1、32 函数的基本性质32.1 单调性与最大(小)值第 1 课时 函数的单调性1理解函数单调区间、单调性等概念2会划分函数的单调区间，判断单调性3会用定义证明函数的单调性1函数的单调性温馨提示：定义中的 x1，x2 有以下 3 个特征(1)任意性，即“任意取 x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定 x1x2；(3)属于同一个单调区间2函数的单调区间如果函数 yf(x)在区间 D 上单调递增或单调递减，那么就说函数 yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间 D 叫做函数 yf(x)的单调区间温馨提示：(1)函数的单调性是对定义域内某个区间而言
2、的，它是函数的一个局部性质(2)函数 f(x)在定义域的某个区间 D 上单调，不一定在定义域上单调如 f(x)x2 等(3)并非所有的函数都具有单调性，如 f(x)1，x是偶数0，x是奇数，它的定义域是 N，但不具有单调性1观察下列函数图象：(1)从图象上看，自变量 x 增大时，函数 f(x)的值如何变化？(2)甲、乙图中，若 x1x2，则 f(x1)与 f(x2)的大小关系是什么？(3)丙图中，若 x1x2，f(x1)f(x2)，则自变量 x 属于哪个区间？如何用符号表示这一现象答案(1)甲：自变量 x 增大时，函数 f(x)也随之变大乙：自变量 x 增大时，函数 f(x)随之减小丙：在 y
3、 轴左侧函数 f(x)的值随 x 的增大而减小；在 y 轴右侧，函数 f(x)的值随 x 的增大而增大(2)甲：x1x2，f(x1)f(x2)乙：x1f(x2)(3)0，)x1，x20，)，若 x1x2，则 f(x1)f(x2)2判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数 yx2 在 R 上是增函数()(2)所有的函数在其定义域上都具有单调性()(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“x1，x2”改为“x1，x2”()(4)若函数 f(x)在2，)上为增函数，则 f(x)在3,4上也为增函数()答案(1)(2)(3)(4)题型一函数单调性的判断与证明【典例 1】证明函数 f(x)x4x在
4、(，2)上是增函数思路导引 设出x1x22，判定 f(x1)与 f(x2)的大小关系证明 x1，x2(，2)，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)x14x1x24x2(x1x2)4x2x1x1x2x1x2x1x24x1x2.x1x22，x1x24，x1x240.f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)函数 f(x)x4x在(，2)上是增函数证明或判断函数单调性的方法步骤针对训练1求证：函数 f(x)1x2在(0，)上是减函数，在(，0)上是增函数证明 x1，x2(，0)，且 x1x2，有 f(x1)f(x2)1x211x22x22x21x21x22 x2x1x2x1x21x22.x1
5、x20，x1x20.f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)函数 f(x)1x2在(，0)上是增函数x1，x2(0，)，且 x1x2，有 f(x1)f(x2)x2x1x2x1x21x22.0 x10，x2x10，x21x220.f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)函数 f(x)1x2在(0，)上是减函数.题型二求函数的单调区间【典例 2】求下列函数的单调区间：(1)f(x)1x1；(2)f(x)|x23x2|.思路导引(1)先求出函数的定义域，再利用定义求解；(2)作出函数 yx23x2 的图象，再将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方，结合图象写出 f(x)的单调区间解(
6、1)函数 f(x)1x1的定义域为(，1)(1，)，x1，x2(，1)，且 x1x2，则f(x1)f(x2)1x111x21x2x1x11x21.因为 x1x20，x110，x210，即 f(x1)f(x2)所以函数 f(x)在(，1)上单调递减，同理函数 f(x)在(1，)上单调递减综上，函数 f(x)的单调递减区间是(，1)，(1，)(2)f(x)|x23x2|x23x2，x1或x2，x23x2，1x2.作出函数的图象，如图所示根据图象，可知，单调递增区间是1，32 和2，)；单调递减区间是(，1和32，2.(1)求函数单调区间的 2 种方法定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解
7、图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间(2)求函数单调区间的注意点一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接针对训练2函数 f(x)1x2 的单调递减区间是_解析 函数 f(x)的定义域为(，0)(0，)当 x1x20，f(x)在(，0)上为减函数；当 0 x10，f(x)在(0，)上为减函数f(x)的单调递减区间为(，0)，(0，)答案(，0)，(0，)3作出函数 f(x)x3，x1，x223，x1 的图象，并指出函数的单调区间解 f(x)x3，x1，x223，x1的图象如图所示由图象可知：函数的单调递减区间为(，1和(1,2；单调递增区间
8、为(2，).题型三函数单调性的应用【典例 3】(1)已知函数 f(x)x22(1a)x2 在4，)上是增函数，求实数 a 的取值范围(2)已知 yf(x)在定义域(，)上是减函数，且 f(1a)f(2a1)，求 a 的取值范围思路导引 二次函数的单调性由开口方向及对称轴确定，与函数值有关的不等式问题依据单调性转化为自变量的不等关系解(1)f(x)x22(1a)x2x(1a)22(1a)2，f(x)的增区间是1a，)又已知 f(x)在4，)上是增函数，1a4，即 a3.所求实数 a 的取值范围是3，)(2)f(x)在 R 上是减函数，且 f(1a)2a1，得 a23，a 的取值范围是，23.变式
9、(1)若本例(1)条件改为“函数 f(x)x22(1a)x2 的单调递增区间为4，)”，其他条件不变，如何求解？(2)若本例(2)中“定义域(，)”改为“定义域(1,1)”，其他条件不变，如何求解？解(1)f(x)x22(1a)x2x(1a)22(1a)2，f(x)的递增区间为1a，)1a4，得 a3.(2)由题意可知11a1，12a11.解得 0a1.又 f(x)在(1,1)上是减函数，且 f(1a)2a1，即 a23.由可知，0af(2a)Bf(a2)f(a)Cf(a2a)f(a)Df(a21)a2，f(a21)f(a2)选 D.答案 D5函数 f(x)x22mx3 在区间1,2上单调，则
10、 m 的取值范围是_解析 二次函数在某区间内是否单调取决于对称轴的位置，函数 f(x)x22mx3 的对称轴为 xm，函数在区间1,2上单调，则m1 或 m2.答案 m|m1 或 m2课堂归纳小结1.若 f(x)的定义域为 D，AD，BD，f(x)在 A 和 B 上都单调递减，未必有 f(x)在 AB 上单调递减，如函数 y1x.2.对增函数的判断，当 x1x2 时，都有 f(x1)0 或fx1fx2x1x20.对减函数的判断，当 x1f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1x2)f(x1)f(x2)0 或fx1fx2x1x20.3.熟悉一些常见函数的单调性结论，包括一次函数，二次函数
11、，反比例函数等.4.若 f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：在定义域的交集(非空)上，f(x)g(x)单调递增，f(x)h(x)单调递增，f(x)单调递减，1fx单调递减(f(x)0).5.对于函数值恒正(或恒负)的函数 f(x)，证明单调性时，也可以作商fx1fx2与 1 比较.1如图所示，函数 yf(x)在下列哪个区间上是增函数()A4,4B4，31,4C3,1D3,4解析 观察题中图象知，函数在3,1上是增函数答案 C2下列函数中，在(，0内为增函数的是()Ayx22 By3xCy12xDy(x2)2解析 选项 A，B 在(，0)上为减函数，选项 D 在(2，0上为减函数
12、，只有选项 C 满足在(，0内为增函数故选 C.答案 C3若函数 f(x)(2a1)xb 是 R 上的减函数，则实数 a 的取值范围是()A.12，B.，12C.12，D.，12解析 由一次函数的性质得 2a10，即 a12.故选 D.答案 D4已知函数 f(x)为定义在区间1,1上的增函数，则满足 f(x)f12的实数 x 的取值范围为_解析 因为 f(x)在区间1,1上为增函数，且 f(x)f12，所以1x1，x12，解得1xx20，f(x1)f(x2)x11x11x21x212x1x2x11x21，由 x1x20 知 x110，x210，x1x20，故 f(x1)f(x2)0，即 f(x
13、)在(0，)上单调递增课后作业(十九)复习巩固一、选择题1若函数 f(x)在区间(a，b)上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数 f(x)在区间(a，b)(b，c)上()A必是增函数B必是减函数C是增函数或减函数D无法确定单调性解析 函数在区间(a，b)(b，c)上无法确定单调性如 y1x在(0，)上是增函数，在(，0)上也是增函数，但在(，0)(0，)上并不具有单调性答案 D2下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()Ay|x|By3xCy1xDyx24解析 因为10，所以一次函数 yx3 在 R 上递减，反比例函数 y1x在(0，)上递减，二次函数 yx24 在(0，)上递减
14、故选 A.答案 A3对于函数 yf(x)，在给定区间上有两个数 x1，x2，且 x1x2，使 f(x1)f(0)Bf(x2)f(0)Cf(3a1)f(2a)故选 D.答案 D二、填空题6若函数 f(x)2x2mx3，当 x2，)时是增函数，当x(，2)时是减函数，则 f(1)_.解析 由条件知x2是函数f(x)图象的对称轴，所以m42，m8，则 f(1)13.答案 137已知函数 f(x)|xa|在(，1)是单调函数，则 a 的取值范围是_解析 因为函数 f(x)的单调递减区间为(，a，所以a1，解得 a1.答案(，18已知 f(x)是定义在 R 上的增函数，且 f(x2)f(1x)，则 x
15、的取值范围为_解析 f(x)是定义在 R 上的增函数，又f(x2)f(1x)，x21x，x1.其图象如下图所示：由图象可得函数的值域为0，)(，1为函数的单调递减区间；1，)为函数的单调递增区间(2)f(x)x3x1，x1，x3x1，x1，即 f(x)x124，x1，x124，x14Ba14C14a0 时，由函数 f(x)ax22x3 的图象知，不可能在区间(，4)上是单调递增；当 a0 时，只有 22a4，即 a14满足函数f(x)在区间(，4)上是单调递增的，综上可知实数 a 的取值范围是14a0.答案 D12已知函数 f(x)x2bxc 的图象的对称轴为直线 x1，则()Af(1)f(1
16、)f(2)Bf(1)f(2)f(1)Cf(2)f(1)f(1)Df(1)f(1)f(2)解析 因为二次函数 f(x)的图象的对称轴为直线 x1，所以 f(1)f(3)又函数 f(x)的图象为开口向上的抛物线，则 f(x)在区间1，)上为增函数，故 f(1)f(2)f(3)，即 f(1)f(2)1是 R 上的减函数，则实数 a 的取值范围是()A(0,3)B(0,3C(0,2)D(0,2解析 依题意得实数 a 满足a30，a352a，解得 00，则 f(3)与 f()的大小关系是_解析 由(x1x2)f(x1)f(x2)0，可知函数 f(x)为增函数又3，所以 f(3)f()答案 f(3)f()
17、15设 f(x)是定义在 R 上的增函数，f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，则不等式 f(x)f(2)1 的解集为_解析 由条件可得 f(x)f(2)f(2x)，又 f(3)1，不等式f(x)f(2)1，即为 f(2x)f(3)f(x)是定义在 R 上的增函数，2x3，解得 x1 的解集为xx32.答案 xx3216已知函数 f(x)xaxa2在(1，)上是增函数，求实数 a的取值范围解 设 1x11.函数 f(x)在(1，)上是增函数，f(x1)f(x2)x1ax1a2x2ax2a2(x1x2)1 ax1x2 0.x1x20，即 ax1x2.1x11，x1x21，a1.a 的取值范围是1，)
