1、2015-2016学年湖北省宜昌一中、龙泉中学联考高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知i是虚数单位，若1+i=z（1i），则z的虚部为( )A1BiCiD12已知R为实数集，M=，则M（RN）=( )Ax|0x1Bx|1x1Cx|1x0Dx|0x13设a=log23，c=32，则( )AabcBacbCbacDcba4已知，且，则tan=( )ABCD5下面几个命题中，假命题是( )A“是函数y=sinx的一个周期”或“2是函数y=cosx的一个周期”B“x2+y2=0”是“xy=0”的必要
2、不充分条件C“若ab，则2a2b1”的否命题D“a（0，+），函数y=ax在定义域内单调递增”的否定6设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=xy的最小值为( )A2B4C1D47将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移（0）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象关于直线x=对称，则的最小值为( )ABCD8如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，A=60，点M在AB边上，且AM=AB，则等于( )A1B1CD9已知函数f（x）=ax21的图象在点A（1，f（1）处的切线l与直线8xy+2=0平行，若数列的前n项和为Sn，则S2015的值为( )
3、ABCD10已知正实数x，y满足x+y+2=4xy，若对任意满足条件的x，y都有（x+y）2+1m（x+y）0恒成立，则实数m的取值范围为( )ABCD11设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时，f（x）单调递减，若数列an是等差数列，且a30，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a4）+f（a5）的值( )A恒为正数B恒为负数C恒为0D可正可负12已知函数，其中aR若对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x1x2），使得f（x1）=f（x2）成立，则k的取值范围为( )Ak0Bk8C0k8Dk0或k8二填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡的相
4、应位置）13函数值域为_14三个共面向量两两所成的角相等，且=_15一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为_16已知f（x）=alnx+，若对于x1，x2（0，+）且x1x2都有4，则a的取值范围是_三解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知ABC的三边a，b，c成等比数列，且a+c=，（）求cosB；（）求ABC的面积18设公差不为0的等差数列an的首项为1，且a2，a5，a14构成等比数列（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足，nN*，求bn的前n项和Tn19如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=1，BC=2，ACBC，D，
5、E，F分别为棱AA1，A1B1，AC的中点（）求证：EF平面BCC1B1；（）若异面直线AA1与EF所成角为30时，求三棱锥C1DCB的体积20据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）（1）当t=4时，求s的值；（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说
6、明理由21设函数f（x）=ax（1）若函数f（x）在（1，+）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若存在x1，x2，使f（x1）f（x2）+a成立，求实数a的取值范围22已知函数f（x）=|x|（1）解关于x不等式f（x1）a（aR）；（2）若不等式f（x+1）+f（2x）+对任意a（0，1）恒成立，求x的取值范围2015-2016学年湖北省宜昌一中、龙泉中学联考高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知i是虚数单位，若1+i=z（1i），则z的虚部为( )A1BiCiD1【考点】复数代数形式的乘
7、除运算【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出【解答】解：1+i=z（1i），z=i，z的虚部为1故选：D【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了计算能力，属于基础题2已知R为实数集，M=，则M（RN）=( )Ax|0x1Bx|1x1Cx|1x0Dx|0x1【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合思想；定义法；集合【分析】先化简集合M、N，再求出RN，计算M（RN）即可【解答】解：R为实数集，M=y|y0，=x|x1，RN=x|x1M（RN）=x|0x1故选：A【点评】本题考查了补集的定义与运算问题，是基础题目3设a=log23，c
8、=32，则( )AabcBacbCbacDcba【考点】对数值大小的比较【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出【解答】解：a=log231，0，0c=321，acb故选：B【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4已知，且，则tan=( )ABCD【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用【分析】由，故可由向量共线的条件建立方程，解出角的正切，选出正确选项【解答】解：，且，5cos=6sin，tan=，故选：D【点评】本题考查平面向量共线的坐标表示及三角方程化简求值
9、，解题的关键是熟练掌握向量共线的坐标表示公式，及三角函数的商数关系5下面几个命题中，假命题是( )A“是函数y=sinx的一个周期”或“2是函数y=cosx的一个周期”B“x2+y2=0”是“xy=0”的必要不充分条件C“若ab，则2a2b1”的否命题D“a（0，+），函数y=ax在定义域内单调递增”的否定【考点】命题的真假判断与应用【专题】综合题；函数思想；数学模型法；简易逻辑【分析】由复合命题的真假判断说明A、D为真命题；利用充分必要条件的判断方法判断B；写出命题的否命题判断C【解答】解：对于A，“是函数y=sinx的一个周期”是假命题，“2是函数y=cosx的一个周期”是真命题，是函数y
10、=sinx的一个周期”或“2是函数y=cosx的一个周期”是真命题；对于B，由x2+y2=0，得x=y=0，则xy=0，反之，若xy=0，得x=0或y=0，不一定有x2+y2=0，x2+y2=0”是“xy=0”的充分不必要条件，故B是假命题；对于C，“若ab，则2a2b1”的否命题是：“若ab，则2a2b1”是真命题；对于D，“a（0，+），函数y=ax在定义域内单调递增”为假命题（a=1时y=ax=1），其否定为真命题故选：B【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了充分必要条件的判断方法，考查了命题的否定和否命题，是基础题6设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=xy的最小值为( )A2
11、B4C1D4【考点】简单线性规划【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=x数形结合可得【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数可得y=xz，平移直线y=x可知，当直线经过点A（0，4）时，目标函数取最小值，代值计算可得z的最小值为4，故选：B【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题7将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移（0）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象关于直线x=对称，则的最小值为( )ABCD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【专
12、题】三角函数的图像与性质【分析】由条件利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得的最小值【解答】解：将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移（0）个单位，可得函数y=2sin=2sin（2x+2）的图象；再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得函数y=2sin（4x+2）的图象；再根据所得图象关于直线x=对称，可得+2=k+（kz），即= kz，的最小值为 ，故选：D【点评】本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题8如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，A=60，点M在AB边上，且A
13、M=AB，则等于( )A1B1CD【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算【专题】计算题【分析】由题意可得，代入=（）（）=，整理可求【解答】解：AM=AB，AB=2，AD=1，A=60，=（）（）=1+4=1故选B【点评】本题主要考查了向量得数量积的基本运算、向量的加法的应用，属于向量知识的简单应用9已知函数f（x）=ax21的图象在点A（1，f（1）处的切线l与直线8xy+2=0平行，若数列的前n项和为Sn，则S2015的值为( )ABCD【考点】数列的求和；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】数形结合；转化思想；导数的概念及应用；等差数列与等比数列【分析】函数f（x）=ax21
14、的图象在点A（1， f（1）处的切线l与直线8xy+2=0平行，可得f（x）|x=1=（2ax）|x=1=2a=8，解得a可得f（x）=4x21，=利用“裂项求和”即可得出【解答】解：函数f（x）=ax21的图象在点A（1，f（1）处的切线l与直线8xy+2=0平行，f（x）|x=1=（2ax）|x=1=2a=8，解得a=4f（x）=4x21，f（n）=4n21=数列的前n项和为Sn=+=则S2015=故选：C【点评】本题考查了利用导数研究切线、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10已知正实数x，y满足x+y+2=4xy，若对任意满足条件的x，y都有（x+y）2+1m（x+y）
15、0恒成立，则实数m的取值范围为( )ABCD【考点】函数恒成立问题【专题】函数的性质及应用【分析】由（x+y）2+1m（x+y）0可得，再令t=x+y，则a恒成立，求出t的范围，问题即转化为求函数a=的最小值问题【解答】解：因为正实数x，y满足x+y+2=4xy，而4xy（x+y）2，代入原式得（x+y）2（x+y）20，解得（x+y）2或（x+y）1（舍去）由（x+y）2+1m（x+y）0恒成立得恒成立，令t=x+y高h=8，故这个零件的表面积为2S+ch=152，故答案为：152【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键16已知f（x）=alnx
16、+，若对于x1，x2（0， +）且x1x2都有4，则a的取值范围是（4，+）【考点】导数的几何意义；导数的运算【专题】函数思想；导数的概念及应用【分析】解法一，假设x1x2，把4化为f（x1）f（x2）4（x1x2），构造函数g（x）=f（x）4x，利用g（x）的导数g（x）0，求出a的取值范围解法二：根据题意，得出f（x）的导数f（x）4，求出a的取值范围【解答】解：解法一，任取x1、x2（0，+），且x1x2，4，f（x1）f（x2）4（x1x2），构造函数g（x）=f（x）4x，g（x）在（0，+）是单调递增函数，g（x）=f（x）4=40；即+x40；a（4x）x，设函数t=4xx2=
17、（x2）2+44，a4；a的取值范围是（4，+）解法二：根据题意，f（x）=alnx+，其中x0，f（x）=+x=4，a+x24x，即a4xx2=4（x2）2；4（x2）24，当且仅当x=2时，取“=”，a4；a的取值范围是（4，+）故答案为：（4，+）【点评】本题考查了导数的概念以及不等式恒成立问题，解题时应根据导数的概念，化为f（x）4，从而使问题得以解答三解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知ABC的三边a，b，c成等比数列，且a+c=，（）求cosB；（）求ABC的面积【考点】正弦定理；余弦定理【专题】解三角形【分析】（）已知等式左边利用同角
18、三角函数间基本关系化简，利用等比数列的性质及正弦定理化简后，求出sinB的值，即可确定出cosB的值；（）由余弦定理列出关系式，把a+c的值代入求出ac的值，再由sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积【解答】解：（）由+=+=，又a，b，c成等比数列，b2=ac，由正弦定理化简得：sin2B=sinAsinC，在ABC中有sin（A+C）=sinB，代入式得：=，即sinB=，由b2=ac知，b不是最大边，cosB=；（）由余弦定理b2=a2+c22accosB得，ac=a2+c22ac=（a+c）2ac，a+c=，ac=5，SABC=acsinB=2【点评】此题考查了正弦、
19、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键18设公差不为0的等差数列an的首项为1，且a2，a5，a14构成等比数列（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足，nN*，求bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合【专题】综合题；等差数列与等比数列【分析】（）设等差数列an的公差为d（d0），由a2，a5，a14构成等比数列得关于d的方程，解出d后利用等差数列的通项公式可得an；（）由条件可知，n2时，=1（1）=，再由（）可求得bn，注意验证n=1的情形，利用错位相减法可求得Tn；【解答】解：（）设等差数列an的公差为d（d0），a2，a5，a14构成等比数
20、列，=a2a14，即（1+4d）2=（1+d）（1+13d），解得d=0（舍去），或d=2an=1+（n1）2=2n1（）由已知，nN*，当n=1时，=；当n2时，=1（1）=，nN*由（），知an=2n1，nN*，bn=，nN*又Tn=+，则Tn=+两式相减，得Tn=+（+）=，Tn=3【点评】本题考查等差数列等比数列的综合应用、错位相减法对数列求和，属中档题19如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=1，BC=2，ACBC，D，E，F分别为棱AA1，A1B1，AC的中点（）求证：EF平面BCC1B1；（）若异面直线AA1与EF所成角为30时，求三棱锥C1DCB的体积【考点】棱柱、棱锥、
21、棱台的体积；直线与平面平行的判定【专题】空间位置关系与距离【分析】（）要证EF平面BCC1B1，可证EF所在平面平行于平面BCC1B1，取AB的中点O，连接FO，EO，由棱柱的性质可得FOBC，EOBB1，再由面面平行的判定得到平面EFO平面BCC1B1，则答案得到证明；（）由（）知FEO异面直线AA1与EF所成角，得到FEO=30，进一步得到BC平面ACC1A1，再由已知求出EO的长度，把三棱锥C1DCB的体积转化为BCDC1的体积求解【解答】（）证明：如图，取AB的中点O，连接FO，EO，E，F分别为棱A1B1，AC的中点，FOBC，EOBB1，FOEO=O，BCBB1=B，FO，EO平面
22、EFO，BC，BB1平面BCC1B1，平面EFO平面BCC1B1，又EF平面EFO，EF平面BCC1B1；（）解：由（）知FEO异面直线AA1与EF所成角，FEO=30，三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，BB1平面ABC，EO平面ABC，则EOFO，由ACBC，CC1BC，BC平面ACC1A1，=【点评】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题20据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）
23、作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）（1）当t=4时，求s的值；（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由【考点】函数解析式的求解及常用方法【专题】压轴题【分析】（1）设直线l交v与t的函数图象于D点由图象知，点A的坐标为（10，30），故直线OA的解析式为v=3t，当t=4时，D点坐标为（4，12），OT=4，TD=12，S=412=24（km）；（2）分类讨论：当0t10时；当10t
24、20时；当20t35时；（3）根据t的值对应求S，然后解答【解答】解：设直线l交v与t的函数图象于D点，（1）由图象知，点A的坐标为（10，30），故直线OA的解析式为v=3t，当t=4时，D点坐标为（4，12），OT=4，TD=12，S=412=24（km）；（2）当0t10时，此时OT=t，TD=3t（如图1）S=t3t=当10t20时，此时OT=t，AD=ET=t10，TD=30（如图2）S=SAOE+S矩形ADTE=1030+30（t10）=30t150当20t35时，B，C的坐标分别为，（35，0）直线BC的解析式为v=2t+70D点坐标为（t，2t+70）TC=35t，TD=2t+
25、70（如图3）S=S梯形OABCSDCT=（10+35）30（35t）（2t+70）=（35t）2+675；（3）当t=20时，S=3020150=450（km），当t=35时，S=（3535）2+675=675（km），而450650675，N城会受到侵袭，且侵袭时间t应在20h至35h之间，由（35t）2+675=650，解得t=30或t=40（不合题意，舍去）在沙尘暴发生后30h它将侵袭到N城【点评】本题考查的是一次函数在实际生活中的运用，比较复杂，解答此题的关键是根据图形反映的数据进行分段计算，难度适中21设函数f（x）=ax（1）若函数f（x）在（1，+）上为减函数，求实数a的最小值
26、；（2）若存在x1，x2，使f（x1）f（x2）+a成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用【分析】（1）由已知得f（x）的定义域为（0，1）（1，+），f（x）=a+在（1，+）上恒成立，由此利用导数性质能求出a的最大值；（2）命题“若存在x1，x2，使f（x1）f（x2）+a成立”，等价于“当x时，有f（x）minf（x）max+a”，由此利用导数性质结合分类讨论思想，能求出实数a的取值范围【解答】解：（）由已知得f（x）的定义域为（0，1）（1，+），f（x）在（1，+）上为减函数，f（x）=a+0在（1，+）上
27、恒成立，a=（）2，令g（x）=（）2，故当=，即x=e2时，g（x）的最小值为，a，即aa的最小值为（）命题“若存在x1，x2，使f（x1）f（x2）+a成立”，等价于“当x时，有f（x）minf（x）max+a”，由（）知，当x时，lnx，f（x）=a+=（）2+a，f（x）max+a=，问题等价于：“当x时，有f（x）min”，当a，即a时，由（），f（x）在上为减函数，则f（x）min=f（e2）=ae2+，a，a当a0，即0a时，x，lnx，f（x）=a+，由复合函数的单调性知f（x）在上为增函数，存在唯一x0（e，e2），使f（x0）=0且满足：f（x）min=f（x0）=ax0+
28、，要使f（x）min，a=，与a0矛盾，a0不合题意综上，实数a的取值范围为22已知函数f（x）=|x|（1）解关于x不等式f（x1）a（aR）；（2）若不等式f（x+1）+f（2x）+对任意a（0，1）恒成立，求x的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】（1）不等式可化为：|x1|a，对a分类讨论，求得它的解集（2）利用基本不等式求得 +的最小值为4，问题等价于|x+1|+|2x|4去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求【解答】（1）不等式可化为：|x1|a，当a0时，解集为x1ax1+a；当a=0时，解集为x|x=1；当a0时，解集为（2）由f（x+1）+f（2x）+得：|x+1|+|2x|+0a1，01a1，+=4，当且仅当a=1a，即a=时取“=”问题等价于|x+1|+|2x|4， ，或 ，或 解得x1，即x的取值范围是x|x1【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题
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