1、第三节 空间图形的基本关系与公理 备考方向明确 方向比努力更重要 复习目标学法指导1.平面的基本性质.2.空间点、线、面位置关系.3.异面直线及其夹角.1.平面的基本性质作用分别是:性质1可用来证明点、直线在平面内;性质2可用来确定一个平面,证明点线共面;性质3可用来确定两个平面的交线,判断或证明多点共线,以及多线共点问题.2.空间点、线、面的位置关系要结合图形去记忆符号表示.3.异面直线所成角问题一般采取两种方案:(1)平移法作出平面角;(2)补形法作出平面角.知识链条完善 把散落的知识连起来 一、平面的基本性质及相关公(定)理 网络构建 文字语言 图形语言 符号语言 作用 公理 1 如果一
2、条直线上的 在一个平面内,那么这条直线在此平面内 AlBlAB l 判断直线在平面内 两点 公理 2 过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 A、B、C 三点 不共线有且 只有一个平 面,使 A,B ,C 是确定平面的依据,可证明点、线共面 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过 的公共直线 PP =l,且 Pl 寻找两平面的交线;证明线共点 该点 公理 4 平行于同一条直线的两条直线 lmln mn 证明线线平行 两角相等 或互补 的定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那 么 这 两 个 角 A BACAA CB A=A或A+A=判断或证明两角相等或互补
3、 互相平行 相等或互补 拓展空间 1.概念理解(1)平面的基本性质即三个公理要能用三种语言来表示(文字语言、图形语言、符号语言).(2)公理4是判断空间两直线平行的依据.(3)等角定理为解决空间角相等提供了依据.2.与平面性质相关联的结论(1)直线及直线外一点可以确定一个平面.(2)两相交直线确定一个平面.(3)两平行直线确定一个平面.二、空间中点、线、面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 图形 语言 符号 语言 ab a 交点 个数 0 0 0 图形语言 符号语言 ab=A a=A =l 交点个数 1 1 无数个 图形语言 符号语言 a、b 是异面直线 a 交点个数 0 无数
4、个 拓展空间 1.概念理解(1)空间两直线的位置关系有三种:相交、平行、异面.(2)空间直线与平面的位置关系有三种:平行、相交、直线在平面内.(3)空间两平面的位置关系有两种:平行、相交.2.与这些位置关系相关联的结论(1)空间两直线的位置关系中相交、平行也叫共面.(2)空间直线与平面平行、相交也叫线在面外.三、异面直线所成角 1.定义 设a,b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线 aa,bb,把a与b所成的 叫做异面直线a与b所成的角.2.范围:.锐角(或直角)0,2拓展空间 1.概念理解(1)异面直线所成角是个空间角,求解时我们通过平移法变为平面角.(2)范围中有两异面直线垂直,因此空
5、间中两直线垂直位置关系可以相交、异面.2.与异面直线相关联的结论(1)一个三棱锥中六条棱构成“三对”异面关系;(2)平移法求角时点的选取常常是特殊点(中点或端点上).温故知新 1.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的一个图是()D 解析:A,B,C图中四点一定共面,D中四点不共面.故选D.2.若a,b是异面直线,且a平面,则b与 的位置关系是()(A)b (B)相交(C)b (D)b、相交或平行 D 解析:三种情况都有.故选D.3.(2018浙江金华适应性考试)设a,b是两条不同的直线,是平面,a,b,则“ab”是“a”成立的()(A)充分不必要条件(B)
6、必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 A 解析:因为a,b,所以当ab时,一定有a,即充分性成立,反之当a时,a,b可能平行,可能异面,即必要性不成立,故“ab”是“a”成立的充分不必要条件,故选A.4.下列命题中正确的个数是()若直线l上有无数个点不在平面 内,则l;若直线l与平面 平行,则l与平面 内的任意一条直线都平行;如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行;若直线l与平面 平行,则l与平面 内的任意一条直线都没有公共点.(A)0(B)1(C)2(D)3 解析:l与可能相交,错误;可能异面,错误;另一条可能在平面内,错误;正确.故选B.
7、B 高频考点突破 在训练中掌握方法 考点一 平面的基本性质及应用【例1】(1)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:E,C,D1,F四点共面;(1)证明:连接EF,CD1,A1B.因为E,F分别是AB,AA1的中点,所以EFBA1.又因为A1BD1C,所以EFCD1,所以E,C,D1,F四点共面.CE,D1F,DA三线共点.(1)证明:因为EFCD1,EFCD1,所以CE与D1F必相交,设交点为P,则由PCE,CE平面ABCD,得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1=DA,所以P直线DA,所以CE,D1F,DA三
8、线共点.(2)如图所示,ABCD-A1B1C1D1是正方体,在图中F是B1B的中点,在图中画出平面BC1D与平面ACD1的交线,在图中画出平面AD1F与平面ABCD的交线,在图中画出平面A1BC1与平面ABCD的交线.(2)解:作法:在图中连接AC,CD1,分别交BD,C1D于点O,E,连接AD1,OE,则OE是平面BC1D与平面ACD1的交线;在图中,延长D1F交DB的延长线于G,连接AG,则AG是平面AD1F与平面ABCD的交线;在图中,延长DC使得CH=DC,连接BH,则BH是平面A1BC1与平面ABCD的交线.反思归纳 共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题,一般有两种途径
9、:首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合.(2)证明点共线问题,一般有两种途径:先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;直接证明这些点都在同一条特定的直线上.(3)证明线共点问题,常用的方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.(4)画几何体的截面,关键是画截面与几何体各面的交线,此交线只需两个公共点即可确定,作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件,可以更快地确定交线的位置.迁移训练 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,
10、那么正方体的过P,Q,R的截面图形是()(A)三角形(B)四边形(C)五边形(D)六边形 D 解析:如图所示,作RGPQ交C1D1于G,连接QP并延长与CB延长线交于M,且QP反向延长线与CD延长线交于N,连接MR交BB1于E,连接PE,则PE,RE为截面与正方体的交线,同理连接NG交DD1于F,连接QF,则QF,FG为截面与正方体的交线,所以截面为六边形PQFGRE,选D.考点二 空间两直线的位置关系【例2】关于直线m,n与平面,有以下四个命题:若m,n 且 ,则mn;若m,n 且 ,则mn;若m,n 且 ,则mn;若m,n 且 ,则mn;其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填
11、上)解析:错,m,n可能相交,也可能异面.正确.是利用向量法求二面角的依据.正确.因为m,n且,所以m,mn.错.m与n可能异面或相交.答案:反思归纳 空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定,对于异面直线,可采用直接法或反证法;对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理;对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决.迁移训练 如图所示,G,N,M,H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有 (填上所有正确答案的序号).解析:由题意,可知图中,直线GHMN;图中,G,H,N三
12、点共面,但M平面GHN,因此直线GH与MN异面;图中,连接MG,GMHN,因此GH与MN相交,所以直线GH与MN共面;图中,G,M,N共面,但H平面GMN,所以直线GH与MN异面.答案:考点三 异面直线所成的角【例3】如图所示,三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,BAC=60,PA=AB=AC=2,E是PC的中点.(1)求证AE与PB是异面直线;(1)证明:假设AE与PB共面,设平面为,因为A,B,E,所以平面即为平面ABE,所以P平面ABE,这与P平面ABE矛盾,所以AE与PB是异面直线.(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值.(2)解:取 BC 的中点 F,连接 EF,AF,则 EFPB
13、,所以AEF(或其补角)就是异面直线 AE 和 PB 所成的角.因为BAC=60,PA=AB=AC=2,PA平面 ABC,所以 AF=3,AE=2,EF=2,cosAEF=2222AEEFAFAE EF=223222=14,所以异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值为 14.反思归纳 (1)找异面直线所成的角的三种方法 利用图中已有的平行线平移.利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移.补形平移.(2)求异面直线所成角的三个步骤 作:通过作平行线,得到相交直线.证:证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角.算:通过解三角形,求出该角.迁移训练 1.三棱柱ABC-A1B1C1中,若BA
14、C=90,AB=AC=AA1,AA1平面ABC,则异面直线BA1与AC1所成的角等于()(A)30(B)45(C)60(D)90 C 解析:如图延长CA到D,使得AD=AC,则四边形ADA1C1为平行四边形,A1DAC1,DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角,又由AB=AC=AA1,AA1平面ABC,得A1DB为等边三角形,所以DA1B=60.故选C.2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线A1D与D1C所成的角为()(A)30(B)45(C)60(D)90 解析:异面直线所成的角需把握定义;将直线A1D平移至B1C,得异面直线A1D与D1C所成的角为D1CB1=60.故
15、选C.C 考点四 易错辨析【例4】一个正方体的展开图如图所示,A,B,C,D为原正方体的顶点,则在原来的正方体中()(A)ABCD(B)AB与CD相交(C)ABCD(D)AB与CD所成的角为60 解析:如图,把展开图中的各正方形按图1所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原,得到图2所示的直观图,可见选项A,B,C不正确.图2中,BECD,ABE为AB与CD所成的角,ABE为等边三角形.所以ABE=60,所以正确选项为D.故选D.易错分析 侧面展开图问题应还原为原来的几何体,从直观图中观察或求值.迁移训练 如图,侧棱长为 23 的正三棱锥 V-ABC 中,AVB=BVC=CVA=
16、40,过A 作截面 AEF,则截面AEF 周长的最小值为 .解析:沿着侧棱VA把正三棱锥VABC展开在一个平面内,则AA即为截面AEF周长的最小值,且AVA=340=120.VAA中,由余弦定理可得AA=6.答案:6 课堂类题精练 在练习中体会学习的乐趣 类型一 平面基本性质及应用 1.已知A,B,C,D,E是空间五个不同的点,若点E在直线BC上,则“AC与BD是异面直线”是“AD与BE是异面直线”的()(A)充分不必要条件(B)充分必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件 B 解析:若AC与BD是异面直线,则A,B,C,D四点不共面,则AD与BC是异面直线,而点E在BC上,所以
17、AD与BE也是异面直线,若AD与BE是异面直线,而点E在直线BC上,所以AD与BC是异面直线,所以A,B,C,D四点不共面,所以AC与BD是异面直线,所以是充分必要条件,故选B.2.如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是棱AB,AD的中点,G,H分别在棱BC,CD上,且BGGC=DHHC=12.则E,F,G,H四点()(A)一定共面 (B)不一定共面(C)EF,GH可能相交 (D)EF=GH A 解析:由题意分析知GHBD且BDEF,故GHEF,选A.类型二 空间两直线的位置关系 3.已知直线a,b都与平面 相交,则a,b的位置关系是()(A)相交(B)平行(C)异面(D)以上都有可能 解析
18、:a,b的位置关系三种情况都有可能.故选D.D 4.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱的条数为 .解析:如图,与AB和CC1都相交的棱有BC;与AB相交且与CC1平行的棱有AA1,BB1;与AB平行且与CC1相交的棱有CD,C1D1,故符合条件的棱共有5条.答案:5 类型三 异面直线所成的角 5.矩形 ABCD 中,AB=3,BC=1,将ABC 与ADC 沿 AC 所在的直线进行随意翻折,在翻折过程中直线 AD 与直线 BC 成的角的范围(包含初始状态)为()C (A)0,6 (B)0,3(C)0,2 (D)0,23 解析:初始状态直线 AD 与直线 BC 成
19、的角为 0,翻折过程中当 BCBD 时,直线 AD 与直线 BC 成的角为直角,因此直线 AD 与直线 BC 成的角范围为0,2,故选 C.6.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E是CC1的中点.那么异面直线EO和D1A所成的角的余弦值等于()C(A)12(B)32 (C)63 (D)33 解析:如图,取 BC 中点 F,连接 EF,OF,OEF 即为所求,且OEF 为直角三角形,设 OF=1,则 EF=2,故 OE=3,cos OEF=63.7.在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是正方形,PA=AB,M是PA的中点,DM和PC所成角的正切值是 .解析:如图,连接 AC,BD 交于点 O,连接 MO,O 是 AC 中点,而 M 是 PA 的中点,从而 MOPC,所以DMO(或其补角)是 DM 和 PC 所成角,设 PA=2,经计算得 MO=3,DO=2,MD=5,所以MDO 是直角三角形,从而 tan DMO=23=63.答案:63 点击进入课时训练