1、第2讲 三角变换与解三角形 专题三 三角函数、解三角形与平面向量 高考真题体验 热点分类突破 高考押题精练 栏目索引 高考真题体验 1 2 3 41.(2015重庆)若 tan 13，tan()12，则 tan 等于()A.17B.16C.57D.56解析 tan tan()tantan 1tantan 12131121317.A1 2 3 42.(2014福建)在ABC 中，A60，AC4，BC2 3，则ABC 的面积等于_.解析 如图所示，在ABC中，由正弦定理得 2 3sin 60 4sin B，解得 sin B1，所以 B90，所以 SABC12AB2 312422 322 32 3.
2、2 31 2 3 43.(2015重庆)在ABC 中，B120，AB 2，A 的角平分线 AD 3，则 AC_.解析 由正弦定理得ABsinADB ADsin B，即2sinADB3sin 120，解得 sinADB 22，ADB45，1 2 3 4从而BAD15DAC，所以 C1801203030，AC2ABcos 30 6.答案 61 2 3 44.(2015重庆)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2，cos C14，3sin A2sin B，则 c_.解析 由3sin A2sin B，得3a2b，b32a3223，在ABC中，由余弦定理，得c2a2b22abc
3、os C 223222314 16，解得 c4.4 考情考向分析 正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算；2.三角形形状的判断；3.面积的计算；4.有关的范围问题.由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视.热点一 三角恒等变换热点分类突破 1.三角求值“三大类型”“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”.2.三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin2cos2tan 45等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等；(3)降次与升次：正用二倍
4、角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦.例 1(1)已知 sin(3)sin 4 35，20，则 cos(23)等于()A.45B.35 C.45D.35解析 sin(3)sin 4 35，20，32sin 32 cos 4 35，32 sin 12cos 45，cos(23)cos cos23 sin sin2312cos 32 sin 45.答案 C(2)(2014课标全国)设(0，2)，(0，2)，且 tan 1sin cos ，则()A.32B.22C.32D.22解析 由 tan 1sin cos 得sin cos 1sin cos ，即sin cos cos
5、 cos sin，sin()cos sin(2).(0，2)，(0，2)，(2，2)，2(0，2)，由 sin()sin(2)，得 2，22.答案 B 思维升华(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况.(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解.跟踪演练 1(1)(2015重庆)若 tan 2tan 5，则cos310sin5等于()A.1
6、B.2C.3D.4 解析 cos310sin5sin2310sin5sin5sin5sin cos5cos sin5sin cos5cos sin5tan tan51tan tan5121213.答案 C(2)化简：1sin cos sin2cos222cos(0)_.解析 原式2sin2cos22cos22sin2cos24cos22cos2sin22cos22|cos2|cos2cos|cos2|.因为 0，所以 020，所以原式cos.答案 cos 热点二 正弦定理、余弦定理(1)正弦定理：在ABC 中，asin A bsin Bcsin C2R(R 为ABC 的外接圆半径).变形：a2
7、Rsin A，sin A a2R，abcsin Asin Bsin C 等.(2)余弦定理：在ABC 中，a2b2c22bccos A；变形：b2c2a22bccos A，cos Ab2c2a22bc.例2(2015课标全国)如图，在ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍.(1)求sin Bsin C；解 SABD12ABADsinBAD，SADC12ACADsinCAD.因为SABD2SADC，BADCAD，所以AB2AC.由正弦定理可得sin Bsin CACAB12.(2)若 AD1，DC 22，求 BD 和 AC 的长.解 因为 SABDSADCBDDC
8、，所以 BD 2.在ABD和ADC中，由余弦定理知 AB2AD2BD22ADBDcosADB，AC2AD2DC22ADDCcosADC.故AB22AC23AD2BD22DC26，由(1)知AB2AC，所以AC1.思维升华 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.跟踪演练 2(1)(2015福建)在ABC 中，AC 3，A45，C75，则 BC_.解析 A45，C75，B60.由正弦定理 ACsin B BCsin A.BC ACsin B
9、sin A 332 22 2.2(2)(2014江西)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是a，b，c.若 c2(ab)26，C3，则ABC 的面积是()A.3 B.9 32 C.3 32D.3 3解析 c2(ab)26，c2a2b22ab6.C3，c2a2b22abcos 3a2b2ab.由得ab6.SABC12absin C126 32 3 32.C热点三 解三角形与三角函数的综合问题解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状.例 3(2015山东)设 f(x)sin xcos xcos2x4.(1)求f(x)的单调区间；解
10、由题意知 f(x)sin 2x21cos2x22sin 2x21sin 2x2sin 2x12.由22k2x22k，kZ，可得4kx4k，kZ；由22k2x32 2k，kZ，可得4kx34 k，kZ.所以 f(x)的单调递增区间是4k，4k(kZ)；单调递减区间是4k，34 k(kZ).(2)在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 fA2 0，a1，求ABC 面积的最大值.解 由 fA2 sin A120，得 sin A12，由题意知 A 为锐角，所以 cos A 32.由余弦定理a2b2c22bccos A，可得 1 3bcb2c22bc，即 bc2 3，且当 bc
11、时等号成立.因此12bcsin A2 34.所以ABC 面积的最大值为2 34.思维升华 解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求.跟踪演练 3 已知函数 f(x)cos2x2 3sin xcos xsin2x.(1)求f(x)的最小正周期和值域；解 f(x)cos2x2 3sin xcos xsin2x 3sin 2xcos 2x2sin(2x6)，所以T，f(x)2,2.(2)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若f(A2)2 且 a2bc，试判断ABC 的形状.解 因为 f(A2)2sin(A6)2
12、，所以 sin(A6)1.因为 0A0)的最小正周期为23.(1)求的值；(2)在ABC中，sin B，sin A，sin C成等比数列，求此时f(A)的值域.1 2押题依据 三角函数和解三角形的交汇点命题是近几年高考命题的趋势，本题综合考查了三角变换、余弦定理和三角函数的值域，还用到数列、基本不等式等知识，对学生能力要求较高.解(1)f(x)32 sin 2x12(cos 2x1)sin(2x6)12，因为函数 f(x)的周期为 T2223，所以 32.1 2(2)由(1)知 f(x)sin(3x6)12，易得 f(A)sin(3A6)12.因为sin B，sin A，sin C成等比数列，所以sin2Asin Bsin C，所以a2bc，所以 cos Ab2c2a22bcb2c2bc2bc2bcbc2bc12(当且仅当bc 时取等号)，1 2因为 0A，所以 0A3，所以63A656，所以12sin(3A6)1，所以1sin(3A6)1212，所以函数 f(A)的值域为(1，12.谢谢观看 更多精彩内容请登录：
