1、第 1 页 引言 1.高中数学知识总结归纳课程内容：必修课程由 5 个模块组成：必修 1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修 2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修 3：算法初步、统计、概率。必修 4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。必修 5：解三角形、数列、不等式。以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。此外，基础内
2、容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。选修课程有 4 个系列：系列 1：由 2 个模块组成。选修 11：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。选修 12：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列 2：由 3 个模块组成。选修 21：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。选修 22：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数 选修 23：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。系列 3：由 6 个专题组成。选修 31：数学史选讲。选修 32：信息安全与密码。选修 33：球面上的几何。选修 34：对称与群。选修 35：欧拉公式与闭曲面分类。选修 36：三等分角与数域扩
3、充。系列 4：由 10 个专题组成。选修 41：几何证明选讲。选修 42：矩阵与变换。选修 43：数列与差分。选修 44：坐标系与参数方程。选修 45：不等式选讲。选修 46：初等数论初步。选修 47：优选法与试验设计初步。选修 48：统筹法与图论初步。选修 49：风险与决策。选修 410：开关电路与布尔代数。2重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点：集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件 第 2 页函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数
4、、函数的应用 数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用 三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用 平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用 不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用 直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系 圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用 直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量 排列、组合
5、和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用 概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布 导数：导数的概念、求导、导数的应用 复数：复数的概念与运算 第 3 页高中数学 必修 1 知识点 第一章集合与函数概念1.1集合【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N 或 N+表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系 对象a 与集合 M 的关系是aM，或者 aM，两者必居其一.（4）集合的表示法 自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.列举法：把集合中的
6、元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.描述法：x|x 具有的性质，其中 x 为集合的代表元素.图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类 含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做空集().【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等 名称记号意义性质示意图子集 BA（或)AB A 中的任一元素都属于 B(1)A A(2)A (3)若BA 且 BC，则 AC(4)若BA 且 BA，则 AB=A(B)或BA真子集 A B（或B A）BA，且 B 中至少有一元素不属于A（1）A（A 为非空子集）(2)若 AB且 BC，则 ACB
7、A集合 相等 AB=A 中的任一元素都属于 B，B 中的任一元素都属于 A(1)A B(2)B A A(B)（7）已知集合 A 有(1)n n 个元素，则它有 2n 个子集，它有 21n 个真子集，它有 21n 个非空子集，它有 22n 非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集 名称 记号 意义 性质 示意图 交集 AB|,x xA且xB（1）AAA=（2）A=（3）ABAABB第 4 页并集 AB|,x xA或xB（1）AAA=（2）AA=（3）ABAABB补集 U A|,x xUxA且 1()UAA=2()UAAU=A【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
8、（1）含绝对值的不等式的解法 不等式 解集|(0)xa a|xaxa|x xa|,|(0)axbc axbc c+把 axb+看成一个整体，化成|xa型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法 判别式 24bac=0 0=0 的图象 O=OLO一元二次方程20(0)axbxca+=的根 21,242bbacxa=（其中12)xx的解集 1|x xx|x2bxa R20(0)axbxca+的解集12|x xxx1.2函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念 设 A、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 f，对于集合 A 中任何一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数()f x
9、和它对应，那么这样的对应（包括集合 A，B 以及 A 到 B 的对应法则 f）叫做集合 A 到 B 的一个函数，记作:fAB 函数的三要素:定义域、值域和对应法则()()()UUUABAB=()()()UUUABAB=第 5 页只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数（2）区间的概念及表示法 设,a b 是两个实数，且ab，满足axb的实数 x 的集合叫做闭区间，记做,a b；满足axb的实数 x 的集合叫做开区间，记做(,)a b；满足axb，或axb的 实 数 x 的 集 合 分 别 记 做,),(,),(,(,)aabb+注意：对于集合|x axb与区间(,)a b，前者a
10、 可以大于或等于b，而后者必须 ab，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：()f x 是整式时，定义域是全体实数()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合 对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于 1 tanyx=中，()2xkkZ+零（负）指数幂的底数不能为零 若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集 对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域
11、为,a b，其复合函数 ()f g x的定义域应由不等式()ag xb解出 对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论 由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义（4）求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值 配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范
12、围确定函数的值域或最值 判别式法：若函数()yf x=可以化成一个系数含有 y 的关于 x 的二次方程2()()()0a y xb y xc y+=，则在()0a y 时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0bya yc y=，从而确定函数的值域或最值 不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值 换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题 第 6 页反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值 数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值 函数的单调性法【1.2.2】函数的表示法
13、（5）函数的表示方法 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（6）映射的概念 设 A、B 是两个集合，如果按照某种对应法则 f，对于集合 A 中任何一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合 A，B 以及 A 到 B 的对应法则 f）叫做集合 A 到 B的映射，记作:fAB 给定一个集合 A 到集合 B 的映射，且,aA bB如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的
14、原象 1.3函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性 定义及判定方法 函数的 性 质 定义 图象 判定方法 函数的 单调性 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x1 x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是增函数 x 1x 2y=f(X)xyf(x)1f(x)2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增）（4）利用复合函数 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2，当 x1f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数 y=f(X)yx
15、oxx 2f(x)f(x)211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数 在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数对于复合函数()yf g x=，令()ug x=，若()yf u=为增，()ug x=为增，则()yf g x=为增；若()yf u=为减，()ug x=为减，则()yf g x=为增；若()yf u=为增，()ug x=为减，则()yf g x=为减；若()yf u=为减，()ug x=为增，则()yf g x=为减第 7 页（2）打“
16、”函数()(0)af xxax=+的图象与性质()f x 分别在(,a、,)a+上为增函数，分别在,0)a、(0,a 上为减函数（3）最大（小）值定义 一般地，设函数()yf x=的定义域为 I，如果存在实数 M满足：（1）对于任意的 xI，都有()f xM；（2）存在0 xI，使得0()f xM=那么，我们称 M 是函数()f x 的最大值，记作max()fxM=一般地，设函数()yf x=的定义域为 I，如果存在实数 m 满足：（1）对于任意的 xI，都有()f xm；（2）存在0 xI，使得0()f xm=那么，我们称 m 是函数()f x 的最小值，记作max()fxm=【1.3.2】
17、奇偶性（4）函数的奇偶性 定义及判定方法 函数的性 质 定义 图象 判定方法 函数的 奇偶性 如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有f(x)=f(x),那么函数f(x)叫做奇函数 （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有f(x)=f(x),那 么 函 数f(x)叫做偶函数 （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于 y 轴对称）若函数()f x 为奇函数，且在0 x=处有定义，则(0)0f=奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在 y 轴两侧相对称的区间
18、增减性相反 在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数 补充知识函数的图象（1）作图 利用描点法作图：确定函数的定义域；化解函数解析式；讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；画出函数的图象 利用基本函数图象的变换作图：yxo第 8 页要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象 平移变换 0,0,|()()hhhhyf xyf xh=+上移 个单位下移|个单位 伸缩变换 01,1,()()yf xyfx=伸缩 01,1,()
19、()AAyf xyAf x=缩伸 对称变换()()xyf xyf x=轴 ()()yyf xyfx=轴()()yf xyfx=原点 1()()y xyf xyfx=直线()(|)yyyyf xyfx=去掉 轴左边图象保留 轴右边图象，并作其关于 轴对称图象()|()|xxyf xyf x=保留 轴上方图象将 轴下方图象翻折上去（2）识图 对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系（3）用图 函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果
20、的重要工具要重视数形结合解题的思想方法 第二章 基本初等函数()2.1指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念 如果,1nxa aR xR n=，且nN+，那么 x 叫做a 的n 次方根当n 是奇数时，a 的 n 次方根用符号 n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号 n a 表示，负的n 次方根用符号n a表示；0 的n 次方根是 0；负数 a 没有n 次方根 式子 n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数当 n 为奇数时，a 为任意实数；当 n 为偶数时，0a 根 式 的 性 质：()nn aa=；当 n 为 奇 数 时，nnaa=；当 n
21、 为 偶 数 时，(0)|(0)nnaaaaaa=且1)n 0 的正分数指数幂等于0 正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,mmmnnnaam nNaa+=且1)n 0 的负分数第 9 页指数幂没有意义 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数（3）分数指数幂的运算性质(0,)rsr saaaar sR+=()(0,)rsrsaaar sR=()(0,0,)rrraba b abrR=【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数 函数名称 指数函数 定义 函数(0 xyaa=且1)a 叫做指数函数 图象 1a 01a=1(0)1(0)1(0)xxxaxaxax=且，则 x 叫做以a 为底 N
22、 的对数，记作logaxN=，其中a 叫做底数，N 叫做真数 负数和零没有对数 对数式与指数式的互化：log(0,1,0)xaxNaN aaN=（2）几个重要的对数恒等式 log 10a=，log1a a=，logba ab=（3）常用对数与自然对数 xay=xy(0,1)O1y=xay=xy(0,1)O1y=第 10 页常用对数：lg N，即10logN；自然对数：ln N，即loge N（其中2.71828e=）（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0aaMN，那么 加法：logloglog()aaaMNMN+=减法：logloglogaaaMMNN=数乘：loglog()naanMMnR
23、=loga NaN=loglog(0,)bnaanMM bnRb=换底公式：loglog(0,1)logbabNNbba=且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数 函数 名称 对数函数 定义 函数log(0ayx a=且1)a 叫做对数函数 图象 1a 01a=log0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxx=，则幂函数的图象过原点，并且在0,)+上为增函数如果0 时，若01x，其图象在直线 yx=上方，当1 时，若01x，其图象在直线yx=下方 补充知识二次函数（1）二次函数解析式的三种形式 一般式：2()(0)f xaxbxc a=+顶点式：2()()(0)f xa x
24、hk a=+两根式：12()()()(0)f xa xxxxa=（2）求二次函数解析式的方法 已知三个点坐标时，宜用一般式 已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式 若已知抛物线与 x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便（3）二次函数图象的性质 二次函数2()(0)f xaxbxc a=+的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bxa=顶点坐标是24(,)24bacbaa 当0a 时，抛物线开口向上，函数在(,2ba 上递减，在,)2ba+上递增，当2bxa=时，2min4()4acbfxa=；当0a 时，图象与 x 轴有两个交点11221
25、212(,0),(,0),|M xMxM Mxxa=（4）一元二次方程20(0)axbxca+=根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布 设一元二次方程20(0)axbxca+=的两实根为12,x x，且12xx令2()f xaxbxc=+，从以下四个方面来分析此类问题：开口方向：a 对称轴位置：2bxa=判别式：端点函数值符号 kx1x2 xy1x2x0aOabx2=0)(kfk xy1x2
26、xOabx2=k0a0)(aOabx2=k0)(kf xy1x2xOabx2=k0a0)(kf x1kx2 af(k)0 0)(aOk xy1x2xOk0kf k1x1x2k2 第 14 页xy1x2x0aO1k2k0)(1 kf0)(2 kfabx2=xy1x2xO0a1k2k0)(1 kf0)(2 kfabx2=有且仅有一个根 x1（或 x2）满足 k1x1（或 x2）k2 f(k1)f(k2)aO1k2k0)(1 kf0)(2 kf xy1x2xO0kf0)(2 时（开口向上）若2bpa，则()mf q=若02bxa，则()Mf q=02bxa，则()Mf p=()当0a 时(开口向下)
27、若2bpa，则()Mf q=()2bfa()2bfa()2bfa()2bfa0 x()2bfa0 x第 15 页 若02bxa，则()mf q=02bxa，则()mf p=第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数)(Dxxfy=，把使0)(=xf成立的实数 x 叫做函数)(Dxxfy=的零点。2、函数零点的意义：函数)(xfy=的零点就是方程0)(=xf实数根，亦即函数)(xfy=的图象与 x 轴交点的横坐标。即：方程0)(=xf有实数根 函数)(xfy=的图象与 x 轴有交点 函数)(xfy=有零点 3、函数零点的求法：求函数)(xfy=的零点：1EA（代数
28、法）求方程0)(=xf的实数根；2EA（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy=的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点 4、二次函数的零点：二次函数)0(2+=acbxaxy），方程02=+cbxax有两不等实根，二次函数的图象与 x 轴有两个交点，二次函数有两个零点），方程02=+cbxax有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点），方程02=+cbxax无实根，二次函数的图象与 x 轴无交点，二次函数无零点 高中数学 必修 2 知识点 第一章空间几何体 1.1 柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平
29、行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，()2bfa()2bfa()2bfa0 x()2bfa()2bfa0 x第 16 页由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱EDCBAABCDE 或用对角线的端点字母，如五棱柱AD几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱
30、锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥EDCBAP 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台EDCBAP 几何特征：上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥：定义：以直角三
31、角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。1.2 空间几何体的三视图和直观图 1 三视图：正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 2 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3 直观图：斜二测画法 4 斜二测画法的步骤
32、：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于 y 轴的线长度变半，平行于 x，z 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积（一）空间几何体的表面积 1 棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2rrlS+=4 圆台的表面积22RRlrrlS+=5 球的表面积24 RS=（二）空间几何体的体积 1 柱体的体积 hSV=底 2 锥体的体积 hSV=底31 3 台体的体积 hSSSSV+=)31下下上上（4 球体的体积 222rrlS+=第 17 页
33、P L D C B A 334 RV=第二章 直线与平面的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成 450，且横边画成邻边的 2 倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母、等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC、平面 ABCD 等。3 三个公理：（1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 AL BL =L A B 公理 1 作用：判断直线是否在平面
34、内（2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A、B、C 三点不共线=有且只有一个平面，使 A、B、C。公理 2 作用：确定一个平面的依据。（3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P=L，且 PL 公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设 a、b、
35、c 是三条直线 ab cb 强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点：a与 b所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定，与 O 的选择无关，为简便，点 O 一般取在两直线中的一条上；L A C B A 共面直线=ac 第 18 页 两条异面直线所成的角(0，)；当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 ab；两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线
36、所成的角。2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内 有无数个公共点（2）直线与平面相交 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a 来表示 a a=A a 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：a b =a ab 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的
37、两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：a b ab=P a b 2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：a a ab=b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。2第 19 页符号表示：=a ab =b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定
38、及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义 如果直线 L 与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L 与平面互相垂直，记作 L，直线 L 叫做平面的垂线，平面叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。L p 2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B 2、二面角的记法：二面角-
39、l-或-AB-3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.3 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。本章知识结构框图 平面（公理 1、公理 2、公理 3、公理 4）空间直线、平面的位置关系 第 20 页 第三章直线与方程 3.1 直线的倾斜角和斜率 3.1 倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念：当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与
40、 x 轴平行或重合时,规定=0.2、倾斜角的取值范围：0180.当直线 l 与 x 轴垂直时,=90.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角(90)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,也就是 k=tan 当直线 l 与 x 轴平行或重合时,=0,k=tan0=0;当直线 l 与 x 轴垂直时,=90,k 不存在.由此可知,一条直线 l 的倾斜角一定存在,但是斜率 k 不一定存在.4、直线的斜率公式:给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率：斜率公式:k=y2-y1/x2-x1 3.1.2 两条直线的平行与垂直 1、两条直
41、线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立即如果 k1=k2,那么一定有 L1L2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 3.2.1 直线的点斜式方程 1、直线的点斜式方程：直线l 经过点),(000yxP，且斜率为k)(00 xxkyy=2、直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k，且与 y 轴的交点为),0(bbkxy+=3.2.2 直线的两点式方程 1、直线的两点
42、式方程：已知两点),(),(222211yxPxxP其中),(2121yyxx y-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2、直线的截距式方程：已知直线l 与 x 轴的交点为 A)0,(a，与 y轴的交点为 B),0(b，其中0,0ba 3.2.3 直线的一般式方程 1、直线的一般式方程：关于yx,的二元一次方程0=+CByAx（A，B 不同时为 0）2、各种直线方程之间的互化。3.3 直线的交点坐标与距离公式平面与平面的位置关系直线与平面的位置关系直线与直线的位置关系第 21 页()()22122221PPxxyy=+3.3.1 两直线的交点坐标 1、给出例题：两直线交点坐标 L1：3x+4y
43、-2=0 L1：2x+y+2=0解：解方程组 34202220 xyxy+=+=得 x=-2，y=2 所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M（-2，2）3.3.2 两点间距离 两点间的距离公式 3.3.3 点到直线的距离公式 1点到直线距离公式：点),(00 yxP到直线0:=+CByAxl的距离为：2200BACByAxd+=2、两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线 1l 和 2l 的一般式方程为 1l：01=+CByAx，2l02=+CByAx，则 1l 与 2l 的距离为2221BACCd+=第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程 1、圆的标准方程：222()()xaybr+=圆
44、心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程 2、点00(,)M xy与圆222()()xaybr+=的关系的判断方法：（1）2200()()xayb+2r，点在圆外 （2）2200()()xayb+=2r，点在圆上（3）2200()()xayb+时，直线l 与圆C 相离；（2）当rd=时，直线l 与圆C 相切；（3）当rd 时，圆1C 与圆2C 相离；（2）当21rrl+=时，圆1C 与圆2C 外切；（3）当|21rr21rrl+时，圆1C 与圆2C 相交；（4）当|21rrl=时，圆1C 与圆2C 内切；（5）当|21rrl+或者UntilLoopDIS S intPr 99 I ISS 2
45、II o11+UntilLoopDIS S intPr 2II ISS )100 I(99 I Whileo11LoopDIS+或者 S intPr ISS 2II )99 I(97 I Whileo11LoopDIS+或者 颜老师友情提醒：1.一定要看清题意，看题目让你干什么，有的只要写出算法，有的只要求写出伪代码，而有的题目则是既写出算法画出流程还要写出伪代码。2.在具体做题时，可能好多的同学感觉先画流程图较为简单，但也有的算法伪代码比较好写，你也可以在草稿纸上按照你自己的思路先做出来，然后根据题目要求作答。一般是先写算法，后画流程图，最后写伪代码。3.书写程序时一定要规范化，使用统一的符
46、号，最好与教材一致，由于是新教材的原因，再加上各种版本，可能同学会看到各种参考书上的书写格式不一样，而且有时还会碰到我们没有见过的语言，希望大家能以课本为依据，不要被铺天盖地的资料所淹没！1.3.1 辗转相除法与更相减损术 1、辗转相除法。也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：第 28 页（1）：用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商0S 和一个余数0R；（2）：若0R 0，则 n 为 m，n 的最大公约数；若0R 0，则用除数 n 除以余数0R 得到一个商1S 和一个余数1R；（3）：若1R 0，则1R 为 m，n的最大公约数；若1R 0，则用除数0R 除以余数1R 得
47、到一个商2S 和一个余数2R；依次计算直至nR 0，此时所得到的1nR 即为所求的最大公约数。2、更相减损术 我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在九章算术中有更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。翻译为：（1）：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用 2 约简；若不是，执行第二步。（2）：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。例 2 用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数.分析：（略）
48、3、辗转相除法与更相减损术的区别：（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到 1.3.2 秦九韶算法与排序 1、秦九韶算法概念：f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0 求值问题 f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+.+a1)x+a0=(anxn-2+an-1xn-3+.+a2)x+a1)x+a0
49、=.=(.(anx+an-1)x+an-2)x+.+a1)x+a0 求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即 v1=anx+an-1 然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即 v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 .vn=vn-1x+a0 这样，把 n 次多项式的求值问题转化成求 n 个一次多项式的值的问题。2、两种排序方法：直接插入排序和冒泡排序 1、直接插入排序 基本思想：插入排序的思想就是读一个，排一个。将第个数放入数组的第个元素中，以后读入的数与已存入数组的数进行比较，确定它在从大到小的排列中应处的位置将该位置以及以后的元素向后推移一个位置，将读入的新数填入空出的
50、位置中（由于算法简单，可以举例说明）第 29 页2、冒泡排序 基本思想：依次比较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面.即首先比较第 1 个数和第 2 个数,大数放前,小数放后.然后比较第 2 个数和第 3 个数.直到比较最后两个数.第一趟结束,最小的一定沉到最后.重复上过程,仍从第 1 个数开始,到最后第 2 个数.由于在排序过程中总是大数往前,小数往后,相当气泡上升,所以叫冒泡排序.1.3.3 进位制1、概念：进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为 n，即可称 n 进位制，简称 n 进制。现在最常用的是十进制，通常使用 10 个阿
51、拉伯数字0-9 进行记数。对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数 57，可以用二进制表示为 111001，也可以用八进制表示为 71、用十六进制表示为 39，它们所代表的数值都是一样的。一般地，若 k 是一个大于一的整数，那么以 k 为基数的 k 进制可以表示为：110()110.(0,0,.,)nnknna aa aakaa ak，而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如 111001(2)表示二进制数,34(5)表示 5 进制数 第二章统计 2.1.1 简单随机抽样 1总体和样本 在统计学中,把研究对象的全体叫做总体 把每个研究对象叫做个体 把总体中个体的总数叫
52、做总体容量 为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：，研究，我们称它为样本其中个体的个数称为样本容量 2简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随 机地抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。3简单随机抽样常用的方法：（1）抽签法；随机数表法；计算机模拟法；使用统计软件直接抽取。在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：总体变异情况；允许误差范围；概率保证程度。4抽签法
53、:（1）给调查对象群体中的每一个对象编号；（2）准备抽签的工具，实施抽签 （3）对样本中的每一个个体进行测量或调查 第 30 页 例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。5随机数表法：例：利用随机数表在所在的班级中抽取 10 位同学参加某项活动。2.1.2 系统抽样 1系统抽样（等距抽样或机械抽样）：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件下，从不同的
54、样本开始抽样，对比几次样本的特点。如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。2系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简单。更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。2.1.3 分层抽样 1分层抽样（类型抽样）：先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。两种方法：1先以分层变量
55、将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。2先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样的方法抽取样本。2分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总体。分层标准：（1）以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。（2）以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。（3）以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。3分层的比例问题：（1）按比例分层抽样：根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法
56、。（2）不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少，此时采用该方法，主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体时，则需要先对第 31 页各层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的比例，使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 1、本均值：nxxxxn+=21 2、样本标准差：nxxxxxxssn222212)()()(+=3用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差。在随机抽样中，这种偏差是不可避免的。虽然我们用样本数据得到的分布、均值
57、和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差，而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本量很大时，它们确实反映了总体的信息。4（1）如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变（2）如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数 k，标准差变为原来的 k 倍（3）一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间)3,3(sxsx+的应用；“去掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学道理 2.3.2 两个变量的线性相关 1、概念:（1）回归直线方程（2）回归系数 2最小二乘法 3直线回归方程的应用 （1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依
58、存的数量关系 （2）利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量 x）代入回归方程对预报量（即因变量 Y）进行估计，即可得到个体 Y 值的容许区间。（3）利用回归方程进行统计控制规定 Y 值的变化，通过控制 x 的范围来实现统计控制的目标。如已经得到了空气中 NO2 的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中 NO2 的浓度。4应用直线回归的注意事项 （1）做回归分析要有实际意义；（2）回归分析前,最好先作出散点图；（3）回归直线不要外延。第三章概 率 3.1.1 3.1.2 随机事件的概率及概率的意义1、基本概念：（1）必然事件：在条件 S 下，一定会发生的事件，叫相对于条
59、件 S 的必然事件；（2）不可能事件：在条件 S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件 S 的不可能事件；第 32 页（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件；（4）随机事件：在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件 S 的随机事件；（5）频数与频率：在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数；称事件 A 出现的比例 fn(A)=nnA为事件 A 出现的概率：对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上，把这个常
60、数记作 P（A），称为事件 A 的概率。（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数 nA 与试验总次数 n 的比值 nnA，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率 3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若 AB 为不可能事件，即 AB=，那么称事件 A 与事件 B 互斥；（3）若 AB 为不可能事件，AB 为必然事件，那么称事件 A 与事
61、件 B 互为对立事件；（4）当事件 A 与 B 互斥时，满足加法公式：P(AB)=P(A)+P(B)；若事件 A 与 B 为对立事件，则 AB为必然事件，所以 P(AB)=P(A)+P(B)=1，于是有 P(A)=1P(B)2、概率的基本性质：1）必然事件概率为 1，不可能事件概率为 0，因此 0P(A)1；2）当事件 A 与 B 互斥时，满足加法公式：P(AB)=P(A)+P(B)；3）若事件 A 与 B 为对立事件，则 AB 为必然事件，所以 P(AB)=P(A)+P(B)=1，于是有 P(A)=1P(B)；4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中
62、不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件 A 发生且事件 B 不发生；（2）事件 A 不发生且事件 B 发生；（3）事件A 与事件 B 同时不发生，而对立事件是指事件 A 与事件 B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件 A 发生 B 不发生；（2）事件 B 发生事件 A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。3.2.1 3.2.2 古典概型及随机数的产生 1、（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。（2）古典概型的解题步骤；求出总的基本事件数；求出事件 A 所包含的基本事件数，然后利用公式 P（A）=总的基本事件个数包含的基本事件数A 3.3.13.3
63、.2 几何概型及均匀随机数的产生第 33 页PxyAOMT1、基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式：P（A）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A；（2）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等 高中数学 必修 4 知识点 第一章 三角函数正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角 负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角 的顶点与原点重合，角的始边与
64、x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角 第一象限角的集合为36036090,kkk+第二象限角的集合为36090360180,kkk+第三象限角的集合为360180360270,kkk+第四象限角的集合为360270360360,kkk+，则sinyr=，cosxr=，()tan0y xx=9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正 10、三角函数线：sin=，cos=，tan=11、角 三 角 函 数 的 基 本 关 系：()221 sincos1+=()2222sin1 cos,cos1 sin=；()sin2tan
65、cos=sinsintancos,costan=.（3）倒数关系：tancot1=12、函数的诱导公式：()()1 sin 2sink+=，()cos 2cosk+=，()()tan 2tankk+=()()2 sinsin+=，()coscos+=，()tantan+=()()3 sinsin=，()coscos=，()tantan=()()4 sinsin=，()coscos=，()tantan=口诀：函数名称不变，符号看象限()5 sincos2=，cossin2=()6 sincos2+=，cossin2+=口诀：正弦与余弦互换，符号看象限 13、的图象上所有点向左（右）平移 个单位长
66、度，得到函数()sinyx=+的图象；再将函数()sinyx=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 1倍（纵坐标不变），得到函数()sinyx=+的图象；再将函数()sinyx=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 倍（横坐标不变），得到函数()sinyx=+的图象 数sinyx=的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 1倍（纵坐标不变），得到函数 sinyx=的图象；再将函数sinyx=的图象上所有点向左（右）平移 个单位长度，得到函数()sinyx=+的图象；再将函数()sinyx=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 倍（横坐标不变），得到函数()sinyx=
67、+的图象 14、函数()()sin0,0yx=+的性质：振幅：；周期：2=；频率：12f=；相位：x+；初相：函数()sinyx=+，当1xx=时，取得最小值为miny；当2xx=时，取得最大值为maxy，则()maxmin12 yy=，()maxmin12 yy=+，()21122xxxx=时，a 的方向与a 的方向相同；当0 0d na为递增数列；）或为递减数列；1nqa=为常数列；第 45 页 0nqa型的递推式：在原递推式1qnapa+=两边取对数得1lglglgnnaqap+=+，令lgnnba=得：1lgnnbqbp+=+，化归为qpaann+=+1型，求出nb 之后得10.nbn
68、a=（注意：底数不一定要取 10，可根据题意选择）。类型 倒数变换法：形如11nnnnaapaa=（p 为常数且0p）的递推式：两边同除于1nnaa，转化为111nnpaa=+形式，化归为qpaann+=+1型求出 1na的表达式，再求na；还有形如1nnnmaapaq+=+的递推式，也可采用取倒数方法转化成111nnmmaq ap+=+形式，化归为qpaann+=+1型求出 1na的表达式，再求na.类型 形如nnnqapaa+=+12型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列1nnaa的形式求解。方法为：设)(112nnnnkaahkaa=+，比较系数得qhkpkh=+,，可解得h k、，于是
69、1nnaka+是公比为h 的等比数列，这样就化归为qpaann+=+1型。总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式.na 第 48 页5、非等差、等比数列前n 项和公式的求法 错位相减法若数列 na为等差数列，数列 nb为等比数列，则数列nnab的求和就要采用此法.将数列nnab的每一项分别乘以 nb的公比，然后在错位相减，进而可得到数列nnab的前n 项和.此法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法.裂项相消法一般地，当数列的通项12()()ncaanbanb=+12(,a b b c为常数）时，
70、往往可将na 变成两项的差，采用裂项相消法求和.可用待定系数法进行裂项：设12naanbanb=+，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得21cbb=，从而可得 12211211=().()()()ccanbanbbbanbanb+常见的拆项公式有：111(1)1n nnn=+；1111();(21)(21)2 2121nnnn=+11();ababab=+11;mmmnnnCCC+=!(1)!.n nnn=+分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：找通向项公式由通项公式确定如
71、何分组.倒序相加法如果一个数列 na，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：121.nnaaaa+=+=记住常见数列的前n 项和：(1)123.;2n nn+=第 49 页21 35.(21);nn+=22221123.(1)(21).6nn nn+=+第三章不等式3.1、不等关系与不等式 1、不等式的基本性质（对称性）abba（传递性）,ab bcac（可加性）abacbc+（同向可加性）dbcadcba+,（异向可减性）dbcadcba,（可积性）bcaccba0,bcaccba0,（同向正
72、数可乘性）0,0abcdacbd（异向正数可除性）0,0ababcdcd（平方法则）0(,1)nnababnNn且（开方法则）0(,1)nnabab nNn且（倒数法则）babababa110;110 2、几个重要不等式()222abab abR+，,（当且仅当ab=时取=号）.变形公式：22.2abab+（基本不等式）2abab+()abR+，,（当且仅当ab=时取到等号）.变形公式：2abab+2.2abab+用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.（三个正数的算术几何平均不等式）33abcabc+()abcR+、（当且仅当 abc=时取到
73、等号）.()222abcabbcca abR+，（当且仅当abc=时取到等号）.3333(0,0,0)abcabc abc+（当且仅当abc=时取到等号）.0,2baabab+若则（当仅当 a=b 时取等号）0,2baabab+若则（当仅当 a=b 时取等号）第 50 页banbnamambab+，规律：小于 1 同加则变大，大于 1 同加则变小.220;axaxaxaxa当时，或 22.xaxaaxa +将分子或分母放大（缩小），如 211,(1)kk k+2212(),21kkkkkk=+等.5、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式20(0)axbxc+解集的步骤：一化：化二次项前的系数
74、为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f xf xg xg xf xg xf xg xg x （2()0()(0)()f xf xa af xa 或 2()0()()()0()()f xf xg xg xf xg x 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，
75、诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：当1a 时,()()()()f xg xaaf xg x 当01a时,()0log()log()()0()()aaf xf xg xg xf xg x 当01a 规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：定义法：(0).(0)aaaaa=且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：讨论a 与 0 的大小；讨论 与 0 的大小；讨论两根的大小.14、恒成立问题 不等式20axbxc+的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当0a=时 0,0;bc=当0a 时00.a 不等式20axbxc+的解集是全体实数（或恒成
76、立）的条件是：当0a=时0,0;bc=当0a 时00.a ()f xa恒成立max();f xa恒成立min();f xa()f xa恒成立min().f xa 15、线性规划问题二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：由于直线0AxByC+=的同一侧的所有点的坐标代入 AxByC+后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点00(,)xy（如原点），由00AxByC+的正负即可判断出0AxByC+(或0)(或0)(或0)则使目标函数 zAxBy=+所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最小值；若0,
77、B 3、椭圆的几何性质：焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 第 56 页图形 标准方程()222210 xyabab+=()222210yxabab+=第一定义 到两定点21F F、的距离之和等于常数 2a，即21|2MFMFa+=（212|aF F）第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e，即(01)MFeed=范围 axa 且 byb bxb 且 aya 顶点()1,0a、()2,0a()1 0,b、()2 0,b()1 0,a、()2 0,a()1,0b、()2,0b 轴长 长轴的长2a=短轴的长2b=对称性 关于 x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称 焦点()
78、1,0Fc、()2,0Fc()1 0,Fc、()2 0,Fc 焦距 222122()F Fccab=离心率 22222221(01)ccabbeeaaaa=准线方程 2axc=2ayc=焦半径 0,0()M x y 左焦半径：10MFaex=+右焦半径：20MFaex=下焦半径：10MFaey=+上焦半径：20MFaey=焦点三角形面积 1 2212tan()2MF FSbF MF=通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：2bHHa=（焦点）弦长公式 1,12,2(),()A x yB x y，22212121211()4ABkxxkxxx x=+=+4、设 是椭圆上任一点，点 到1F 对应准线的
79、距离为1d，点 到2F 对应准线的距离为2d，则1212FFedd=。5、平面内与两个定点1F，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F）的点的轨迹称为双曲线。这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距。()12222MFMFaac=()222210,0yxabab=第一定义 到两定点21FF、的距离之差的绝对值等于常数 2a，即21|2MFMFa=（2102|aF F 范围 xa 或 xa，yR ya 或 ya，xR 顶点()1,0a、()2,0a()1 0,a、()2 0,a 轴长 实轴的长2a=虚轴的长2b=对称性 关于 x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称 焦点(
80、)1,0Fc、()2,0Fc()1 0,Fc、()2 0,Fc 焦距 222122()F Fccab=+离心率 22222221(1)ccabbeeaaaa+=+准线方程 2axc=2ayc=渐近线方程 byxa=ayxb=焦半径 0,0()M x y M 在右支1020MFexaMFexa=+=左焦：右焦：M 在左支1020MFexaMFexa=+左焦：右焦：M 在上支1020MFeyaMFeya=+=左焦：右焦：M 在下支1020MFeyaMFeya=+左焦：右焦：焦点三角形面积 1 2212cot()2MF FSbF MF=通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：2bHHa=第 58 页11
81、、焦半径公式：若点()00,xy在抛物线()220ypx p=上，焦点为 F，则02pFx=+；、若点()00,xy在抛物线()220ypx p=上，焦点为 F，则02pFx=+；若点()00,xy在抛物线()220 xpy p=上，焦点为 F，则02pFy=+；若点()00,xy在抛物线()220 xpy p=上，焦点为 F，则02pFy=+12、抛物线的几何性质：图形 第 59 页 关于抛物线焦点弦的几个结论：设 AB 为过抛物线22(0)ypx p=焦点的弦，1122(,)(,)A x yB xy、，直线 AB 的倾斜角为，则 221212,;4px xy yp=22;sinpAB=以
82、AB 为直径的圆与准线相切；焦点 F 对 A B、在准线上射影的张角为 2；112.|FAFBP+=第三章：空间向量知识点：1、空间向量的概念：（1）在空间，具有大小和方向的量称为空间向量（2）向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向（3）向量 的大小称为向量的模（或长度），记作 标准方程 22ypx=()0p 22ypx=()0p 22xpy=()0p 22xpy=()0p 定义 与一定点 F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线l 上)顶点()0,0 离心率 1e=对称轴 x 轴 y 轴 范围 0 x 0 x 0y
83、 0y 焦点,02pF ,02pF 0,2pF 0,2pF 准线方程 2px=2px=2py=2py=焦半径 0,0()M x y 02pMFx=+02pMFx=+02pMFy=+02pMFy=+通径 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2HHp=焦点弦长 公式 12ABxxp=+参数 p 的几何意义 参数 p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔 第 60 页（4）模（或长度）为0 的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量（5）与向量 a长度相等且方向相反的向量称为 a的相反向量，记作 a（6）方向相同且模相等的向量称为相等向量 2、空间向量的加法和减法：（1）求两个向量和的运算
84、称为向量的加法，它遵循平行四边形法则即：在空间以同一点为起点的两个已知向量 a、b为邻边作平行四边形C ，则以 起点的对角线C 就是 a与b的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则（2）求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则即：在空间任取一点，作a=，b=，则ab=3、实数 与空间向量 a的乘积 a 是一个向量，称为向量的数乘运算当0 时，a 与 a方向相同；当0，那么函数()yf x=在这个区间单调递增；(2)如果()0fx,右侧()0fx,那么0()f x是极大值（2）如果在0 x 附近的左侧()0fx,那么0()f x是极小值;4.函数的最大(小)值与导数 求函
85、数()yf x=在,a b 上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数()yf x=在(,)a b 内的极值；（2）将函数()yf x=的各极值与端点处的函数值()f a，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.推理与证明 考点一 合情推理与类比推理 根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理 根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.类比推理的一般步骤:(1)找出两类事物的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另
86、一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);(3)一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.(4)一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.考点二 演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.考点三 数学归纳法 1.它是一个递推的数学论证方法.2.步骤:A.命题在 n=1（或0n）时成立，这是递推的基础；B.假设在 n=k 时命题成立；C.证明 n=k+1 时命题也成立,完成这两步,就可以断定对
87、任何自然数(或 n=0n,且 nN)结论都成立。第 64 页考点三 证明 1.反证法:2、分析法:3、综合法:数系的扩充和复数的概念复数的概念(1)复数:形如(,)abi aR bR+的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部.(2)分类:复数(,)abi aR bR+中,当0b=,就是实数;0b,叫做虚数;当0,0ab=时,叫做纯虚数.(3)复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.(4)共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.(5)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴，y 轴除去原点的部分叫做虚轴。(6)两个实
88、数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。复数的运算 1.复数的加，减，乘，除按以下法则进行 设12,(,)zabi zcdi a b c dR=+=+则（1）12()()zzacbd i=+（2）12()()zzacbdadbc i=+（3）12222()()(0)zacbdadbc i zzcd+=+2,几个重要的结论(1)2222121212|2(|)zzzzzz+=+(2)22|zzzz=(3)若 z 为虚数,则22|zz 3.运算律(1)mnm nzzz+=;(2)()mnmnzz=;(3)1212()(,)nnnzzzzm nR=4.关于虚数单位 i 的一些固定结论：
89、（1）21i=（2）3ii=（3）41i=（2）2340nnnniiii+=数学选修 23 第一章 计数原理知识点：1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有 N 类办法，在第一类办法中有 M1 种不同的方法，在第二类办法中有 M2 种不同的方法，在第 N 类办法中有 MN 种不同的方法，那么完成这件事情共有 M1+M2+MN 种不同的方法。2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成 N 个步骤，做第一 步有 m1 种不同的方法，做第二步有 M2 不同的方法，做第 N 步有 MN 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M1M2.MN 种不同的方法。3、排列：从 n 个不同的元素中任取 m(m
90、n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 4、排列数：),()!(!)1()1(NmnnmmnnmnnnAm=+=5、组合：从 n 个不同的元素中任取 m(mn)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。6、组合数：!)1()1(mmnnnAACmmmnmn+=)(!mnmn=;mnnmn CC=mnmnmnCCC11+=+7、二项式定理：()abC aC abC abC abC bnnnnnnnnrn rrnnn+=+011222第 65 页8、二项式通项公式，TC abrnrnrn rr+=101()第二章 随机变量及其
91、分布 1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量 X 来表示，并且 X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用大写字母 X、Y 等或希腊字母、等表示。2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量 X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量 X 可能取的值为 x1,x2,.,xi,.,xn X 取每一个值 xi(i=1,2,.）的概率 P(=xi）Pi，则称表为离散型随机变量 X 的概率分布，简称分布列 4、分布列性质 pi0,i=1，2，；p1
92、+p2+pn=1 5、二点分布：如果随机变量 X 的分布列为：其中 0p=APAPABPABP 9、相互独立事件：事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。)()()(BPAPBAP=10、n 次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验 11、二项分布：设在 n 次独立重复试验中某个事件 A 发生的次数，A 发生次数是一个随机变量如果在一次试验中某事件发生的概率是 p，事件 A 不发生的概率为 q=1-p，那么在 n 次独立重复试验中)(kP=knkknqpC=（其中 k=0,1,n，q=1-p）于是可得随机变量的概率
93、分布如下：这样的随机变量服从二项分布，记作 B(n，p)，其中 n，p 为参数 12、数学期望：一般地，若离散型随机变量的概率分布为 则称 Ex1p1x2p2xnpn 为的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望是离散型随机变量。13、方差:D()=(x1-E)2P1+（x2-E)2P2+.+（xn-E)2Pn 叫随机变量的均方差，简称方差。14、集中分布的期望与方差一览：期望 方差 两点分布 E=p D=pq，q=1-p 第 66 页15、正态分布：若概率密度曲线就是或近似地是函数 ),(,21)(222)(+=xexfx 的图像，其中解析式中的实数0)、（是参数，分别表示总体的平均数与
94、标准差 则其分布叫正态分布(,)N 记作：，f(x)的图象称为正态曲线。16、基本性质：曲线在 x 轴的上方，与 x 轴不相交 曲线关于直线 x=对称，且在 x=时位于最高点.当时x，曲线下降并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以 x 轴为渐近线，向它无限靠近 当 一定时，曲线的形状由 确定 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中 当相同时,正态分布曲线的位置由期望值来决定.正态曲线下的总面积等于 1.17、3 原则：从上表看到,正态总体在)2,2(+以外取值的概率 只有 4.6%,在)3,3(+以外取值的概率只有 0.3%由于这些概率很小,通常称
95、这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.第三章 统计案例独立性检验 假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的值域分另为x1,x2和y1,y2，其样本频数列联表为：y1 y2 总计x1 a b a+b x2 c d c+d 总计a+c b+d a+b+c+d 若要推断的论述为 H1：“X 与 Y 有关系”，可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。具体的做法是，由表中的数据算出随机变量 K2 的值（即 K 的平方）K2=n(ad-bc)2/(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中 n=a+b+c+d 为样本容
96、量，K2 的值越大，说明“X 与 Y 有关系”成立的可能性越大。K23.841 时，X 与 Y 无关；K23.841 时，X 与 Y 有 95%可能性有关；K26.635 时 X 与 Y 有 99%可能性有关 回归分析 回归直线方程bxay+=其中xxyyxxxnxyxnxyb=222)()()(11,xbya=高中数学选修 4-1 知识点总结 平行线等分线段定理 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。推理 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。推理 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。平分线分线段成
97、比例定理 平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。二项分布，B（n,p）E=np D=qE=npq，（q=1-p）第 67 页相似三角形的判定及性质 相似三角形的判定：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑 6 个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）
98、两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似。预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。判定定理 1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。判定定理 2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。判定定理 3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简
99、述为：三边对应成比例，两三角形相似。引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。相似三角形的性质：（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；（2）相似三角形周长的比等于相似比；（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比
100、等于相似比的平方。直角三角形的射影定理 射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。圆周定理 圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。圆内接四边形的性质与判定定理 定理 1：圆的内接四边形的对角互补。定理 2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶
101、点共圆。推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。圆的切线的性质及判定定理 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。弦切角的性质 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。与圆有关的比例线段 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。第 68 页割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线
102、长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。选修 4-4 数学知识点 一、选考内容坐标系与参数方程高考考试大纲要求：1坐标系：理解坐标系的作用.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.2参数方程：了
103、解参数方程，了解参数的意义.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.二、知识归纳总结：1伸缩变换：设点),(yxP是平面直角坐标系中的任意一点，在变换=).0(,yy0),(x,x:的作用下，点),(yxP对应到点),(yxP，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。3点 M 的极坐标：设 M 是平面内一点，极点O 与点 M 的距离|OM叫做点 M 的极径，记为 ；以极轴Ox 为始边
104、，射线OM 为终边的xOM叫做点 M 的极角，记为。有序数对),(叫做点 M 的极坐标，记为),(M.极坐标),(与)Z)(2,(+kk表示同一个点。极点O 的坐标为)R)(,0(.4.若0,规定点),(与点),(关于极点对称，即),(与),(+表示同一点。如果规定20,0，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(表示；同时，极坐标),(表示的点也是唯一确定的。5极坐标与直角坐标的互化：6。圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r=；在极坐标系中，以)0,(aC)0(a为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是 cos2a=；)0(nt,sin,cos,22
105、2=+=xxyayxyx第 69 页在极坐标系中，以)2,(aC)0(a为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是sin2a=；7.在极坐标系中，)0(=表示以极点为起点的一条射线；)R(=表示过极点的一条直线.在极坐标系中，过点)0)(0,(aaA，且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是a=cos.8参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标yx,都是某个变数 t 的函数=),(),(tgytfx 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(yxM都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数yx,的变数t 叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接
106、给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。9圆222)()(rbyax=+的参数方程可表示为)(.sin,cos为参数+=+=rbyrax.椭圆12222=+byax)0(ba的参数方程可表示为)(.sin,cos为参数=byax.抛物线pxy22=的参数方程可表示为)(.2,22为参数tptypxx=.经过点),(ooOyxM，倾斜角为 的直线l 的参数方程可表示为+=+=.sin,cosootyytxx（t 为参数）.10在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使yx,的取值范围保持一致.高中数学选修 4-5 知识点 1、不等式的基本性质（对称性）
107、abba（传递性）,ab bcac（可加性）abacbc+（同向可加性）dbcadcba+,（异向可减性）dbcadcba,（可积性）bcaccba0,bcaccba0,（同向正数可乘性）0,0abcdacbd（异向正数可除性）0,0ababcdcd第 70 页（平方法则）0(,1)nnababnNn且（开方法则）0(,1)nnabab nNn且（倒数法则）babababa110;110 2、几个重要不等式()222abab abR+，,（当且仅当ab=时取=号）.变形公式：22.2abab+（基本不等式）2abab+()abR+，,（当且仅当ab=时取到等号）.变形公式：2abab+2.2a
108、bab+用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.（三个正数的算术几何平均不等式）33abcabc+()abcR+、（当且仅当 abc=时取到等号）.()222abcabbcca abR+，（当且仅当abc=时取到等号）.3333(0,0,0)abcabc abc+（当且仅当abc=时取到等号）.0,2baabab+若则（当仅当 a=b 时取等号）0,2baabab+若则（当仅当 a=b 时取等号）banbnamambab+，规律：小于 1 同加则变大，大于 1 同加则变小.220;axaxaxaxa当时，或22.xaxaaxa +将分子或分母放
109、大（缩小），如211,(1)kk k+2212,21kkkkkk=+等.5、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式20(0)axbxc+解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f xf xg xg xf xg xf xg xg
110、 x （2()0()(0)()f xf xa af xa 或 2()0()()()0()()f xf xg xg xf xg x 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：当1a 时,()()()()f xg xaaf xg x 当01a时,()0log()log()()0()()aaf xf xg xg xf xg x 当01a 规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：定义法：(0).(0)aaaaa=且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：讨论a 与 0 的大小；讨论 与 0 的大小；讨论两根的大小.
111、14、恒成立问题 不等式20axbxc+的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当0a=时 0,0;bc=当0a 时00.a 不等式20axbxc+的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当0a=时0,0;bc=第 74 页当0a 时00.a ()f xa恒成立max();f xa恒成立min();f xa()f xa恒成立min().f xa 15、线性规划问题 二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：由于直线0AxByC+=的同一侧的所有点的坐标代入 AxByC+后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点00(,)xy（如原点），由00AxBy
112、C+的正负即可判断出0AxByC+(或0)(或0)(或0)则使目标函数 zAxBy=+所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最小值；若0,B 则使目标函数 zAxBy=+所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最小值，使直线的纵截第 75 页距最小的角点处，z 取得最大值.常见的目标函数的类型：“截距”型：;zAxBy=+“斜率”型：yzx=或;ybzxa=“距离”型：22zxy=+或22;zxy=+22()()zxayb=+或22()().zxayb=+在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.附：
113、高中数学常用公式及常用结论 1.元素与集合的关系 UxAxC A,UxC AxA.2.德摩根公式 ();()UUUUUUCABC AC B CABC AC B=.3.包含关系 ABAABB=UUABC BC A UAC B=UC ABR=4.容斥原理 ()()card ABcardAcardBcard AB=+()()card ABCcardAcardBcardCcard AB=+()()()()card ABcard BCcard CAcard ABC+.5集合12,na aa的子集个数共有 2n 个；真子集有2n 1 个；非空子集有2n 1 个；非空的真子集有2n 2 个.6.二次函数的解
114、析式的三种形式(1)一般式2()(0)f xaxbxc a=+;(2)顶点式2()()(0)f xa xhk a=+;(3)零点式12()()()(0)f xa xxxxa=.7.解连不等式()Nf xM常有以下转化形式()Nf xM ()()0f xMf xN|()|22MNMNf x+11()f xNMN.8.方程0)(=xf在),(21 kk上有且只有一个实根,与0)()(21kfkf不等价,前者是后者的一个必要而不是 充分条件.特 别地,方 程)0(02=+acbxax有且只有一个实根在),(21 kk内,等价 于0)()(21kfkf,或0)(1=kf且22211kkabk+,或0)
115、(2=kf且22122kabkk0 时，若qpabx,2=，则minmaxmax()(),()(),()2bf xff xf pf qa=；第 76 页qpabx,2=，maxmax()(),()f xf pf q=，minmin()(),()f xf pf q=.(2)当 a0 时，若qpabx,2=，则min()min(),()f xf pf q=，若qpabx,2=，则max()max(),()f xf pf q=，min()min(),()f xf pf q=.10.一元二次方程的实根分布 依据：若()()0f m f n；（2）方程0)(=xf在区间(,)m n 内有根的充要条件为(
116、)()0f m f n 或()0()0f naf m=；（3）方程0)(=xf在区间(,)n内有根的充要条件为()0f m 或2402pqpm+=cbxaxxf恒成立的充要条件是000abc 或2040abacbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是增函数；1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在 xf，则)(xf为增函数；如果0)(.(4)幂函数()f xx=,()()(),(1)f xyf x f yf=.(5)余弦函数()cosf xx=,正弦函数()sing xx=，()()()()()f xyf x f yg x g y=+，0
117、()(0)1,lim1xg xfx=.29.几个函数方程的周期(约定 a0)（1）)()(axfxf+=，则)(xf的周期 T=a；（2）0)()(=+=axfxf，或)0)()(1)(=+xfxfaxf，或1()()f xaf x+=()0)f x,或21()()(),()0,1)2f xfxf xaf x+=+,则)(xf的周期 T=2a；(3)0)()(11)(+=xfaxfxf，则)(xf的周期 T=3a；(4)()(1)()()(212121xfxfxfxfxxf+=+且1212()1()()1,0|2)f af xf xxxa=，且1n）.(2)1mnmnaa=（0,am nN，且
118、1n）.31根式的性质（1）()nn aa=.（2）当n 为奇数时，nnaa=；当 n 为偶数时，,0|,0nna aaaa a=.(2)()(0,)rsrsaaar sQ=.(3)()(0,0,)rrraba b abrQ=.注：若 a0，p 是一个无理数，则 ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式 logba NbaN=(0,1,0)aaN.34.对数的换底公式 logloglogmamNNa=(0a,且1a,0m,且1m ,0N).推论 loglogmnaanbbm=(0a,且1a,0m n,且1m ,1n,0N).35对数的
119、四则运算法则 若 a0，a1，M0，N0，则(1)log()loglogaaaMNMN=+;(2)logloglogaaaMMNN=;(3)loglog()naaMnM nR=.36.设函数)0)(log)(2+=acbxaxxfm,记acb42=.若)(xf的定义域为 R,则0a，且0a，且0.对于0=a的情形,需要单独检验.37.对数换底不等式及其推广 若0a,0b,0 x,1xa,则函数log()axybx=(1)当ab时,在1(0,)a和 1(,)a+上log()axybx=为增函数.，(2)当ab，0p，0a，且1a，则（1）log()logmpmnpn+.（2）2logloglog
120、2aaamnmn+.38.平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为 p，则对于时间 x 的总产值 y，有(1)xyNp=+.39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系 11,1,2nnnsnassn=(数列na的前 n 项的和为12nnsaaa=+).40.等差数列的通项公式*11(1)()naanddnad nN=+=+；其前 n 项和公式为 1()2nnn aas+=1(1)2n nnad=+211()22d nad n=+.41.等比数列的通项公式 第 80 页1*11()nnnaaa qqnNq=；其前 n 项的和公式为 11(1),11,1nnaqqsqna q=或
121、11,11,1nnaa q qqsna q=.42.等比差数列 na:11,(0)nnaqad ab q+=+=的通项公式为 1(1),1(),11nnnbnd qabqdb qd qq+=+；其前 n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111nnnbn ndqsdqdbn qqqq+=+.43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nnabbxb+=+元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b).44常见三角不等式（1）若(0,)2x，则sintanxxx.(2)若(0,)2x，则1sincos2xx+.sin(|1)(2arcsin,2arcsin),xa axkaka kZ+.co
122、s(|1)(2arccos,22arccos),xa axkaka kZ+.第 82 页tan()(,arctan),2xa aRxkka kZ（4）柯西不等式 22222()()(),.abcdacbda b c dR+（5）bababa+.72.极值定理 已知yx,都是正数，则有（1）若积 xy 是定值 p，则当yx=时和yx+有最小值p2；（2）若和yx+是定值 s，则当yx=时积 xy 有最大值241 s.推广 已知Ryx,，则有xyyxyx2)()(22+=+（1）若积 xy 是定值,则当|yx 最大时,|yx+最大；当|yx 最小时,|yx+最小.（2）若和|yx+是定值,则当|y
123、x 最大时,|xy 最小；当|yx 最小时,|xy 最大.73.一元二次不等式20(0)axbxc+，如果a 与2axbxc+同号，则其解集在两根之外；如果 a 与2axbxc+异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()xxxxxxxxx；121212,()()0()xxxxxxxxxx 0 时，有 22xaxaaxa 或 xa.（2）2()0()0()()()0()0()()f xf xf xg xg xg xf xg x或.（3）2()0()()()0()()f xf xg xg xf xg x时,()()()()f xg xaaf xg x;
124、()0log()log()()0()()aaf xf xg xg xf xg x.(2)当01a或0或0或0或0所表示的平面区域上下两部分；111222()()0A xB yCA xB yC+点 P 在圆外;dr=点 P 在圆上;dr 点 P 在圆内.89.直线与圆的位置关系 直线0=+CByAx与圆222)()(rbyax=+的位置关系有三种:0相离rd;0=相切rd;0rrd;条公切线外切321+=rrd;条公切线相交22121+rrdrr;条公切线内切121=rrd;无公切线内含 的参数方程是cossinxayb=.93.椭圆22221(0)xyabab+=焦半径公式 第 87 页)(2
125、1caxePF+=，)(22xcaePF=.94椭圆的的内外部（1）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab+=的内部2200221xyab+的外部2200221xyab+.95.椭圆的切线方程 (1)椭圆22221(0)xyabab+=上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab+=.（2）过椭圆22221(0)xyabab+=外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是 00221x xy yab+=.（3）椭圆22221(0)xyabab+=与直线0AxByC+=相切的条件是22222A aB bc+=.96.双曲线22221(0,0)xyabab
126、=的焦半径公式 21|()|aPFe xc=+，22|()|aPFexc=.97.双曲线的内外部(1)点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab=的内部2200221xyab.(2)点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab=的外部2200221xyab，焦点在 x 轴上，0上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab=.（2）过双曲线22221(0,0)xyabab=外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是 00221x xy yab=.（3）双曲线22221(0,0)xyabab=与直线0AxByC+=相切的条件是22222
127、A aB bc=.100.抛物线pxy22=的焦半径公式 抛物线22(0)ypx p=焦半径02pCFx=+.过焦点弦长pxxpxpxCD+=+=212122.第 88 页101.抛物线pxy22=上的动点可设为 P),2(2ypy或或)2,2(2ptptP P(,)x y，其中 22ypx=.102.二次函数2224()24bacbyaxbxca xaa=+=+(0)a 的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24bacbaa；（2）焦点的坐标为241(,)24bacbaa+；（3）准线方程是2414acbya=.103.抛物线的内外部(1)点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p
128、=的内部22(0)ypx p.点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p=的外部22(0)ypx p.(2)点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p=的内部22(0)ypx p.点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p=的外部22(0)ypx p.(3)点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p=的内部22(0)xpy p.点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p=的外部22(0)xpy p.(4)点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p=的内部22(0)xpy p.点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p=的外部22(0)xpy p.104
129、.抛物线的切线方程(1)抛物线pxy22=上一点00(,)P xy处的切线方程是00()y yp xx=+.（2）过抛物线pxy22=外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是00()y yp xx=+.（3）抛物线22(0)ypx p=与直线0AxByC+=相切的条件是22pBAC=.105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y=,2(,)0fx y=的交点的曲线系方程是 12(,)(,)0f x yfx y+=(为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221xyakbk+=,其中22max,ka b时,表示椭圆;当2222min,max,a bka b,为直线
130、 AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线(,)0F x y=关于点00(,)P xy成中心对称的曲线是00(2-,2)0Fx xyy=.（2）曲线(,)0F x y=关于直线0AxByC+=成轴对称的曲线是 22222()2()(,)0A AxByCB AxByCF xyABAB+=+.108.“四线”一方程 对于一般的二次曲线220AxBxyCyDxEyF+=，用0 x x 代2x，用0y y 代2y，用002x yxy+代 xy，用02xx+代 x，用02yy+代 y 即得方程 0000000222x yxyxxyyAx xBCy yDEF+=，曲线的
131、切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；第 89 页（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.110证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.111证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.112证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线
132、垂直.113证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.114证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：ab=ba(2)加法结合律：(ab)c=a(bc)(3)数乘分配律：(ab)=ab 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平
133、行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b0)，ab 存在实数使 a=b PAB、三点共线|APAB APt AB=(1)OPt OAtOB=+.|AB CD AB、CD共线且 ABCD、不共线 ABtCD=且 ABCD、不共线.118.共面向量定理 向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的 存在实数对,x y,使 paxby=+推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的 存在有序实数对,x y,使 MPxMAyMB=+，或对空间任一定点 O，有序实数对,x y，使OPOMxMAyMB=+.119.对空间任一点O 和不共线的三点 A
134、、B、C，满足OPxOAyOBzOC=+（xyzk+=），则当1k=时，对于空间任一点O，总有 P、A、B、C 四点共面；当1k 时，若O平面 ABC，则 P、A、B、C 四点共面；若O平面 ABC，则 P、A、B、C 四点不共面 C AB、D 四点共面 AD与 AB、AC共面 ADxAByAC=+(1)ODxy OAxOByOC=+（O平面 ABC）.120.空间向量基本定理 如果三个向量 a、b、c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组 x，y，z，使 pxaybzc 推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实数 x，y，z，使
135、OPxOAyOBzOC=+.121.射影公式 已知向量 AB=a 和轴l，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作 A 点在l 上的射影A，作 B 点在l 上的射影B，则 第 90 页|cosA BAB=a，e=ae 122.向量的直角坐标运算 设 a123(,)a a a，b123(,)b b b则(1)ab112233(,)ab ab ab+；(2)ab112233(,)ab ab ab；(3)a123(,)aaa(R)；(4)ab1 1223 3a ba ba b+；123.设 A111(,)x y z，B222(,)xyz，则 ABOBOA=212121(,)xx yy zz.124空间
136、的线线平行或垂直 设111(,)ax y z=，222(,)bxyz=，则 a b(0)ab b=121212xxyyzz=；ab0a b=12121 20 x xy yz z+=.125.夹角公式 设 a123(,)a a a，b123(,)b b b，则 cosa，b=1 1223 3222222123123a ba ba baaabbb+.推论 22222221 1223 3123123()()()a ba ba baaabbb+，此即三维柯西不等式.126.四面体的对棱所成的角 四面体 ABCD 中,AC 与 BD 所成的角为,则 2222|()()|cos2ABCDBCDAAC BD
137、+=.127异面直线所成角 cos|cos,|a b=12121 2222222111222|x xy yz za babxyzxyz+=+（其中（090 mn时，无解；当1+mn时，有nmnnnmCAA11+=种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有 m 个和 n 个，各组元素分别相同的排列数为nnmC+.158分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的 m、n 个物件等分给 m 个人，各得 n 件，其分配方法数共有mnnnnnnmnnnmnnmnnmnCCCCCN)!()!(22=.第 94 页（2）(平均分组无归属问题)将相异的m n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法
138、数共有 mnnnnnnmnnnmnnmnnmmnmCCCCCN)!(!)!(!.22=.（3）(非平均分组有归属问题)将相异的)12mP(P=n+n+n个物体分给 m 个人，物件必须被分完，分别得到1n，2n，mn 件，且1n，2n，mn 这 m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有!.!.21211mnnnnpnpnnnmpmCCCNmm=.（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的)12mP(P=n+n+n个物体分给 m 个人，物件必须被分完，分别得到1n，2n，mn 件，且1n，2n，mn 这 m 个数中分别有 a、b、c、个相等，则其分配方法数有!.!.211cbamCCCNmmnnnn
139、pnp=12!.!(!.)mp mn nna b c=.（5）(非平均分组无归属问题)将相异的)12mP(P=n+n+n个物体分为任意的1n，2n，mn 件无记号的m 堆，且1n，2n，mn 这 m 个数彼此不相等，则其分配方法数有!.!21mnnnpN=.（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的)12mP(P=n+n+n个物体分为任意的1n，2n，mn件无记号的 m 堆，且1n，2n，mn 这 m 个数中分别有 a、b、c、个相等，则其分配方法数有!.)!(!.!21cbannnpNm=.（7）(限定分组有归属问题)将相异的 p（2mpn nn=1+）个物体分给甲、乙、丙，等m 个人，物体
140、必须被分完，如果指定甲得1n 件，乙得2n 件，丙得3n 件，时，则无论1n，2n，mn 等m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有!.!.21211mnnnnpnpnnnpCCCNmm=.159“错位问题”及其推广 贝努利装错笺问题:信n 封信与 n 个信封全部错位的组合数为 1111()!(1)2!3!4!nf nnn=+.推广:n 个元素与n 个位置,其中至少有m 个元素错位的不同组合总数为 1234(,)!(1)!(2)!(3)!(4)!(1)()!(1)()!mmmmppmmmmf n mnCnCnCnCnCnpCnm=+12341224!1(1)(1)pmpmmmmmmmpmn
141、nnnnnCCCCCCnAAAAAA=+.160不定方程2nxxxm=1+的解的个数(1)方程2nxxxm=1+（,n mN）的正整数解有11mnC 个.(2)方程2nxxxm=1+（,n mN）的非负整数解有 11n mnC+个.(3)方程2nxxxm=1+（,n mN）满足条件ixk(kN,21in )的非负整数解有11(2)(1)mnnkC+个.(4)方程2nxxxm=1+（,n mN）满足条件ixk(kN,21in )的正整数解有12222321(2)11121221(1)n mnm n knm nknmnknnnnnnCCCCCCC+个.161.二项式定理 nnnrrnrnnnnnn
142、nnbCbaCbaCbaCaCba+=+222110)(;二项展开式的通项公式 rrnrnrbaCT+=1)210(nr，=.第 95 页162.等可能性事件的概率()mP An=.163.互斥事件 A，B 分别发生的概率的和 P(AB)=P(A)P(B)164.n 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)165.独立事件 A，B 同时发生的概率 P(AB)=P(A)P(B).166.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1 A2 An)=P(A1)P(A2)P(An)167.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率()(1).kkn knnP k
143、C PP=168.离散型随机变量的分布列的两个性质（1）0(1,2,)iPi=;（2）121PP+=.169.数学期望 1 122nnEx Px Px P=+170.数学期望的性质（1）()()E abaEb+=+.（2）若(,)B n p,则 Enp=.(3)若 服从几何分布,且1()(,)kPkg k pqp=，则1Ep=.171.方差()()()2221122nnDxEpxEpxEp=+172.标准差 =D.173.方差的性质(1)()2D aba D+=；(2）若(,)B n p，则(1)Dnpp=.(3)若 服从几何分布,且1()(,)kPkg k pqp=，则2qDp=.174.方
144、差与期望的关系()22DEE=.175.正态分布密度函数()()()22261,2 6xf xex=+，式中的实数，（0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.176.标准正态分布密度函数()()221,2 6xf xex=+.177.对于2(,)N ，取值小于 x 的概率()xF x=.()()()12201xxPxxPxxxP=()()21F xF x=第 96 页21xx=.178.回归直线方程 yabx=+，其中()()()1122211nniiiiiinniiiixxyyx ynx ybxxxnxaybx=.179.相关系数 ()()12211()()niiinniiiixxyyrx
145、xyy=()()1222211()()niiinniiiixxyyxnxyny=.|r|1，且|r|越接近于 1，相关程度越大；|r|越接近于 0，相关程度越小.180.特殊数列的极限 （1）0|1lim11|11nnqqqqq=不存在或.（2）1101100()lim()()kkkktttnttkkta nanaaktb nb nbbkt不存在.（3）()111lim11nnaqaSqq=（S 无穷等比数列11na q (|1q )的和）.181.函数的极限定理0lim()xx f xa=00lim()lim()xxxxf xf xa+=.182.函数的夹逼性定理如果函数 f(x)，g(x)
146、，h(x)在点 x0 的附近满足：（1）()()()g xf xh x;（2）00lim(),lim()xxxxg xah xa=（常数）,则0lim()xx f xa=.本定理对于单侧极限和x的情况仍然成立.183.几个常用极限（1）1lim0nn=，lim0nna=（|1a xf，右侧0)(xf，则)(0 xf是极大值；（2）如果在0 x 附近的左侧0)(xf，则)(0 xf是极小值.197.复数的相等,abicdiac bd+=+=.（,a b c dR）198.复数 zabi=+的模（或绝对值）|z=|abi+=22ab+.199.复数的四则运算法则 (1)()()()()abicdi
147、acbd i+=+;(2)()()()()abicdiacbd i+=+;(3)()()()()abi cdiacbdbcad i+=+;(4)2222()()(0)acbdbcadabicdii cdicdcd+=+.200.复数的乘法的运算律 对于任何123,z zzC，有 交换律:1221zzzz=.结合律:123123()()zzzzzz=.分配律:1231213()zzzzzzz+=+.201.复平面上的两点间的距离公式 22122121|()()dzzxxyy=+（111zxy i=+，222zxy i=+）.202.向量的垂直 非零复数1zabi=+，2zcdi=+对应的向量分别是1OZ，2OZ，则 12OZOZ12zz的实部为零21zz为纯虚数2221212|zzzz+=+2221212|zzzz=+1212|zzzz+=0acbd+=12ziz=(为非零实数).203.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程20axbxc+=，若240bac=,则21,242bbacxa=;若240bac=,则122bxxa=;若240bac=，它在实数集 R 内没有实数根；在复数集 C 内有且仅有两个共轭复数根22(4)(40)2bbac ixbaca=.第 99 页