1、第2课时补集及集合运算的综合应用1理解全集、补集的概念2准确翻译和使用补集符号和Venn图3会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题1全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集(2)符号表示：全集通常记作U.2补集温馨提示：UA的三层含义：(1)UA表示一个集合；(2)A是U的子集，即AU；(3)UA是U中不属于A的所有元素组成的集合1A高一(1)班参加足球队的同学，B高一(1)班没有参加足球队的同学，U高一(1)班的同学(1)集合A，B，U有何关系？(2)B中元素与U和A有何关系？答案(1)UAB(2)B中的元素在U中，不在A中2判断正误(正确的打
2、“”，错误的打“”)(1)全集是由任何元素组成的集合()(2)不同的集合在同一个全集中的补集也不同()(3)集合BC与AC相等()(4)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素()答案(1)(2)(3)(4)题型一 补集的运算【典例1】(1)已知全集Ux|x5，集合Ax|3x5，则UA_；(2)已知全集U，集合A1,3,5,7，UA2,4,6，UB1,4,6，则集合B_.思路导引借助补集定义，结合数轴及Venn图求解解析(1)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示由补集定义可得UAx|x3或x5(2)解法一：A1,3,5,7，UA2,4,6，U1,2,3,4,5,6,7又UB1,4,6，
3、B2,3,5,7解法二：借助Venn图，如图所示由图可知B2,3,5,7答案(1)x|x3或x5(2)2,3,5,7求集合补集的基本方法及处理技巧(1)基本方法：定义法(2)两种处理技巧当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解针对训练1设全集UR，集合Ax|25答案x|x2或x52设Ux|5x2或2x5，xZ，Ax|x22x150，B3,3,4，则UA_，UB_.解析解法一：在集合U中，xZ，则x的值为5，4，3,3,4,5，U5，4，3,3,4,5又Ax|x22x1503,5，UA5，4,3,4，UB5，4,5解法二：可用Ve
4、nn图表示则UA5，4,3,4，UB5，4,5答案5，4,3,45，4,5题型二 交集、并集、补集的综合运算【典例2】已知全集Ux|x4，集合Ax|2x3，Bx|3x3求UA，AB，U(AB)，(UA)B.解把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：由图可知UAx|x2或3x4，ABx|2x3，U(AB)x|x2或3x4，(UA)Bx|32，Tx|4x1，则(RS)T等于()Ax|22，RSx|x2而Tx|4x1，(RS)Tx|x2x|4x1x|x1答案C4设全集为R，Ax|3x7，Bx|2x10，则R(AB)_，(RA)B_.解析由题意知，ABx|2x10，R(AB)x|x2或x10又RAx|x
5、3或x7(RA)Bx|2x3或7x10答案x|x2或x10x|2x3或7x10题型三 利用集合间的关系求参数【典例3】设集合Ax|xm0，Bx|2x4，全集UR，且(UA)B，求实数m的取值范围思路导引理清集合间的关系，分类求解解由已知Ax|xm，得UAx|xm，因为Bx|2x4，(UA)B，所以m2，即m2，所以m的取值范围是m2.变式(1)将本例中条件“(UA)B”改为“(UA)B”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？(2)将本例中条件“(UA)B”改为“(UB)AR”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？解(1)由已知得Ax|xm，所以UAx|x2，解得m2.(2)由已知得Ax|x
6、m，UBx|x2或x4又(UB)AR，所以m2，解得m2.利用集合关系求参数的2个注意点(1)与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集针对训练5已知集合Ax|xa，Bx|1x3(1)若A(RB)R，求实数a的取值范围；(2)若A(RB)，求实数a的取值范围解(1)Bx|1x3，RBx|x1或x3，因而要使A(RB)R，结合数轴分析(如图)，可得a3.(2)Ax|xa，RBx|x1或x3要使A(RB)，结合数轴分析(如图)，可得a1.课堂归纳小结1全集与补集的互相依存关系(
7、1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集因此，全集因研究问题而异(2)补集是集合之间的一种运算求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念(3)UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备AU；其次是定义UAx|xU，且xA，补集是集合间的运算关系2补集思想做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求UA，再由U(UA)A求A.1已知全集UR，Ax|x0
8、，Bx|x1，则集合U(AB)()Ax|x0 Bx|x1Cx|0x1 Dx|0x1解析Ax|x0，Bx|x1，ABx|x0或x1，U(AB)x|0x1故选D.答案D2已知三个集合U，A，B之间的关系如图所示，则(UB)A()A3 B0,1,2,4,7,8C1,2 D1,2,3解析由Venn图可知U0,1,2,3,4,5,6,7,8，A1,2,3，B3,5,6，所以(UB)A1,2答案C3设全集UxN|x8，集合A1,3,7，B2,3,8，则(UA)(UB)()A1,2,7,8 B4,5,6C0,4,5,6 D0,3,4,5,6解析UxN|x80,1,2,3,4,5,6,7,8，UA0,2,4,
9、5,6,8，UB0,1,4,5,6,7，(UA)(UB)0,4,5,6答案C4全集Ux|0x10，Ax|0x5，则UA_.解析UAx|5x10，如图所示答案x|5x105设全集U2,3，a22a3，A|2a1|,2，且UA5，求实数a的值解UA5，5U，但5A，a22a35，解得a2或a4.当a2时，|2a1|3，这时A3,2，U2,3,5UA5，适合题意a2.当a4时，|2a1|9，这时A9,2，U2,3,5，AU，UA无意义，故a4应舍去综上所述，a2.课内拓展课外探究空集对集合关系的影响空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是无限集空集就像一个无处不在的幽灵，解题时需处处设防，提
10、高警惕空集是任何集合的子集，其中“任何集合”当然也包括了，故将会出现.而此时按子集理解不能成立，原因是前面空集中无元素，不符合定义，因此知道这一条是课本“规定”空集是任何非空集合的真子集，即A(而A)既然A，即必存在aA而a，A.由于空集的存在，关于子集定义的下列说法有误，如“AB，即A为B中的部分元素所组成的集合”因为从“部分元素”的含义无法理解“空集是任何集合的子集”、“A是A的子集”、“”等结论在解决诸如AB或AB类问题时，必须优先考虑A时是否满足题意【典例1】已知集合Ax|x22x80，Bx|x2axa2120，求满足BA的a的值组成的集合解由已知得A2,4，B是关于x的一元二次方程x
11、2axa2120(*)的解集方程(*)根的判别式a24(a212)3(a216)(1)若B，则方程(*)没有实数根，即0，3(a216)0，解得a4.此时BA.(2)若B，则B2或4或2,4若B2，则方程(*)有两个相等的实数根x2，(2)2(2)aa2120，即a22a80.解得a4或a2.当a4时，恰有0；当a2时，0，舍去当a4时，BA.若B4，则方程(*)有两个相等的实数根x4，424aa2120，解得a2，此时0，舍去若B2,4，则方程(*)有两个不相等的实数根x2或x4，由知a2，此时0，2与4恰是方程的两根当a2时，BA.综上所述，满足BA的a值组成的集合是a|a4或a2或a4点
12、评有两个独特的性质，即：(1)对于任意集合A，皆有A；(2)对于任意集合A，皆有AA.正因如此，如果AB，就要考虑集合A或B可能是；如果ABA，就要考虑集合B可能是.【典例2】设全集UR，集合Mx|3a1x2a，aR，Nx|1x3，若N(UM)，求实数a的取值集合解根据题意可知：N，又N(UM)当M，即3a12a时，a1.此时UMR，N(UM)显然成立当M，即3a12a时，a1.由Mx|3a1x2a，知UMx|x3a1或x2a又N(UM)，结合数轴分析可知或得a.综上可知，a的取值集合为.点评集合的包含关系是集合知识重要的一部分，在后续内容中应用特别广泛，涉及集合包含关系的开放性题目都以子集的
13、有关性质为主，因此需要对相关的性质有深刻的理解对于有限集，在处理包含关系时可列出所有的元素，然后依条件讨论各种情况，找到符合条件的结果课后作业(五)复习巩固一、选择题1设全集UR，集合Px|2x3，则UP等于()Ax|x2或x3Bx|x3Cx|x2或x3Dx|x2且x3解析由Px|2x3得，UPx|x2或x3故选A.答案A2集合Ax|1x2，Bx|x1 Bx|x1Cx|1x2 Dx|1x2解析Bx|x2或x2，Nx|x3或x1都是全集U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是()Ax|2x1Bx|2x2Cx|1x2Dx|x2解析阴影部分表示的集合为N(UM)x|2x1，故选A.答案A5设集合U1,
14、1,2,3，Mx|x2pxq0，若UM1,1，则实数pq的值为()A1 B5 C5 D1解析由已知可得M2,3，则2,3为方程x2pxq0的两根，则p(23)5，q236.故pq561.故选D.答案D二、填空题6已知全集Ux|x3，集合Ax|34答案x|x3或x47已知全集U0,1,2,3,4，集合A1,2,3，B2,4，则(UA)B为_解析由U0,1,2,3,4，A1,2,3，得UA0,4，因为B2,4，所以(UA)B0,2,4答案0,2,48设全集U0,1,2,3，集合Ax|x2mx0，若UA1,2，则实数m_.解析U0,1,2,3，UA1,2，A0,3，故m3.答案3三、解答题9设集合A
15、x|5x3，Bx|x4，求AB，(RA)(RB)解ABx|5x3x|x4x|5x2，RAx|x3，RBx|2x4(RA)(RB)x|x3x|2x4x|x5或x210已知集合Ax|2a2xa，Bx|1x2，且ARB，求a的取值范围解RBx|x1或x2，因为ARB，所以分A和A两种情况讨论若A，此时有2a2a，所以a2.若A，则有或所以a1.综上所述，a1或a2.综合运用11已知全集UR，集合Ax|2x3，Bx|x4，那么集合(UA)(UB)等于()Ax|3x4 Bx|x3或x4Cx|3x4 Dx|1x3解析UAx|x3，UBx|2x4，(UA)(UB)x|3x4，故选A.答案A12已知M，N为集
16、合I的非空真子集，且M，N不相等，若N(IM)，则MN等于()AM BN CI D解析因为N(IM)，所以NM(如图)，所以MNM.答案A13已知集合A1,3，x，B1，x2，若B(UB)A，则UB_.解析因为B(UB)A，所以AU.当x23时，x，B1,3，UB或当x2x时，x0或1.当x0时，B0,1，UB3；而当x1时不合题意，舍去答案或或314已知R为实数集，集合Ax|1x2，若B(RA)R，B(RA)x|0x1或2x3，则集合B_.解析Ax|1x2，RAx|x2又B(RA)R，A(RA)R，可得AB.而B(RA)x|0x1或2x3，x|0x1或2x3B.借助于数轴可得BAx|0x1或2x3x|0x3答案x|0x315已知集合Ax|2x7，Bx|3x10，Cx|xa(1)求AB，(RA)B；(2)若AC，求a的取值范围解(1)因为Ax|2x7，Bx|3x10，所以ABx|2x10因为Ax|2x7，所以RAx|x2或x7，则(RA)Bx|7x10(2)因为Ax|2x7，Cx|x2，所以a的取值范围是a|a2
Copyright@ 2020-2024 m.ketangku.com网站版权所有