1、第1课时集合的概念1了解集合与元素的含义2理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题3理解集合与元素的关系4掌握数学中一些常见的集合及其记法1元素与集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，表示(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，表示(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的2元素的特性(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了简记为“确定性”(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的也就是说
2、，集合中的元素是不重复出现的简记为“互异性”(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的简记为“无序性”温馨提示：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么集合中的元素可以是数、点，也可以是一些人或一些物3元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA温馨提示：(1)符号“”“”刻画的是元素与集合之间的关系对于一个元素a与一个集合A而言，只有“aA”与“aA”这两种结果(2)和具有方向性，左边是元素，右边
3、是集合，形如R0是错误的4常用的数集及其记法1某中学2019年高一年级20个班构成一集合(1)高一(3)班、高一(2)班是这个集合的元素吗？(2)高二(3)班是这个集合中的元素吗？答案(1)是(2)不是2判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)本班的高个子同学组成集合()(2)联合国常任理事国组成集合()(3)由1,2,2,4,1组成的集合有五个元素()(4)由a，b，c组成的集合与由b，a，c组成的集合是同一个集合()答案(1)(2)(3)(4)题型一 集合的基本概念【典例1】判断下列每组对象的全体能否构成一个集合？(1)接近于2019的数；(2)大于2019的数；(3)育才中学高一(1
4、)班视力较好的同学；(4)方程x220在实数范围内的解；(5)函数yx2图象上的点思路导引构成集合的关键是要有明确的研究对象，即元素不能模糊不清、模棱两可解(1)(3)由于标准不明确，故不能构成集合；(2)(4)(5)能构成集合对集合含义的理解给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，所谓“确定”，是指所有被“研究的对象”都是这个集合的元素，没有被“研究的对象”都不是这个集合的元素针对训练1下列所给的对象能构成集合的是_(填序号)所有的正三角形；比较接近1的数的全体；某校高一年级16岁以下的学生；平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的全体；我校教职员工中的年轻人；的近似值的全体解
5、析能构成集合，其中的元素需满足三条边相等；不能构成集合，因为“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；能构成集合，其中的元素是“某校高一年级16岁以下的学生”；能构成集合，其中的元素是“平面直角坐标系内到原点距离等于1的点”；不能构成集合，因为“年轻”的标准是模糊的、不确定的，故不能构成集合；不能构成集合，因为“的近似值”不明确精确到什么程度，所以不能构成集合答案题型二 元素与集合的关系【典例2】(1)下列关系中，正确的有()R；Q；|3|N；|Q.A1个 B2个 C3个 D4个(2)集合A中的元素x满足N，xN，则集合A中的元素为_思路导引判断一个元素是否为某集合的元素，关
6、键是抓住集合中元素的特征解析(1)是实数；是无理数；|3|3，是自然数；|，是无理数故正确，选C(2)当x0时，2；当x1时，3；当x2时，6；当x3时不符合题意，故集合A中元素有0,1,2.答案(1)C(2)0,1,2判断元素与集合关系的2种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征针对训练2已知集合A中有四个元素0,1,2,3，集合B中有三个元素0,1,2，且元素aA，aB，则a的值为()A0 B1 C2 D3解析a
7、A，aB，由元素与集合之间的关系知，a3.答案D3用适当的符号填空：已知集合A中的元素x是被3除余2的整数，则有：17_A；5_A解析由题意可设x3k2，kZ，令3k217得，k5Z.所以17A令3k25得，kZ.所以5A答案题型三 集合中元素的特性【典例3】已知集合A含有两个元素a和a2，若1A，则实数a的值为_思路导引由集合中元素的确定性和互异性切入解析若a1，则a21，此时集合A中两元素相同，与互异性矛盾，故a1；若a21，则a1或a1(舍去)，此时集合A中两元素为1,1，故a1.综上所述a1.答案1变式(1)本例若将条件“1A”改为“2A”，其他条件不变，求实数a的值(2)本例若去掉条
8、件“1A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？解(1)若a2，则a24，符合元素的互异性；若a22，则a或a，符合元素的互异性所以a的取值为2，.(2)根据集合中元素的互异性可知，aa2，所以a0且a1.应用集合元素的特性解题的要点(1)集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么(2)构成集合的元素必须是确定的(确定性)，而且是互不相同的(互异性)，在书写时可以不考虑先后顺序(无序性)(3)利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用针对训练4已知集合A由三个元素m，m21,1
9、组成，若2A，求实数m的值解2A，m2或m212，则m2或m1.当m2时，集合A中的元素为：2,5,1，符合题意；当m1时，集合A中的元素为：1,2,1，不满足互异性，舍去；当m1时，集合A中的元素为：1,2,1，符合题意综上知，m2或m1.课堂归纳小结 1判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看研究对象是否确定若研究对象不确定，则不能构成集合2集合中的元素是确定的，某一元素a要么满足aA，要么满足aA，两者必居其一这也是判断一组对象能否构成集合的依据3集合中元素的三种特性：确定性、互异性、无序性求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性.1已知aR，且aQ，则a可以为()A
10、BC2 D解析是无理数，所以Q，R.答案A2若由a2,2019a组成的集合M中有两个元素，则a的取值可以是()Aa0 Ba2019Ca1 Da0或a2019解析若集合M中有两个元素，则a22019a.即a0，且a2019.故选C答案C3下列各组对象能构成集合的有()接近于0的实数；小于0的实数；(2019,1)与(1,2019)；1,2,3,1.A1组 B2组 C3组 D4组解析中“接近于0”不是一个明确的标准，不满足集合中元素的确定性，所以不能构成集合；中“小于0”是一个明确的标准，能构成集合；中(2019,1)与(1,2019)是两个不同的对象，是确定的，能构成集合，注意该集合有两个元素；
11、中的对象是确定的，可以构成集合，根据集合中元素的互异性，可知构成的集合为1,2,3答案C4若方程ax2ax10的解构成的集合中只有一个元素，则a为()A4 B2 C0 D0或4解析当a0时，方程变为10不成立，故a0不成立；当a0时，a24a0，a4，故选A答案A5下列说法正确的是_及第书业的全体员工形成一个集合；2019年高考试卷中的难题形成一个集合；方程x210与方程x10所有解组成的集合中共有3个元素；x，|x|形成的集合中最多有2个元素解析及第书业的全体员工是一个确定的集体，能形成一个集合，正确；难题没有明确的标准，不能形成集合，错误；方程x210的解为x1，方程x10的解为x1，由集
12、合中元素的互异性知，两方程所有解组成的集合中共有2个元素1，1，故错误；x，|x|，故正确答案课后作业(一)复习巩固一、选择题1下列说法正确的是()A某班中年龄较小的同学能够形成一个集合B由1,2,3和，1，组成的集合不相等C不超过20的非负数组成一个集合D方程(x1)(x1)20的所有解构成的集合中有3个元素解析A项中元素不确定B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等D项中方程的解分别是x11，x2x31.由互异性知，构成的集合含2个元素答案C2已知集合A由x1的数构成，则有()A3A B1AC0A D1A解析很明显3,1不满足不等式，而0，1满足不等式答案C3下列
13、各组中集合P与Q，表示同一个集合的是()AP是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合BP是由构成的集合，Q是由3.14159构成的集合CP是由元素1，构成的集合，Q是由元素，1，|构成的集合DP是满足不等式1x1的自然数构成的集合，Q是方程x21的解集解析由于C中P、Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而A、B、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合故选C答案C4已知集合A含有三个元素2,4,6，且当aA，有6aA，则a为()A2 B2或4 C4 D0解析若a2A，则6a4A；或a4A，则6a2A；若a6A，则6a0A故选B答案B5由实数a，a，|a|，所组成的集合
14、最多含有的元素个数是()A1 B2 C3 D4解析当a0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a0时，|a|所以一定与a或a中的一个一致故组成的集合中有两个元素故选B答案B二、填空题6给出下列关系： Z；R；|5|N；|Q；R.其中，正确的个数为_解析由Z，R，Q，N的含义，可知正确，不正确故正确的个数为2.答案27由a2,2a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a满足的条件是_解析由元素的互异性，得即a2，且a1.答案a2且a18若集合A中含有三个元素a3,2a1，a24，且3A，则实数a的值为_解析若a33，则a0，此时A中元素为3，1，4，满足题意若2a13，则a1，
15、此时A中元素为4，3，3，不满足元素的互异性若a243，则a1.当a1时，A中元素为2,1，3，满足题意；当a1时，由知不合题意综上可知：a0或a1.答案0或1三、解答题9已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若AB，求实数x，y的值解因为集合A，B相等，则x0或y0.当x0时，x20，B中元素为0,0，不满足集合中元素的互异性，故舍去当y0时，xx2，解得x0或x1.由知x0应舍去综上知：x1，y0.10设集合A中含有三个元素3，x，x22x.(1)求实数x应满足的条件；(2)若2A，求实数x.解(1)由集合中元素的互异性可知，x3.且xx22x，x22x3.解之得x
16、1，且x0，x3.(2)由2A，知x2或x22x2，当x2时，x22x(2)22(2)8.此时A中含有三个元素3，2,8满足条件当x22x2，即x22x20时，(2)2412480，故方程无解，显然x22x2.综上，x2.综合运用11下面有四个命题：集合N中最小的数是1；若a不属于N，则a属于N；若aN，bN，则ab的最小值为2；x212x的解构成的集合有两个元素其中正确命题的个数为()A0个 B1个 C2个 D3个解析最小的数应该是0；反例：0.5N，且0.5N；当a0，b1时，ab1；因为元素的互异性，故集合中有一个元素答案A12若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这
17、个四边形可能是()A梯形 B平行四边形C菱形 D矩形解析由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等答案A13已知集合P中元素x满足：xN，且2xa，又集合P中恰有三个元素，则整数a_.解析xN,2xa，且集合P中恰有三个元素，整数a为6.答案614若集合A中有三个元素1，ab，a；集合B中有三个元素0，b.若集合A与集合B相等，则ba的值为_解析由题意可知ab0且a0，ab，1.a1，b1，故ba2.答案215集合A中共有3个元素4,2a1，a2，集合B中也共有3个元素9，a5,1a，现知9A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说明理由解9A，2a19或a29，若2a19，则a5，此时A中的元素为4,9,25；B中的元素为9,0，4，显然4A且4B，与已知矛盾，故舍去若a29，则a3，当a3时，A中的元素为4,5,9；B中的元素为9，2，2，B中有两个2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去当a3时，A中的元素为4，7,9；B中的元素为9，8,4，符合题意综上所述，满足条件的a存在，且a3.