1、2.4 圆的方程 选择性必修一第二章 2.4.1 圆的标准方程 知识梳理 知识要点要点一圆的标准方程1圆的定义：平面内到_的距离等于_的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径2确定圆的要素是_和_，如图所示定点定长圆心半径知识梳理 3圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是_当ab0时，方程为x2y2r2，表示以_为圆心、半径为r的圆(xa)2(yb)2r2原点圆的标准方程(x a)2(y b)2r2 中有三个参数，要确定圆的标准方程需要确定这三个参数，其中圆心(a，b)是圆的定位条件，半径 r 是圆的定量条件知识梳理 要点二 点与圆的位置关系圆的标准方程为(xa)
2、2(yb)2r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则判断方法 位置关系几何法代数法 点在圆上|MA|r点M在圆A上点M(x0，y0)在圆上(x0a)2(y0b)2r2点在圆内|MA|r点M在圆A内点M(x0，y0)在圆内(x0a)2(y0b)2r2点在圆外|MA|r点M在圆A外点M(x0，y0)在圆外(x0a)2(y0b)2r2例题解析 例 1.圆心在 y 轴上，半径长为 5，且过点(3，4)的圆的标准方程是_解析：(1)设圆心(0，b)，则3024b25，得 b0 或8，所以圆的标准方程为 x2y225 或 x2(y8)225.答案：(1)x2y225 或 x2(y8
3、)225例题解析 例 2方程|x1|1（y1）2表示的曲线是()A一个圆 B两个半圆 C两个圆 D半圆 由圆(x2)2(y12)24 可得圆心坐标(2，12)，半径为 2.因为所求圆与圆(x2)2(y12)24 关于直线 xy80 对称，所以所求圆半径为 2.设所求的圆心为(a，b)，则a22 b12280，b12a2 1，解得a4，b6，故圆的方程为(x4)2(y6)24.故选 C.C例题解析 例 3点 P(m,5)与圆 x2y224 的位置关系是()A在圆外B在圆内C在圆上D不确定解析：m22524，点 P 在圆外故选 A.答案：AA例题解析 例 4 求圆心为(2,3)A，半径为 5 的圆
4、的标准方程，并判断点1(5,7)M，2(2,1)M 是否在这个圆上.例题解析 解：圆心为(2,3)A，半径为 5 的圆的标准方程是22(2)(3)25xy.把点1(5,7)M的坐标代入方程22(2)(3)25xy的左边，得22(52)(73)25 ，点1M 的坐标满足圆的方程，所以点1M 在这个圆上.把点2(2,1)M的坐标代入方程22(2)(3)25xy的左边，得22(22)(13)20 ，点2M 的坐标不满足圆的方程，所以点2M 不在这个圆上.例题解析 例 5已知点 A(1,2)不在圆 C：(xa)2(ya)22a2 的内部，则实数 a 的取值范围为_解析：由题意，点 A 在圆 C 上或圆
5、 C 的外部，(1a)2(2a)22a2，2a50，a52.a0，a 的取值范围为52，0)(0，)答案：52，0)(0，)例题解析 例 6 已知 x 和 y 满足(x1)2y214，求 x2y2 的最值 解析：由题意知 x2y2 表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值原点 O(0,0)到圆心 C(1,0)的距离 d1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为 11232，最小距离为 11212.因此 x2y2 的最大值和最小值分别为94和14.例题解析 变式探究 1 本例条件不变，求yx的取值范围解析：设 kyx，变形为 k
6、y0 x0，此式表示圆上一点(x，y)与点(0,0)连线的斜率，由 kyx，可得 ykx，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离 dr，即|k|k2112，解得 33 k 33.即yx的取值范围是 33，33.例题解析 变式探究 2 本例条件不变，求 xy 的最值解析：令 yxb 并将其变形为 yxb，问题转化为斜率为1 的直线在经过圆上的点时在 y 轴上的截距的最值当直线和圆相切时在 y 轴上的截距取得最大值和最小值，此时有|1b|212，解得 b 22 1，即最大值为 22 1，最小值为 22 1.例题解析 例 7已知某圆圆心 C 在 x 轴上，半径为 5，且在 y 轴上截得线段 AB 的长
7、为 8，则圆的标准方程为()A(x3)2y225 Bx2(y3)225 C(x3)2y25 D(x3)2y225 由题意设|AC|r5，|AB|8，所以|AO|4，在 RtAOC 中，|OC|AC|2|AO|252423.如图所示，有两种情况：故圆心 C 的坐标为(3，0)或(3，0)，故所求圆的标准方程为(x3)2y225.D2.4 圆的一般方程 知识梳理 知识要点要点圆的一般方程1圆的一般方程的概念：当_时，二元二次方程 x2y2DxEyF0叫做圆的一般方程2圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程 x2y2DxEyF0(D2E24F0)表示的圆的圆心为_，半径长为_D2E24F0(D2
8、，E2)12 D2E24F知识梳理 方法技巧圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点：x2、y2 的系数相等且不为 0；没有 xy 项对方程 x2y2DxEyF0 的说明：方程条件图形x2y2DxEyF0D2E24F0不表示任何图形D2E24F0表示一个点(D2，E2)D2E24F0表示以(D2，E2)为圆心，以12 D2E24F为半径的圆例题解析 例 1若 x2y24x2y5k0 表示圆，则实数 k 的取值范围是()ARB(，1)C(，1 D1，)解析：由方程 x2y24x2y5k0 可得(x2)2(y1)255k，此方程表示圆，则 55k0，解得 k1.故实数 k 的取值范围是(，1)故选
9、B.答案：BB例题解析 例 2 已知ABC 的三个顶点为 A(1,4)，B(2,3)，C(4，5)，求ABC 的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径解析：方法一 设ABC 的外接圆方程为 x2y2DxEyF0，A，B，C 在圆上，116D4EF0，492D3EF0，16254D5EF0，D2，E2，F23，ABC 的外接圆方程为 x2y22x2y230，即(x1)2(y1)225.外心坐标为(1，1)，外接圆半径为 5.例题解析 方法二 kAB431213，kAC45143，kABkAC1，ABAC.ABC 是以角 A 为直角的直角三角形，外心是线段 BC 的中点，坐标为(1，1)，r12|BC|
10、5.外接圆方程为(x1)2(y1)225.例题解析 例 3 点 A(2,0)是圆 x2y24 上的定点，点 B(1,1)是圆内一点，P，Q 为圆上的动点(1)求线段 AP 的中点 M 的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段 PQ 的中点 N 的轨迹方程例题解析 解析：(1)设线段 AP 的中点为 M(x，y)，由中点公式得点 P 坐标为 P(2x2,2y)点 P 在圆 x2y24 上，(2x2)2(2y)24，故线段 AP 的中点 M 的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设线段 PQ 的中点为 N(x，y)，在 RtPBQ 中，|PN|BN|.设 O 为坐标原点，连接 ON(图略)，则 ONP
11、Q，|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，x2y2(x1)2(y1)24，故线段 PQ 的中点 N 的轨迹方程为 x2y2xy10.例题解析 例 4已知圆 C：x2y24，则圆 C 关于直线 l：xy30 对称的圆的方程为()Ax2y26x6y140 Bx2y26x6y140 Cx2y24x4y40 Dx2y24x4y40 设圆心 C(0，0)关于直线 l：xy30 的对称点为 D(a，b)，则由a2b230，b0a01得a3，b3.所以所求圆的方程为(x3)2(y3)24，化为一般方程为 x2y26x6y140.故选 A.A例题解析 例 5若过点 A(a，a)可作圆 C：x2y22axa22a30 的两条切线，则实数 a 的取值范围为_ 圆心为 C(a，0)，半径 r32a，方程表示圆，则 32a0，即 a0，解得 a(，3)1，32.课堂小结 1圆的标准方程;2圆的一般方程。感谢您的观看