示f（x）在x=3，x=2处的切线斜率，f（3）f（2）表示（2，f（2）与（3，f（3）两点连线的斜率，画出f（x）的图象，数学结合判断出对对于，表示y=lgx上任两个点的连线的斜率，由于y=lgx是增函数，故有成立，故正确对于，由于f（x）的图象时上凸性质，所以有，故不正确故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（1）用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60（2）已知n0，试用分析法证明：【考点】反证法与放缩法；综合法与分析法(
21、选修）【分析】（1）利用反证法假设在一个三角形中，没有一个内角大于或等于60，可得其反面，从而可得三内角和小于180，与三角形中三内角和等于180矛盾；（2）利用分析法，从而转化为证明10【解答】证明：（1）假设在一个三角形中，没有一个内角大于或等于60，即均小于60，则三内角和小于180，与三角形中三内角和等于180矛盾，故假设不成立原命题成立（2）要证上式成立，需证需证需证需证（n+1）2n2+2n需证n2+2n+1n2+2n，只需证10因为10显然成立，所以原命题成立18已知数列an满足an+1=，a1=0（1）计算a2，a3，a4，a5的值；（2）根据以上计算结果猜想an的通项公式，并
22、用数学归纳法证明你的猜想【考点】数学归纳法；数列递推式【分析】（1）由和a1=0，代入计算，可求a2，a3，a4，a5的值；（2）猜想an的通项公式，再用数学归纳法证明，关键是假设当n=k（k1）时，命题成立，即成立，利用递推式，证明当n=k+1时，等式成立【解答】解：（1）由和a1=0，得，4447834（2）由以上结果猜测：用数学归纳法证明如下：（）当n=1时，左边=a1=0，右边=，等式成立（）假设当n=k（k1）时，命题成立，即成立那么，当n=k+1时，这就是说，当n=k+1时等式成立由（）和（），可知猜测对于任意正整数n都成立19如图，一矩形铁皮的长为8m，宽为3m，在四个角各截去一
23、个大小相同的小正方形，然后折起，可以制成一个无盖的长方体容器，所得容器的容积V（单位：m3）是关于截去的小正方形的边长x（单位：m）的函数（1）写出关于x（单位：m）的函数解析式；（2）截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数解析式的求解及常用方法；基本不等式在最值问题中的应用【分析】（1）设小正方形的边长为xcm，则盒子容积为：y=（82x）（32x）x为三次函数，（2）用求导法，可得x=1时，函数y取得最大值，此时盒子容积最大【解答】解：（1）设小正方形的边长为xcm，则x（0，1.5）；盒子容积为：y=（82x）（32x）x=4x322x2+24x，（2
24、）对y求导，得y=12x244x+24，令y=0，得12x244x+24=0，解得：x=1，x=（舍去），所以，当0x1时，y0，函数y单调递增；当1x1.5时，y0，函数y单调递减；所以，当x=1时，函数y取得最大值6；所以，小正方形的边长为1cm，盒子容积最大，最大值为6cm320定义：对于区间I内可导的函数y=f（x），若x0I，使f（x0）=f（x0）=0，则称x0为函数y=f（x）的新驻点已知函数f（x）=axx（）若函数y=f（x）存在新驻点，求新驻点x0，并求此时a的值；（）若f（x）0恒成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】（）
25、先求导数f（x）=axlna1，由题意得两式联立即可得到（）f（x）=axx0axx，下面分类讨论：（i）x0时，显然恒成立，（ii）x0时，设，则，利用导数研究其单调性即可求实数a的取值范围【解答】解：（）f（x）=axx，f（x）=axlna1，由题意得由得代入得x0=logae，即代入得x0=e，ae=e，（）f（x）=axx0axx，（i）x0时，显然恒成立，（ii）x0时，设，则，g（e）=0，当x（0，e）时，g（x）0，g（x）递增，当x（e，+）时，g（x）0，g（x）递减，21已知x=1是函数f（x）=mx33（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，nR，m0（）求m与
26、n的关系表达式；（）求f（x）的单调区间；（）当x1，1时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求出f（x），因为x=1是函数的极值点，所以得到f（1）=0求出m与n的关系式；（）令f（x）=0求出函数的极值点，讨论函数的增减性确定函数的单调区间；（）函数图象上任意一点的切线斜率恒大于3m即f（x）3m代入得到不等式即3m（x1）x（1+）3m，又因为m0，分x=1和x1，当x1时g（t）=t，求出g（t）的最小值要使（x1）恒成立即要g（t）的最小值，解出不等式的解集求出m的范
27、围【解答】解：（）f（x）=3mx26（m+1）x+n因为x=1是f（x）的一个极值点，所以f（1）=0，即3m6（m+1）+n=0所以n=3m+6（）由（）知f（x）=3mx26（m+1）x+3m+6=3m（x1）x（1+）当m0时，有11+，当x变化时f（x）与f（x）的变化如下表：x（，1+）1+（1+，1）1（1，+）f（x）00000f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减由上表知，当m0时，f（x）在（，1+）单调递减，在（1+，1）单调递增，在（1，+）单调递减（）由已知，得f（x）3m，即3m（x1）x（1+）3m，m0（x1）x1（1+）1（*）10x=1时（*）式化为0
28、1怛成立m020x1时x1，1，2x10（*）式化为（x1）令t=x1，则t2，0），记g（t）=t，则g（t）在区间2，0）是单调增函数g（t）min=g（2）=2=由（*）式恒成立，必有m，又m0m0综上10、20知m022已知函数，aR（）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线x+2y=0垂直，求a的值；（）求函数f（x）的单调区间；（）当a=1，且x2时，证明：f（x1）2x5【考点】简单复合函数的导数；利用导数研究函数的单调性；两条直线垂直的判定【分析】（）导数在切点处的导数值是切线斜率，垂直的直线斜率互为负倒数（）导数大于0，对应区间为单调递增区间；导数小于0，对应区间
29、为单调递减区间（）用导数研究函数的单调性，求函数的最值，证明不等式【解答】解：（）函数f（x）的定义域为x|x0，又曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线x+2y=0垂直，所以f（1）=a+1=2，即a=1（）由于当a0时，对于x（0，+），有f（x）0在定义域上恒成立，即f（x）在（0，+）上是增函数当a0时，由f（x）=0，得当时，f（x）0，f（x）单调递增；当时，f（x）0，f（x）单调递减（）当a=1时， x2，+）令当x2时，g（x）0，g（x）在（2，+）单调递减又g（2）=0，所以g（x）在（2，+）恒为负所以当x2，+）时，g（x）0即故当a=1，且x2时，f（x1）2x5成立2016年10月22日