1、第二节 简单几何体的表面积和体积 备考方向明确 方向比努力更重要 复习目标学法指导1.柱、锥、台体的表面积和体积公式.2.球的表面积和体积公式.3.一些简单组合体表面积和体积的计算.4.柱、锥、台体之间关系.(发展要求)1.搞清楚几何体的表面积包括侧面积和底面积.2.求侧面积时,往往需要研究侧面展开图.3.会分解简单组合体为常见的柱、锥、台,进一步求出面积、体积.4.所有公式均不要求记忆.知识链条完善 把散落的知识连起来 空间几何体的表面积和体积公式如下 网络构建 表面积 体积 S 表=S 侧+2S 底 棱柱的底面积为 S,高为 h,V=Sh S 表=S 侧+S 底 表面积即空间几何体暴露在外
2、的所有面的面积之和 棱锥的底面积为 S,高为 h,V=13Sh V 柱=Sh S=S V 台=13(S+S S+S)h S=0 V 锥=13Sh S 表=S 侧+S 上底+S 下底 棱台的上、下底面 面积分别为 S,S,高为 h,V=13(S+S S+S)h 圆柱的底面半径和母线长分别为r,lS 表=圆柱的高为 h,V=r2h 圆锥的底面半径和母线长分别为r,lS 表=+rl 圆锥的高为 h,V=13 r2h 圆台的上、下底面半径和母线长分别为 r,r,l,S 表=(r2+r2+rl+rl)圆台的高为 h,V=13(r2+rr+r2)h 球 球半径为 R,S 球=4 R2 V 球=2 r2+2
3、 rl r2 34 3 R拓展空间 1.概念理解(1)表面积应为侧面积和底面积的和,要注意组合体中哪些部分暴露或遮挡.(2)求空间几何体体积的常用方法 公式法:直接根据相关的体积公式计算.等积法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易,或是求出一些体积比等.割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可计算体积的几何体.2.求面积或体积中相关联的结论 几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a,球的半径为R,正方体的外接球,则2R=3 a;正方体的内切球,则 2R=a;球与正方体的各棱相切,则 2R=2 a.(2)长方体的同一顶点的三条棱
4、长分别为 a,b,c,外接球的半径为 R,则2R=222abc.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为31.温故知新 1.圆柱的底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么圆柱的侧面积是()A 解析:由r2=S 得圆柱的底面半径是S,故侧面展开图的边长为 2S=2S,所以圆柱的侧面积是 4S.故选 A.(A)4 S(B)2 S(C)S(D)2 33 S 2.如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()C (A)1727(B)59 (C)1027(
5、D)13 解析:原来毛坯体积为 V=326=54,零件的体积 V1=322+224=34,所求的比值为1VVV=543454=1027.故选 C.3.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)为 ,表面积(单位:cm2)为 .解析:由三视图可得该几何体为二分之一圆锥,圆锥的底面半径为 1,高为 2,所以可得该几何体的体积为 12 13122=3,该几何体的表面积为:1212+121 14+1222=51 2+2.答案:3 51 2+2 4.已知正四棱锥 O-ABCD 的体积为 3 22,底面边长为3,则以 O 为球心,OA 为半径的球的表面积是 .解析:设 O 到
6、底面的距离为 h,则 133h=3 22,解得 h=3 22.OA=2262h=6,故球的表面积为 4(6)2=24.答案:24 5.(2018浙江宁波模拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是顶角为120的等腰三角形,侧视图为直角三角形,则该三棱锥的表面积为 ,该三棱锥的外接球体积为 .解析:由三视图得几何体的直观图是:所以 S 表=2 1222+1223 5+1223 1=4+15+3.以 D 为原点,DB 为 x 轴,DA 为 z 轴,建立空间直角坐标系,则 D(0,0,0),A(0,0,2),B(2,0,0),C(-1,3,0).因为(x-2)2+y2+z2=x2+y2+z2,
7、x2+y2+(z-2)2=x2+y2+z2,(x+1)2+(y-3)2+z2=x2+y2+z2,所以 x=1,y=3,z=1,所以球心的坐标是(1,3,1),所以球的半径是 222131=5.所以球的体积是 43(5)3=20 53.答案:4+15+3 20 53 高频考点突破 在训练中掌握方法 考点一 几何体的表面积【例1】(1)(2018金丽衢十二校联考)某四面体的三视图如图所示,正视图、侧视图都是腰长为2的等腰直角三角形,俯视图是边长为2的正方形,则此四面体的最大面的面积是()(A)2 (B)22 (C)23 (D)4 解析:(1)因为几何体为一个四面体,六条棱长分别为 2,2,22,2
8、2,22,23,所以四面体的四个面的面积分别为 1222=2,12222=22,12222=22,12(22)2sin 3=23,因此四面体的最大面的面积是 23.故选 C.答案:(1)C (2)(2016杭州一模)某几何体的三视图及直观图如图所示(单位:cm),则该几何体的侧面PAB的面积是()(A)3 cm2(B)2 cm2(C)5 cm2(D)7 cm2 解析:(2)由三视图知,该几何体是三棱锥,其中三棱锥的高为 2 cm,底面为边长为 2 cm 的等边三角形,所以侧面 PAB 上的斜高为 h=43=7(cm),所以侧面 PAB 的面积 S=1227=7(cm2).故选 D.答案:(2)
9、D(3)若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2,则其母线与轴的夹角的大小为 ;解析:(3)设圆锥底面半径为 r,母线长为 l,母线与轴夹角为,则221 22rlr lr=2,rl=32,即 sin=32,=3.答案:(3)3(4)四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,侧面 SAD 是以 SD 为斜边的等腰直角三角形,若四棱锥 S-ABCD 的体积取值范围为 4 33,83,则该四棱锥外接球表面积的取值范围是 .解析:(4)四棱锥S-ABCD中,可得 ADSA,ADABAD平面 SAB平面 SAB平面 ABCD,过 S 作 SOAB 于 O,则 SO平面 ABCD,设
10、SAB=,故SABCDV=13SABCDSO=83sin,所以 sin 32,1 3,23-12cos 12,在SAB 中,SA=AB=2,则有 SB=22 1cos，所以SAB 的外接圆半径 r=2sinSB=2 1cos2sin,将该四棱锥补成一个以 SAB 为一个底面的直三棱柱,得外接球的半径 R=21r S=4R2=4(21cos+1),所以 S 283,20.答案:(4)283,20 反思归纳 (1)已知几何体的三视图求其表面积,一般是先根据三视图判断空间几何体的形状,再根据题目所给数据与几何体的表面积公式,求其表面积.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面积应注意重合
11、部分的处理.(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展开成平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.迁移训练 1.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的表面积为()A(A)8+42 (B)6+2+23 (C)6+42 (D)6+22+23 解析:把该三视图还原成直观图后的几何体是如图的四棱锥A-BCDE,其表面积为 22+2 1222+2 12222=8+42.故选 A.2.正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为 4,底面边长为 2,则该球的表面积为()(A)814(B)16(C)9(D)274 A 解析:易知球心在正四棱锥的高上,设球的半径为 R,则(4-
12、R)2+(2)2=R2,解得 R=94,所以球的表面积为 4(94)2=814.故选 A.考点二 几何体的体积【例2】(1)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是()(A)12cm3(B)1 cm3(C)16 cm3(D)13 cm3 解析:(1)由题意,根据给定的三视图可知,该几何体表示一个底面为腰长为 1 的等腰直角三角形,高为 1 的三棱锥,如图所示,所以该三棱锥的体积为 V=13 12111=16(cm3),故选 C.答案:(1)C(2)(2018天津卷)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H
13、,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为 .解析:(2)依题意,易知四棱锥 M-EFGH 是一个正四棱锥,且底面边长为22,高为 12.故MEFGHV=13(22)2 12=112.答案:(2)112 反思归纳 (1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体,则可直接利用公式进行求解,其中,等积转换法多用来求三棱锥的体积.(2)若所给定的几何体是不规则几何体,则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体,再利用公式求解.(3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.迁移训练(2016宁波二模)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则此几何
14、体的体积为 cm3.解析:该几何体是一个边长为 4的正方体内,挖掉了半径为 4的 18球,故几何体的体积为 43-18 4343=64(1-6).答案:64(1-6)考点三 与面积、体积相关的综合问题【例 3】(1)若一个正四面体的表面积为 S1,其内切球的表面积为 S2,则12SS=;解析:(1)设正四面体棱长为 a,则正四面体的表面积为 S1=434 a2=3 a2,正四面体的高 h=2233aa=63a,由 13rS1=1334 a2h 知 r=14h=612 a.因此内切球的表面积为 S2=4r2=26a,则12SS=2236aa=6 3.答案:(1)6 3(2)将边长为a的正方形AB
15、CD沿对角线AC折起,点A、B、C、D折叠后对应点A、B、C、D,使BD=a,则三棱锥D-ABC的体积为 .解析:(2)如图所示正方形 ABCD 及折叠后的直观图.易知在直观图中,AB=BC=CD=DA=a,且 ADDC,ABBC,取 AC的中点 E,连接 DE,BE,则 DEAC,DE=EB=22 a,所以 DEEB,所以 DE平面 ABC.DE 即为三棱锥 D-ABC底面 ABC上的高.故DA B CV =13SABCDE=13 12aa22 a=212 a3.答案:(2)212 a3 反思归纳 (1)解决与球有关问题的关键是球心及球的半径,在球中球心与截面圆圆心的连线、截面圆圆心与截面圆
16、周上一点、该点与球心的连线构成一个直角三角形.解决多面体(或旋转体)的外接球、内切球问题的关键是确定球心在多面体(或旋转体)中的位置,找到球半径(或直径)与几何体相关元素之间的关系.有时将多面体补形为正(长)方体再求解.(2)求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开,转化为求平面上两点间的最短距离.迁移训练 解析:如图,由球心作平面 ABC 的垂线,则垂足为 BC 的中点 M.又 AM=12BC=52,OM=12AA1=6,所以球 O 的半径 R=OA=22562=132.故选 C.1.已知直三棱柱 ABC-A1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上,若 A
17、B=3,AC=4,ABAC,AA1=12,则球 O 的半径为()(A)3 172(B)2 10 (C)132 (D)310 C 2.(2016浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是 cm2,体积是 cm3.解析:几何体为两个相同长方体组合,长方体的长宽高分别为4,2,2,所以体积为2(224)=32(cm3),由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形,所以表面积为2(222+244)-2(22)=72(cm2).答案:72 32 考点四 易错辨析【例4】(2018浙江绍兴模拟)如图是由半球和圆柱组合而成的几何体的三视图,则该几何体的体积为()(A)53(B)8
18、3(C)103(D)12+23 解析:由题得,几何体是水平放置的一个圆柱和半个球,所以该几何体的体积为 V=4313 12+122=83,故选 B.易错分析 正确解决此类问题应注意确认几何体的形状时,要紧扣三视图,不能凭感觉去确定.迁移训练 若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积等于 cm3,表面积等于 cm2.解析:根据三视图画出几何体,显然是将一个长方体割去两个三棱锥,所以体积 V=ABCDA B C DV -AB D EV 三棱锥-A BDEV三棱锥=224-13 12222-13 12222=403(cm3).S 表面积=242+12222+12422+1222 6
19、 2=(28+43)(cm2).答案:403 28+43 课堂类题精练 在练习中体会学习的乐趣 类型一 几何体的表面积 1.如图是一个封闭几何体的三视图,则该几何体的表面积为()(A)7 cm2 (B)8 cm2 (C)9 cm2 (D)11 cm2 C 解析:依题意,题中的几何体是从一个圆柱中挖去一个半球后所剩余的部分,其中圆柱的底面半径是 1 cm、高是 3 cm,球的半径是 1 cm,因此该几何体表面积等于 12(412)+12+213=9(cm2).故选 C.2.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是()B(A)28+65 (B)30+65 (C)56+125 (D)60+125
20、 解析:根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图如图,此几何体为一个底面为直角三角形,高为 4 的三棱锥,因此表面积为 S=12(2+3)4+1245+124(2+3)+1225 415=30+65.故选 B.类型二 几何体的体积 3.某几何体的三视图如图所示,它的体积为()(A)72 (B)48 (C)30 (D)24 C 解析:由三视图知该几何体是由一个半球和一个圆锥构成的组合体,所以其体积为 V=12 4333+13324=30.故选 C.4.某几何体的三视图如图,图中三个直角三角形的直角边长都是2,该几何体的体积为()A(A)43(B)83(C)4 (D)163 解析:由几何体的三视图
21、,可知该几何体是一个以直角三角形为底面的三棱锥P-ABC,如图所示.其中 AB,AC,AP 两两垂直,AB=AC=AP=2,则底面面积 S=1222=2,高 h=2,故几何体的体积为P ABCV三棱锥=13Sh=1322=43.故选 A.5.(2018全国卷)设 A,B,C,D是同一个半径为 4 的球的球面上四点,ABC 为等边三角形且其面积为 93,则三棱锥 D-ABC 体积的最大值为()(A)123 (B)183 (C)243 (D)543 B 解析:由等边ABC 的面积为 93 可得34 AB2=93,所以 AB=6,所以等边ABC 的外接圆的半径为 r=33 AB=23.设球的半径为
22、R,球心到等边ABC 的外接圆圆心的距离为 d,则 d=22Rr=1612=2.所以三棱锥 D-ABC 高的最大值为 2+4=6,所以三棱锥 D-ABC 体积的最大值为 1393 6=183.故选 B.6.(2017杭州市名校协作体月考)已知一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积是 ,表面积是 .解析:四棱锥 P-ABCD,PA平面 ABCD,PA=2132=3,PB=PD=2232=11,底面正方形 ABCD 边长为2,所以体积是 13322=2,表面积是四个侧面面积与底面积之和,其中侧面都是直角三角形(由线面垂直关系可得),SPAB=SPAD=123 2=3 22,
23、SPBC=SPCD=12 11 2=222,因此表面积是22+2 3 22+2222=2+32+22.答案:2 2+32+22 7.(2018江苏卷)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 .解析:由题意知所给的几何体是棱长均为2 的八面体,它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的,正四棱锥的高为 1,所以这个八面体的体积为 2V 正四棱锥=2 13(2)21=43.答案:43 类型三 面积、体积综合问题 8.(2018浙江绍兴质量调测)已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A(A)83(B)8 (C)203(D)6 解析:如图所示,在棱长为 2 的
24、正方体中,题中的三视图对应的几何体为四棱锥 P-ADC1B1,其中 P 为棱 A1D1的中点,则该几何体的体积1 1P ADC BV=21 1P DB CV=21 1D PB CV=2 131 1PB CSDD1=83.故选 A.9.已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB=3,ASC=BSC=30,则棱锥 S-ABC 的体积为()(A)33 (B)23 (C)3 (D)1 C 解析:由题意知,如图所示,在棱锥 S-ABC 中,SAC,SBC 都是有一个角为 30的直角三角形,且 AB=3,SC=4,所以 SA=SB=23,AC=BC=2,作 BDSC 于 D 点,连接AD,易
25、证 SC平面 ABD,因此 V=1334(3)24=3.故选 C.10.(2018金丽衢十二校联考)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=0.6,则当E,F移动时,下列结论中错误的是()(A)AE平面C1BD(B)四面体ACEF的体积为定值(C)三棱锥A-BEF的体积为定值(D)异面直线AF,BE所成的角为定值 D 解析:因为 B1D1BD,C1DAB1,所以平面 AB1D1平面 C1BD,因此 AE平面 C1BD,所以 A 正确,因为A CEFV=CAEFV=1113CAB DdSAEF=1113CAB Dd 1211A B Dd EF 为定值,所以 B 正确,因为A BEFV=1113A BB Dd SBEF=1113A BB Dd 1211B B Dd EF 为定值,所以 C 正确,当 E,F 交换后,异面直线 AF,BE 所成的角发生变化,因此 D 错,故选 D.点击进入课时训练