1、第十一节 导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数的关系 增函数 常量函数 减函数 2.函数的极值与导数(1)极值的概念 f(x)f(x0)极大值点 极小值点(2)判别f(x0)是极大(小)值的方法 若x0满足f(x0)=0，且在x0的两侧f(x)的导数_，则x0 是f(x)的极值点.如果在x0附近的左侧_，右侧_，即“_”，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧_，右侧_，即“_”，那么f(x0)是极小值.异号 f(x)0 f(x)0 左正右负 f(x)0 f(x)0 左负右正 3求函数f(x)在a,b上最值的步骤(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的_.(2)将函数y=f(x
2、)的各_与端点处的_比 较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函 数f(x)在a,b上的最值.极值 极值 函数值f(a)，f(b)判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)f(x)0是f(x)为增函数的充要条件.()(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.()(3)函数的极大值不一定比极小值大.()(4)对可导函数f(x),f(x0)=0是x0点为极值点的充要条 件.()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定 是极小值.()【解析】(1)错误.f(x)0能推出f(x)为增函数，反之不一 定如函数f(x)=x3在(-,+)上单调递增，但f(x)0
3、所以f(x)0是f(x)为增函数的充分条件，但不是必要条 件(2)错误一个函数在某区间上或定义域内极大值可以不止一 个.(3)正确.一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系，极 大值可能比极小值大，也可能比极小值小.(4)错误.对可导函数f(x)，f(x0)=0只是x0点为极值点的必要条件，如y=x3在x=0时f(0)=0，而函数在R上为增函数，所以0不是极值点(5)正确.当函数在区间端点处取得最值时，这时的最值不是极值.答案:(1)(2)(3)(4)(5)1函数f(x)ln xax(a0)的单调递增区间为()【解析】选A.由 得 f(x)的单调递增区间为 11A(0,)B(,)aa1C(,
4、)D(,a)a 1fxa0 x，10 xa，1(0)a，2设f(x)x(ax2bxc)(a0)在x1和x1处均有极 值，则下列点中一定在x轴上的是()(A)(a，b)(B)(a，c)(C)(b，c)(D)(ab，c)【解析】选A.f(x)3ax22bxc，由题意知1，1是方 程3ax22bxc0的两根，故选A.2b1 1b03a，3.函数f(x)=x3-3x,x(-1,1)()(A)有最大值，但无最小值 (B)有最大值，也有最小值(C)无最大值，也无最小值 (D)无最大值，但有最小值【解析】选C.f(x)=3x2-3,x(-1,1),f(x)0,f(x)在(-1,1)上是减函数，故f(x)无最
5、大值，也无最小值.4已知f(x)x3ax在1，)上是增函数，则a的最大值是()(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【解析】选D.f(x)3x2a0在1，)上恒成立，即a3x2在1，)上恒成立，而(3x2)min3123.a3，故amax3.5已知yf(x)是定义在R上的函数，且f(1)1，f(x)1，则f(x)x的解集是()(A)(0,1)(B)(1,0)(0,1)(C)(1，)(D)(，1)(1，)【解析】选C.令F(x)f(x)x，则F(x)f(x)10，所以F(x)是增函数，故易得F(x)F(1)的解集，即f(x)x的解集是(1，)考向 1 利用导数研究函数的单调性【典例1】(1)(2
6、012辽宁高考)函数 的单调递减区间为()(A)(-1,1 (B)(0,1(C)1,+)(D)(0,+)21yxln x2(2)(2012北京高考改编)已知函数f(x)=ax2+1(a0),g(x)=x3+bx.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公切线,求a,b的值;当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间.【思路点拨】(1)保证函数有意义的前提下，利用y0求解.(2)利用交点既在f(x)上,也在g(x)上，在公切点处导数相等，构造方程组求解；构造函数F(x)=f(x)+g(x)，再利用导数求单调区间.【规范解答】(1)选B.由 且x0，又函数的定义域为
7、(0,+),故单调递减区间为(0,1.(2)f(x)=2ax,g(x)=3x2+b，由已知可得 解得a=b=3.211y(xln x)x01x12x ，f 1a1c,g 11bc,2a3b,令 令F(x)=0，得 a0,x10得，由F(x)0得，单调递增区间是 单调递减区间为 22322aaF xf xg xxaxx1 F x3x2ax44，1ax2 ，2ax,6 aaxx26 或；aax.26 aa(,),(,)26 ；aa(,).26【互动探究】在本例题(2)中，若条件不变，讨论函数 f(x)+g(x)当a0时，在区间(-，-1)上的单调性.【解析】由本例解析知，当a0时，函数的单调递增区
8、间是 单调递减区间为 当 即0a2时，f(x)+g(x)在(-，-1)上为增函数；当 即26时，f(x)+g(x)在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.综上，当0a2时，f(x)+g(x)在(-,-1)上为增函数;当2a6时，f(x)+g(x)在 上单调递增，在 上单调递减;当a6时，f(x)+g(x)在 上单调递增，在 上单 调递减，在 上单调递增.a16 ，a(,)2 aa(,)26a(,1)6a(,)2 a(,1)2a(,)2 aa(,)26a(,1)6【拓展提升】求函数的单调区间的“两个”方法(1)方法一：确定函数y=f(x)的定义域；求导数y=f(x)；解不等式f(x)0，
9、解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间(2)方法二:确定函数y=f(x)的定义域;求导数y=f(x)，令f(x)=0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根;把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;确定f(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性【变式备选】(1)函数y=xln x的单调递减区间是_【解析】令y0，解得 又x0，y=xln x的单调递减区间是 答案:1yln xxln x1x ，1xe，1(0,)
10、e 1(0,)e(2)已知函数 且f(-1)=0,试用含a的代数式表示b；求f(x)的单调区间.【解析】依题意，得f(x)=x2+2ax+b,由f(-1)=1-2a+b=0得b=2a-1.由得 故f(x)=x2+2ax+2a-1=(x+1)(x+2a-1),令f(x)=0，则x=-1或x=1-2a,321f xxaxbx,3 321f xxax2a1 x,3(i)当a1时，1-2a-1,当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：由此得，函数f(x)的单调递增区间为(-,1-2a)和(-1,+)，单调递减区间为(1-2a,-1).(ii)由a=1时，1-2a=-1，此时，f(x)0恒成立，
11、且仅在 x=-1处f(x)=0，故函数f(x)的单调递增区间为R.x (-,1-2a)(1-2a,-1)(-1,+)f(x)+-+f(x)单调递增 单调递减 单调递增 (iii)当a1时，1-2a-1，同理可得函数f(x)的单调递增 区间为(-,-1)和(1-2a,+)，单调递减区间为(-1,1-2a).综上：当a1时，函数f(x)的单调递增区间为(-,1-2a)和(-1,+)，单调递减区间为(1-2a,-1)；当a=1时，函数f(x)的单调递增区间为R；当a1时，函数f(x)的单调递增区间为(-,-1)和(1-2a,+)，单调递减区间为(-1,1-2a).考向 2 已知函数的单调性求参数的范
12、围【典例2】(1)若函数y=a(x3-x)的单调递减区间为 则a的取值范围是()(A)a0 (B)-1a0(C)a1 (D)0a1(2)(2013厦门模拟)若函数f(x)=x3-ax2+1在1,2上单调 递减，求实数a的取值范围 33(,)33，【思路点拨】(1)由y0的解集为 确定a的取值范围.(2)先求出导函数，再利用导数与单调性的关系或转化为恒成立问题求解【规范解答】(1)选A.当 时，因为函数y=a(x3-x)在 上单调递减，所以y0，即a0，经检验a=0不合题意，a0 33(,)332133y3a(x)3a(x)(x),333 33x33 33(x)(x)0,3333(,)33(2)
13、f(x)=3x2-2ax=x(3x-2a).方法一：由f(x)在1,2上单调递减知f(x)0，即3x2-2ax0在1,2上恒成立,即 在1,2上恒成立故只需 故a3 综上可知，a的取值范围是3,+).3ax2max3a(x)2，方法二：当a=0时，f(x)0,故y=f(x)在(-，+)上单调 递增，与y=f(x)在1,2上单调递减不符，舍去 当a0时，由f(x)0得 即f(x)的单调递减区间为 与f(x)在1,2上单调递减不符，舍去 当a0时，由f(x)0得 即f(x)的减区间为 由f(x)在1,2上单调递减得 得a3 综上可知，a的取值范围是3,+).2 ax03，2 a 03，20 xa3
14、，20a3，2 a2,3【互动探究】在本例题(2)中，若将“在1,2上单调递减”变为“在1,2上存在单调递减区间”，其他条件不变，试 解答本题.【解析】方法一：由f(x)在1,2上存在单调递减区间，知 f(x)0即3x2-2ax0在1,2内有解即 在1,2 上有解故只需 又 在1,2上最小值为 故 综上可知，a的取值范围是 3ax2min3a(x)2，3 x232，3a2 3(,)2 方法二：函数f(x)=x3-ax2+1在1,2上存在单调递减区间，即区间1,2与单调递减区间存在交集，由本例解析知，只 有当a0时，f(x)的单调递减区间 与区间1,2可以 存在交集，此时应满足 即 故所求a的取
15、值范围是 20a3，2 a 13，3a.23(,).2【拓展提升】已知函数单调性，求参数范围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f(x)0；若函数单调递减，则f(x)0”来求解.【提醒】f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a,b)都有f(x)0且在(a,b)内的任一非空子区间上f(x)0应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解 【变式备选】已知aR，函数f(x)(x2ax)ex，xR，e为自然对数的底数(1)当a2时，求函数f(x)的单调递增区间.(2)函数f(
16、x)是否为R上的减函数，若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由【解析】(1)当a2时，f(x)(x22x)ex，f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)0，即(x22)ex0，ex0，x220，解得 函数f(x)的单调递增区间是 2x2.(22)，(2)f(x)不是R上的减函数.若函数f(x)在R上单调递减，则f(x)0对xR都成立，即x2(a2)xaex0对xR都成立 ex0，x2(a2)xa0对xR都成立(a2)24a0，即a240，这是不可能的 故函数f(x)不可能是R上的减函数 考向 3 利用导数研究函数的极值(最值)【典例3】(1)(2013韶关模拟)函数
17、y=xex的最小值是()(A)-1 (B)-e (C)(D)不存在(2)(2013海口模拟)若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1没有极值，则a的取值范围是_.(3)(2012江苏高考改编)已知a，b是实数，1和-1是函数 f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点 求a和b的值.设函数g(x)的导函数g(x)=f(x)+2，求g(x)的极值点 1e【思路点拨】(1)先判断函数的单调性，再求最值.(2)函数无极值，等价于f(x)=0无实根，或存在两相等实根.(3)求出f(x)的导数，根据1和-1是函数f(x)的两个极值点，代入列方程组求解即可；由得，f(x)=x3-3x，求出g(x)，令
18、g(x)=0，求解讨论即可.【规范解答】(1)选C.因为y=ex+xex=ex(x+1),所以当x-1 时，y-1时y0，故当x=-1时函数有极小值，也是最小值为 (2)f(x)=3x2+6ax+3(a+2)，由f(x)没有极值点得=36a2-36(a+2)0，即-1a2.答案:-1,2 11e.e(3)由f(x)=x3+ax2+bx得f(x)=3x2+2ax+b,又因为1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点，所以3x2+2ax+b=0的两个根分别为1和-1.由根与系数的关系得 所以a=0,b=-3，此时f(x)=x3-3x.2a11a0,3 b11b3,3 由得，f(x)=x
19、3-3x,g(x)=f(x)+2=x3-3x+2=(x-1)2(x+2)=0,解得x1=x2=1,x3=-2.当x-2时，g(x)0;当-2x1时，g(x)0，x=-2是g(x)的极值点.当-2x1或x1时，g(x)0,x=1不是g(x)的极值点.g(x)的极值点是-2.【拓展提升】“最值”与“极值”的区别和联系(1)“最值”是整体概念，是比较整个定义域或区间内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性(2)从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的，而极值不唯一.(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一
20、个，也可能一个也没有.(4)极值只能在区间内部取得，而最值可以在区间的端点处取得.(5)有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值.【变式训练】设 函数 在区间-1,1 上的最大值为1，最小值为 求函数的解析式.【解析】f(x)=3x2-3ax,令f(x)=0，得x=0或x=a.又 显然f(-1)f(1),f(a)f(0),因为f(0)-f(1)=所以f(x)在-1,1上的最大值为f(0)=b,所以b=1.2a 13，323f xxaxb262，33af11ab,f 0b,f ab,22 3f 11ab.2 3 a1 02 ，又f(-1)-f(a)=
21、所以f(x)的最小值为 所以 故所求函数的解析式是 21 a1a202，33f11aba,22 366aa.223，所以 326f xxx1.2【满分指导】导数在函数中的应用题的规范解答【典例】(12分)(2012江西高考)已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex在0,1上单调递减且满足f(0)=1，f(1)=0.(1)求a的取值范围.(2)设g(x)=f(x)-f(x)，求g(x)在0,1上的最大值和最小值.【思路点拨】已 知 条 件 条 件 分 析 f(0)=1,f(1)=0 将f(x)用含a的代数式表示出来 f(x)=(ax2+bx+c)ex在0,1上单调递减 得出f(x)0在x0,1
22、上恒成立且f(x)=0不恒成立，然后通过分类讨论求得a的取值范围 g(x)=f(x)-f(x)化简g(x)=f(x)-f(x)后，再对g(x)求导，最后分类讨论求最值 【规范解答】(1)由f(0)=1,f(1)=0,得c=1,a+b=-1,则f(x)=ax2-(a+1)x+1ex，f(x)=ax2+(a-1)x-aex,2分 依题意对于任意x0,1,有f(x)0.当a0时,因为二次函数y=ax2+(a-1)x-a的图象开口向上,而f(0)=-a0,所以需f(1)=(a-1)e0,即0a1;3分 当a=1时,对于任意x0,1,有f(x)=(x2-1)ex0,且只在x=1时f(x)=0,f(x)符
23、合条件;当a=0时,对于任意x0,1,f(x)=-xex0,且只在x=0时，f(x)=0，f(x)符合条件;当a0,f(x)不符合条件.故a的取值范围为0a1.5分(2)因g(x)=(-2ax+1+a)ex,g(x)=(-2ax+1-a)ex,()当a=0时,g(x)=ex0,g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1,在x=1处取得最大值g(1)=e.6分()当a=1时,对于任意x0,1有g(x)=-2xex0,g(x)在x=0处取得最大值g(0)=2,在x=1取得最小值g(1)=0.7分()当0a1时,由g(x)=0得 g(x)在0,1上单调递增,g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1+a
24、,在x=1处取得最大值g(1)=(1-a)e.9分 g(x)在 处取得最大值 在x=0或x=1处取得 最小值,而g(0)=1+a,g(1)=(1-a)e,10分 1 ax0.2a1 a11,0a,2a3若即时1 a11,a1,2a3若即时1 ax2a1 a2a1 ag()2ae,2a由g(0)-g(1)=1+a-(1-a)e=(1+e)a+1-e=0,得 则 g(0)-g(1)0,g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1+a;g(0)-g(1)0,g(x)在x=1处取得最小值g(1)=(1-a)e.12分 e 1a.e 11e 1a,3e 1当时e 1a1,e 1 当时【失分警示】(下文见规范
25、解答过程)1.(2012陕西高考)设函数f(x)=xex，则()(A)x=1为f(x)的极大值点(B)x=1为f(x)的极小值点(C)x=-1为f(x)的极大值点(D)x=-1为f(x)的极小值点【解析】选D.f(x)=xex，f(x)=(xex)=ex+xex=ex(x+1)，令f(x)=0，则x=-1.当x-1时，f(x)-1时，f(x)0，所以x=-1为f(x)的极小值点.2.(2012福建高考)已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,abc,且f(a)=f(b)=f(c)=0,现给出如下结论：f(0)f(1)0;f(0)f(1)0;f(0)f(3)0;f(0)f(3)0.其中正确结论
26、的序号是()(A)(B)(C)(D)【解析】选C.f(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),函数f(x)在(-,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+)上单调递增，又因为f(a)=f(b)=f(c)=0，所以f(x)=0有三个实数根，故f(x)极大值=f(1)0,f(x)极小值=f(3)0,又f(0)=-abc=f(3)，故f(0)0,故正确.3.(2012重庆高考)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y=(1-x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()(A)函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)(B)函数f(x)有极大值f(-2)和
27、极小值f(1)(C)函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)(D)函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)【解析】选D.由图象可知,当x0,1-x0，所以f(x)0,当-2x1时,y0，所以f(x)0,当1x0,1-x0，所以f(x)2时,y0,1-x0.所以函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2).4.(2012新课标全国卷)已知函数 则y=f(x)的图象大致为()1f x,ln x1x【解析】选B.令g(x)=ln(1+x)-x,所以 得g(x)0-1x0,g(x)0,得g(x)0或-1x0时均有f(x)0,排除A,C,D.xg x.1x 5.(2012安徽高考)设函数(
28、1)求f(x)在0,+)内的最小值.(2)设曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 求a,b 的值.xx1f xaeb a0.ae3yx,2【解析】(1)设t=ex(t1)，则 当a1时，在t1上是增函数，得：当t=1(x=0)时，f(x)取最小值为 当0a1时，当且仅当 时，f(x)取最小值为b+2.2 22211a t1yatb,ya.atatat 1y0yatbat1aba；1yatb2bat，x1at1(te,xln a)a(2)由题意得：xxxx11f xaebfxae,aeae，2222212f 23,aeb3,a,aee3131f2aeb.2ae221.已知函数f(x)
29、(xR)的图象上任一点(x0，y0)处的切线方程 为 那么函数f(x)的单调递减区间是 ()(A)1，)(B)(，2(C)(，1)，(1,2)(D)2，)20000yy(x2)(x1)(xx)，【解析】选C.根据函数f(x)(xR)的图象上任一点(x0，y0)处 的切线方程为 可知其导数f(x)(x2)(x21)(x1)(x1)(x2)，令f(x)0得x1或 1x2.因此f(x)的单调递减区间是(，1)，(1,2)20000yy(x2)(x1)(xx)，2.函数 的图象经过四个象限，则实 数a的取值范围是()(A)(B)(C)(D)3211f xaxax2ax2a 13263a516 83a516 81a516 63a516【解析】选D.f(x)ax2ax2aa(x2)(x1)，要使函数f(x)的图象经过四个象限，则f(2)f(1)0，即 16563(a 1)(a 1)0a.36516，解得 3.已知 在R上不是增函数，则b的取值范 围是_【解析】假设 在R上是增函数，则 y0恒成立即x22bxb20恒成立，所以4b2 4(b2)0成立，解得1b2，故所求为b2.答案:b2 321yxbxb2 x33321yxbxb2 x33