1、复习课(二)一元二次函数、方程和不等式考点一基本不等式利用基本不等式ab2(a0,b0)求最值,要抓住“一正,二定,三相等”的条件,三者缺一不可,和为定值积有最大值,积为定值和有最小值【典例1】(1)若正数x,y满足x3y5xy,则3x4y的最小值是()A. B. C5 D6(2)若正数x,y满足4x29y23xy30,则xy的最大值是()A. B. C2 D.解析(1)因为x3y5xy,5,所以3x4y(3x4y)25.当且仅当,即x1,y时等号成立,所以3x4y的最小值是5.(2)由4x29y23xy30,得22x3y3xy4x29y23xy30,即15xy30,xy2,此时当且仅当即x,
2、y时取得最大值故答案选C.答案(1)C(2)C条件最值的求解通常有两种方法:一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;二是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值针对训练1若正实数x,y满足2xy6xy,则2xy的最小值是_解析解法一:x0,y0,xy(2x)y2,2xy6(2xy)6(2xy)2,(2xy)28(2xy)480,令2xyt,t0,则t28t480,(t12)(t4)0,t12,即2xy12.解法二:由x0,y0,2xy6xy,得xy26(当且仅当2xy时,取“”),即()2260,(3)()
3、0,又0,3,即xy18,xy的最小值为18,2xyxy6,2xy的最小值为12.答案122已知x1,求函数y的最小值解x1,y2 1,当且仅当x1,即x2时,取“”,当x2时,函数y有最小值为1.考点二一元二次不等式的解法与三个“二次”之间的关系一元二次方程的根就是二次函数的零点,求二次不等式的解一般结合二次函数的图象写出不等式的解【典例2】(1)已知不等式ax2bx20的解集为x|1x2,则不等式2x2bxa0的解集为()A. B.Cx|2x1 Dx|x1(2)若a为实数,解关于x的不等式ax2(a2)x20.解析(1)根据题意x1和x2是方程ax2bx20的两个根,于是,解得,则2x2x10的解集为.(2)当a0时,不等式化为2x21;当a0时,不等式化为(x1)(ax2)0,则不等式化为(x1)0,且1,不等式的解集为;若a0,当1,即a2时,不等式化为(x1)20,解得x|x1;当a1时,不等式的解集为;当2a0,即1,a0时,不等式的解集为,2a0时,不等式的解集为,a2时,不等式的解集为x|x1,a0的解集是x|3x0;(2)b为何值时,ax2bx30的解集为R.解(1)由题意,知1a0即为2x2x30,解得x.所求不等式的解集为.(2)ax2bx30,即为3x2bx30,若此不等式解集为R,则b24330,6b6.