1、抽象函数与分段函数一、 填空题1设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：设是平面上的线性变换，则 若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换； 对，则是平面上的线性变换； 设是平面上的线性变换，则对任意实数均有。其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）【答案】【解析】：令，则故是真命题 同理，：令，则故是真命题 ：，则有 是线性变换，故是真命题 ：由，则有 是单位向量，0，故是假命题2已知定义在R上的奇函数满足，且在区间0，2上是增函数.若方程在区间-8，8上有四个不同的根则 .（-8）3已知函数.项数为27
2、的等差数列满足，且公差.若，则当=_时，.（14）4设x表示离x最近的整数，即若(mZ)，则x = m给出下列关于函数的四个命题：函数的定义域是R，值域是0，；函数的图像关于直线(kZ)对称；函数是周期函数，最小正周期是1；函数是连续函数，但不可导其中真命题是_答案：.5对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2（x1x2），有如下结论：f(x1x2)=f(x1)f(x2)； f(x1x2)=f(x1)+f(x2)； 0；.当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是 . 答案：、6某纺织厂的一个车间有n（n7，nN）台织布机，编号分别为1，2，3，n，该车间有技术工人n名，编号分别为1，2
3、，3，n现定义记号如下：如果第i名工人操作了第j号织布机，此时规定=1，否则=0若第7号织布机有且仅有一人操作，则 ；若，说明：_ 答案：1；编号为3的工人操作了2台织布机7在实数集R中定义一种运算“*”，具有性质：对任意；对任意；对任意，则0*2= ；函数的最小值为 .答案：5；38已知函数满足：，则 .答案：249已知函数 ，则 。答案：0 ff(2008)ff(2006)ff(2)ff(0)224010定义在上的偶函数满足：，且在上是增函数，下面关于 的判断：是周期函数；=0；在上是减函数；在上是减函数.其中正确的判断是 （把你认为正确的判断都填上）【解】： 有对称中心，又为偶函数 可知
4、图象可如图所示：从而由图象可知其中正确的判断是、注： ，又 为偶函数 的周期为；11是定义在上的函数，且满足：对任意，恒有0；对任意，恒有,则关于函数有对任意，都有； 对任意，都有；对任意，都有；对任意，都有上述四个命题中正确的有 答案：(2)(4)12对a,bR,记max（a,b），求函数f（x）max（|x1|, |x2|）（xR）的最小值是 .答案：13设是定义在上的函数，且满足：对任意，恒有0；对任意，恒有,则关于函数有对任意，都有； 对任意，都有；对任意，都有；对任意，都有上述四个命题中正确的有 答案：(2)(4)14已知的解集是 。答案：(,).15设定义在的函数同时满足以下条件：
5、；当时，。则_答案：1.二、 解答题1定义在R上的函数y=f(x)，f(0)0，当x0时，f(x)1，且对任意的a、bR，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1） 求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的xR，恒有f(x)0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)f(2x-x2)1，求x的取值范围。解：（1）令a=b=0，则f(0)=f(0)2 f(0)0 f(0)=1（2）令a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) 由已知x0时，f(x)10，当x0，f(-x)0 又x=0时，f(0)=10 对任意xR，f(x)0(3)任取x2x1，则f(x2)0，f(x1)0，x2-
6、x10 f(x2)f(x1) f(x)在R上是增函数（4）f(x)f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x) 又1=f(0)，f(x)在R上递增 由f(3x-x2)f(0)得：x-x20 0x32已知函数是定义域为R的偶函数，其图像均在x轴的上方，对任意的，都有，且，又当时，其导函数恒成立。（）求的值；（）解关于x的不等式：，其中解：(1)由f(mn)f(m)n得：f(0)f(00)f(0)0函数f(x)的图象均在x轴的上方,f(0)0,f(0)13分f(2)f(12)f(1)24，又f(x)0f(1)2,f(1)f(1)23分(2)又当时，其导函数恒成立，在区间上为单调递增函
7、数当时，；当时，；当时，综上所述：当时，；当时，；当时，。3已知函数满足下列条件：函数的定义域为0，1；对于任意； 对于满足条件的任意两个数 （1）证明：对于任意的； （2）证明：于任意的； （3）不等式对于一切x0，1都成立吗？试说明理由. （1）证明：对于任意的即对于任意的 5分 （2）证明：由已知条件可得所以对于任意的 10分 （3）解：取函数则显然满足题目中的（1），（2）两个条件， 任意取两个数即不等式 4已知函数f（x）的定义域为x| x k，k Z，且对于定义域内的任何x、y，有f（x - y） = 成立，且f（a） = 1（a为正常数），当0 x 0（I）判断f（x）奇偶性；（
8、II）证明f（x）为周期函数；（III）求f （x）在2a，3a 上的最小值和最大值解：（1）定义域x| x k，kZ 关于原点对称，又f（- x） = f （a - x） - a= = = = = = - f （x），对于定义域内的每个x值都成立 f（x）为奇函数-（4分）（2）易证：f（x + 4a） = f（x），周期为4a-（8分）（3）f（2a）= f（a + a）= f a -（- a）= = = 0，f（3a）= f（2a + a）= f 2a -（- a）= = = - 1先证明f（x）在2a，3a上单调递减为此，必须证明x（2a，3a）时，f（x） 0，设2a x 3a，则0
9、 x - 2a 0， f（x） 0-（10分）设2a x1 x2 3a，则0 x2 - x1 a， f（x1） 0 f（x2） 0， f（x1）- f（x2）= 0， f（x1） f（x2）， f（x）在2a，3a上单调递减-（12分） f（x）在2a，3a上的最大值为f（2a = 0，最小值为f（3a）= - 15已知集合是满足下列性质的函数的全体, 存在非零常数, 对任意, 有成立.(1) 函数是否属于集合? 说明理由;(2) 设, 且, 已知当时, , 求当时, 的解析式.解: (1) 假设函数属于集合, 则存在非零常数, 对任意, 有成立,即: 成立. 令, 则, 与题矛盾. 故.(2
10、) , 且, 则对任意, 有,设, 则, 当时, , 故当时, .6通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间。讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散。分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力，x表示提出概念和讲授概念的时间（单位：分），可有以下的关系式：(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？(2)一个数学难题，需要55(或以上)的接受能力，上课开始30分钟内, 求能达到该接受能力要求的时间共有多少分钟? (3)如果每隔5分钟测量一次学生的接受能
11、力，再计算平均值M=，它能高于45吗？解：（1）0x10时，有f(x)=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9故当0x10时，时，f(x)递增，最大值为f(10)=-0.1(-3)2+59.9=59;显然，当16x30时，f(x)递减，f(x)-316+107=59. 因此，开讲后10分钟，学生达到最强的接受能力（值为59），并维持6分钟； （5分） (2) 依题意, 当0x10时，令f(x)55,则(x-13)249, 6x10; （7分） 当10x16时，f(x)=59符合要求；（8分）当16x30时，令f(x)55,则x17 （9分） 因此，学生达到（或超过）55
12、的接受能力的时间为17611 (分钟)；（11分） (3)f(5)=53.5, f(10)=59, f(15)=59, f(20)=47，f(25)=32, f(30)=17所以M=44.60；对任意x1，x2(0，1)，恒有2.()求证：对任意x(0，1)，恒有f(x)f (1x)；()求证：对任意的x1、x2(0，1)，恒有f (x1)f (x2)8设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“方程有实数根；函数的导数满足”()判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；()若集合M中的元素具有下面的性质：“若的定义域为D，则对于任意，都存在，使得等式成立”试用这一性质证明：方程只有一个实数根；(
13、)设是方程的实数根，求证：对于定义域中的任意的，当且时，解：()易证函数满足条件，因此()假设存在两个实根，则，不妨设，由题知存在实数，使得成立。，且，与已知矛盾，所以方程只有一个实数根() 不妨设，为增函数，又函数为减函数，即，9已知二次函数的二次项系数为a，且不等式的解集为（1，3）.（1）若方程有两个相等的根，求的解析式；2）若的最大值为正数，求a的取值范围.本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力.满分12分.解：（）由方程 因为方程有两个相等的根，所以，即由于代入得的解析式（）由及由 解得 故当的最大值为正数时，实数a的取值范围是10已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立. (I)求证：函数上是增函数； (II)当； (III)已知不等式时恒成立，求证：解析:(I),所以函数上是增函数(II)因为上是增函数,所以,两式相加后可以得到() 相加后可以得到:所以 令有 所以(方法二)所以又,所以版权所有：高考资源网()版权所有：高考资源网()
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