1、第二节 函数的单调性与最值 1.增函数、减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI,如果对于任意 x1,x2D,且x1x2,则有:(1)f(x)在区间D上是增函数_.(2)f(x)在区间D上是减函数_.f(x1)f(x2)2.单调性、单调区间 若函数y=f(x)在区间D上是_或_，则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，_叫做y=f(x)的单调区 间 增函数 减函数 区间D 3函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在MR 满足 条件 对于任意的xI,都有_ 存在x0I,使得_ 对于任意的xI,都有_ 存在x0I,使得 _ 结论 M是f(x)的_值 M是f
2、(x)的_值 f(x)M f(x)M f(x0)=M f(x0)=M 最大 最小 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)函数 的单调递减区间是(-,0)(0,+).()(2)对于函数f(x),xD,若x1,x2D且(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,则函数f(x)在D上是增函数.()(3)函数y=|x|是R上的增函数.()(4)函数y=f(x)在1,+)上是增函数,则函数的单调递增区 间是1,+).()1yx【提示】(1)错误.当x1=-1,x2=1时,x1x2,但f(x1)f(x2),因 此(-,0)(0,+)不是函数的单调递减区间.(2)正确.(x1-x2)f(x1)-
3、f(x2)0 或 因此函数f(x)是增函数.(3)错误.函数y=|x|在(-,0)上是减函数,在(0,+)上是增函 数.(4)错误.1,+)是单调递增区间的子集.答案:(1)(2)(3)(4)1212xx0,f xf x0,1212xx0,f xf x0,1.如果二次函数f(x)=3x2+2(a-1)x+b在区间(-,1)上是减函数,则()(A)a=-2 (B)a=2 (C)a-2 (D)a2【解析】选C.二次函数的对称轴是 由题意知 解得a-2.a1x,3 a11,32.函数f(x)中，满足“对任意x1，x2(0，)，当x1x2 时，都有f(x1)f(x2)”的是()(A)(B)f(x)(x
4、-1)2(C)f(x)ex (D)f(x)ln(x1)【解析】选A.由题意知要求函数f(x)在(0，)上是减函数,故选A.1f xx3.函数y=(2k+1)x+b在R上是减函数,则k的取值范围是_.【解析】由题意知2k+10,答案:4.f(x)=x2-2x,x-2,3的单调递增区间为_,f(x)max=_.【解析】f(x)=(x-1)2-1,故f(x)的单调递增区间为1,3,f(x)max=f(-2)=8.答案:1,3 8 1k.21(,)2 考向 1 确定函数的单调性或单调区间【典例1】(1)(2013南京模拟)函数f(x)=log2(x2-4)的单调 递减区间为_.(2)试讨论函数 的单调
5、性(其中a0).【思路点拨】(1)根据复合函数的单调性求解.(2)用定义法或导数法求解.2axf x,x(1,1)x1【规范解答】(1)由x2-40得x2或x-2,即函数f(x)的定义域为(-,-2)(2,+).令t=x2-4,因为y=log2t在t(0,+)上为增函数,t=x2-4在x(-,-2)上是减函数,所以函数f(x)=log2(x2-4)的单调递减区间为(-,-2).答案:(-,-2)(2)方法一(定义法):设x1,x2(-1,1)且x1x2,则f(x1)-f(x2)=-1x1x21,x2-x10,-1x1x21,x1x2+10,12211222221212axaxa(xx)(x x
6、1).x1x1(x1)(x1)2212x1 0,x1 0,21122212xxx x10.x1x1因此当a0时,f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2),此时函数在(-1,1)上为减函数;当a0时,f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2),此时函数在(-1,1)上为增函数.方法二(导数法)：当a0时,f(x)0.当a0时,f(x)在(-1,1)上为减函数;当a0时,f(x)在(-1,1)上为增函数.2222222a(x1)2axa(x1)fx(x1)(x1)【互动探究】若将本例题(1)中的函数改为 试求函数f(x)的 单调递减区间.【解析】函数f(x)的定义域为(-1,+),令
7、t=x+1,因为 在t(0,+)上是减函数,t=x+1在x(-1,+)上为增函数,所 以函数 的单调递减区间为(-1,+).12f xlogx1,12ylog t 12f xlog(x1)【拓展提升】1.函数单调性的四种判断方法(1)定义法.(2)图象法.(3)利用已知函数的单调性.(4)导数法.2.复合函数单调性的判断方法 复合函数y=f(g(x)的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.【变式备选】用定义法判断函数 在定义域上的单调性.【解析】由x2-10得x1或x-1,即函数的定义域为(-,-11,+).设x1x2,则 当x1,x2(-
8、,-1时,x1-x20,则f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),故函数在(-,-1上是减 函数.当 则f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),故函数在1,+)上是增函数.2yx1221212f xf xx1x1 2212121222221212xxxxxxx1x1x1x1 ，221212x10,x10,xx0,2212121212x,x1,),xx0,x10,x1 0,xx0,时考向 2 求函数的值域或最值【典例2】(1)(2013天津模拟)设函数 则f(x)的值域是()(A)(1,+)(B)0,+)(C)(D)(2,+)(2)用mina,b,c表示a,b,c三个数中的最
9、小值，设f(x)=min2x,x+2,10-x(x0),则f(x)的最大值为_.2g xx2 xR,g xx4,xg x,f xg xx,xg x,9,049,4 9,04【思路点拨】(1)明确自变量的取值范围,先求每一部分的函数值范围,再取并集求值域.(2)明确f(x)的意义,数形结合求f(x)的最大值.【规范解答】(1)选D.解xg(x)=x2-2得x2-x-20，则x-1 或x2.因此xg(x)=x2-2的解为：-1x2.于是 当x-1或x2时，当-1x2时，且f(-1)=f(2)=0，由以上可得f(x)的值域是 故选D.22xx2,x1x2,f xxx2,1x2,或 217f x(x)
10、224 219f x(x)24，9f x04 9,02,.4(2)由题意知函数f(x)是三个函数y1=2x，y2=x+2,y3=10-x中的较小者，作出三个函数在同一直角 坐标系下的图象(如图实线部分为 f(x)的图象)，可知A(4，6)为函数 f(x)图象的最高点，则f(x)max=6.答案:6【拓展提升】求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件
11、后用基本不等式求出最值.(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.【提醒】在求函数的值域或最值时,应先确定函数的定义域.【变式训练】(1)函数 在区间a,b上的最大值是1,最小值是 则a+b=_.【解析】易知f(x)在a,b上为减函数,答案:6 1f xx11,3 1f a1,1,a1111f b,.3b 13 即a2,ab6.b4,(2)设f(x)=x2-2ax(0 x1)的最大值为M(a),最小值为m(a),试求M(a)及m(a)的表达式.【解析】f(x)=x2-2ax=(x-a)2-a2,x0,1.当a0时,M(a)=f(1)=1-2a,m(a)=f(0
12、)=0.当 时,M(a)=f(1)=1-2a,m(a)=f(a)=-a2.当 时,M(a)=f(0)=0,m(a)=f(a)=-a2.当a1时,M(a)=f(0)=0,m(a)=f(1)=1-2a.10a21a12综上知,112a,a,2M a10,a.2 20,a0,m aa,0a1,12a,a1.考向 3 函数单调性的应用【典例3】(1)已知函数f(x)是定义在区间0,+)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足 的x的取值范围 是()1f 2x1f()3 1 21 21 21 2A()B)C()D)3 33 32 32 3，(2)(2013中山模拟)已知 满足对任意x1x2,都有 成立，那
13、么a的取值范 围是_.【思路点拨】(1)根据单调性列不等式组求解,注意定义域.(2)寻找f(x)是增函数满足的条件,列不等式组求解.x2a x1 x 1f xax1，1212f xf x0 xx【规范解答】(1)选D.由已知得 (2)对任意x1x2,都有 成立,函数f(x)是R上的增函数.答案:2x1012x13 ，12x.231212f xf x0 xx12a0,3a1,a2.2a2a1 1,3,2)2【拓展提升】1.含“f”号不等式的解法 首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x)f(h(x)的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)
14、的取值应在外层函数的定义域内.2.比较函数值大小的思路 比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.【变式训练】(1)(2013日照模拟)已知 是(-,+)上的减函数,那么a的取值范围是()(A)(0,1)(B)(C)(D)a3a1 x4ax 1,f xlog xx1，1(0,)31 1,)7 31,1)7【解析】选C.由题意知 即 a3a1 0,0a 1,3a114alog 1,1a,30a 1,1a7 ，11a.73(2)已知函数y=f(x)满足:f(x)=f(4-x)(xR),且在
15、2,+)上为增函数，则()(A)f(4)f(1)f(0.5)(B)f(1)f(0.5)f(4)(C)f(4)f(0.5)f(1)(D)f(0.5)f(4)f(1)【解析】选C.函数y=f(x)满足:f(x)=f(4-x)(xR),函数f(x)的图象关于x=2对称，f(1)=f(3),f(0.5)=f(3.5),又f(x)在2,+)上为增函数,f(4)f(3.5)f(3)，即f(4)f(0.5)f(1),故选C.【易错误区】忽略定义域致误【典例】(2013无锡模拟)已知函数 则满足不等式f(1-x2)f(2x)的x的取值范围是_.【误区警示】本题易出现以下错误 由f(1-x2)f(2x)得1-x
16、22x,忽视了1-x20导致解答失误.2x1,x0,f x1,x0,【规范解答】画出 的图象，由图象可知,若f(1-x2)f(2x)，则 即 得 答案:2x1,x0,f x1,x0 221x0,1x2x ，1x 112x12 ，x(1,21).(1,21)【思考点评】解决分段函数的单调性问题时,应高度关注以下几个方面(1)抓住对变量所在区间的讨论.(2)保证各段上同增(减)时,要注意左、右段端点值间的大小关系.(3)弄清最终结果取并还是交.1.(2013广州模拟)已知函数y=f(x)的图象关于x=1对称，且 在(1，+)上单调递增,设 b=f(2),c=f(3),则a,b,c的 大小关系为()
17、(A)cba (B)bac(C)bca (D)abc 1af(),2【解析】选B.由题意知f(x)=f(2-x),则 又f(x)在(1，+)上单调递增,即bac.115f()f(2)f(),2225f(2)f()f(3)2，2.(2013江门模拟)对a，bR，记max(a,b)=函数 f(x)=max(|x+1|,-x2+1)的最小值是_.【解析】由题意知函数f(x)是两个函数y1=|x+1|,y2=-x2+1中的较大者,作出两个函数 在同一直角坐标系中的图象,则f(x)的图象是图中的实线部分,由图象易 知f(x)min=0.答案:0 a,ab,b,ab,3.(2013中山模拟)设函数 的最小
18、值为2,则实数a的取值范围是_.【解析】当x1时,f(x)2,当x1时,f(x)a-1,由题意知,a-12,a3.答案:3,+)xxa,x 1,f x2,x1 4.(2012安徽高考)若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是3,+)，则a=_.【解析】作出函数f(x)=|2x+a|的图象，根据图象可得函数的单 调递增区间为 即 a=-6.答案:-6 a,),2a3,21.已知函数 则“-2a0”是“f(x)在 R上单调递增”的()(A)必要而不充分条件(B)充分而不必要条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 22xax1,x1,f xaxx1,x 1,【解析】选A.当a=0时,是R上的增函数;当a0时,要使函数f(x)是增函数,则必须满足 解得 综上知,函数f(x)是增函数的充要条件是 因此“-2a0”是“f(x)在R上单调递增”的必要而不充分条件.2x1,x1,f xx1,x 1 a1,2a0,11,2a1a0,2 1a0,22.定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x-2,2的最大值等于()(A)-1 (B)1 (C)6 (D)12【解析】选C.由已知得当-2x1时，f(x)x-2，当1x2时，f(x)x32.在-2,1,(1,2内为增函数,f(x)的最大值为f(2)23-26.3x2,2x1,f xx2,1x2