1、广西南宁市第三中学2020-2021学年高二数学12月月考试题 理一、单选题，共12题，每题5分，共60分。请把答案填涂到答题卡相应位置。1已知集合，则中有几个元素（ ）A1B2C3D42焦点坐标为，长轴长为10，则此椭圆的标准方程为（ ）ABCD3“”是“”的 （ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件4从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）A至少有一个红球与都是红球 B至少有一个红球与都是白球C恰有一个红球与恰有二个红球 D至少有一个红球与至少有一个白球5若曲线表示椭圆，则k的取值范围是A B CD或6若点P在椭圆上，、
2、分别是椭圆的两焦点，且，则的面积是（ ）ABC1D27某种饮料每箱6听，其中2听不合格，随机从中抽出2听，检测到不合格的概率为（ ）ABCD8在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆上的一个动点，点，则|PA|PB|的最大值为( )A2B3C4D59在面积为S的内部任取一点P，则面积大于的概率为（ ）A B C D10若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则的最大值为（ ） A5 B6C7D811已知点是椭圆上任意一点，则点到直线:的最大距离为（ ）ABCD12. 已知（）是椭圆的左、右顶点，是椭圆上任意一点，且直线的斜率分别为，（0），若的最小值为，则椭圆的离心率为（ ）
3、A B C D二、填空题，共4题，每题5分，共20分。请在答题卡相应位置上作答。13点M(x，y)在运动过程中，总满足关系式，点M的轨迹方程为_.14如图表所示，生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）之间的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程，那么表中的值为_x3456y2.5m44.515. 椭圆与直线交于两点，若原点与线段的中点连线的斜率为，则的值是_16.已知椭圆的右焦点为，存在经过点的一条直线交椭圆于两点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是_三、解答题，共6题，共70分。请在答题卡相应位置上作答，应写出必要的解题过程。17（本题满分10分）某中
4、学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85（1）计算甲班7位学生成绩的方差；（2）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班、乙班各一人的概率18（本题满分12分）在中，.（I）求的大小；（II）求的最大值19.（本题满分12分）设数列的前项和为已知.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和。20（本题满分12分）已知点和,且,动点满足，记动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设不经过点的直线与曲线相交于两点,若直线与的斜率之和为1,求实数的值.21（本题满分12分）如图所示，四棱锥中，底面
5、为菱形，且平面，是中点，是上的点.（1）求证：平面平面；（2）若是的中点，当时，是否存在点，使直线与平面的所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.22.（本题满分12分）已知椭圆：若直线与椭圆相交于两点，且（1）求证：的面积为定值（2）在椭圆上是否存在一点，使四边形为平行四边形，若存在，求出的取值范围，若不存在说明理由.南宁三中20202021学年度上学期高二月考（三）理科数学试题答案1B 由题,联立,消去得,则,即椭圆与直线有两个交点,所以中有2个元素,故选:B2C 因为长轴长为，故长半轴长，因为半焦距，故，又焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为 ，故选C3A 当时，故“”是
6、“”的充分不必要条件4C 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：3个球全是红球；2个红球和1个白球；1个红球2个白球；3个全是白球.选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；选项D中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；选项C中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有2个红球”互斥不对立，故选C.5D 由题设可得，解得，故选D6C 设，利用椭圆的定义和勾股定理有：，则：的面积.本题选择C选项.7B 设6听饮料中的2听不合格饮料
7、为、，其余4听合格饮料为、，从中任取2听的所有可能事件为：、共15种，其中有不合格饮料的所以可能事件为：、共9种，则检测到不合格的概率，故选：B.8D 椭圆方程为，焦点坐标为和，连接，根据椭圆的定义，得，可得，因此 .当且仅当点P在延长线上时，等号成立.综上所述，可得的最大值为5.故选D.9D 记事件,基本事件是三角形ABC的面积,(如图)事件A的几何度量为图中阴影部分的面积（并且），因为阴影部分的面积是整个三角形面积的,所以，故选D10 B 由椭圆方程得F(1,0)，设P(x0，y0)，则(x0，y0)(x01，y0)x0P为椭圆上一点，1.x03x03(x02)22.2x02.的最大值在x
8、02时取得，且最大值等于6.11A 设直线与椭圆相切，由得，切线方程为和，与距离较规远的是，最大距离为故选：A.12C 设 ， ，由题意可得：所以.解2：利用中点弦的性质，所以 ，所以，答案C.13 M到(-1，0)与(1,0)的距离之和为6，又(-1，0)，(1,0)两点间的距离为2，所以其轨迹是以(-1，0)，(1,0)为焦点的椭圆，c1，a3，b28.故点M的轨迹方程为。143 样本中心点过线性回归方程，由表格知，代入方程可得，则有，可得故本题应填15 设，则相减化简得，设，则，因为，即.16. 设椭圆的右焦点的坐标为显然不是水平直线，设直线的方程为，点的坐标分别为，将直线的方程与椭圆方
9、程联立，消去得 由韦达定理 ， ，因为等价于，故由上式可知，存在满足条件的直线，等价于存在实数，使得, 显然存在满足等价于 又，所以等价于，两边除以得到,即由于，解得：17 （1）甲班学生的平均分是85，则甲班7位学生成绩的方差为（2）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为，乙班成绩在90以上的学生有三名，分别记为从这五名学生中任意抽取两名学生共有10种情况：，其中两人均来自甲班（或乙班）共有4种情况：，记“甲班、乙班各一人”为事件，则，所以，从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班、乙班各一人的概率为18 （）在ABC中，由正弦定理可得a2+c2=b2+aca2+c2-b2=ac
10、，cosB=，又BB=；（）由（I）得：C=-A，cosA+cosC =cosA+cos（-A）=cosA-cosA+sinA=cosA+sinA=sin（A+），A（0，），A+（，），故当A+=时，sin（A+）取最大值1，即c cosA+cosC的最大值为119（1）当时， ，. . ，. 数列是以为首项，公比为的等比数列. . （2）由（1）得， 当时， .20【详解】（1）设.，,即., 曲线的方程 （2）设M（x1，y1），N（x2，y2）.联立，消去y，得.由，可得.又直线y=2x+t不经过点H（0，1），且直线HM与HN的斜率存在，则且，由，解得，的值为3.21. （1）连接，因为底面为菱形，所以是正三角形，是的中点，又， 平面，平面，又平面，又平面，所以平面平面 （2）以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，不妨设，则，则，设，则，又，设是平面的一个法向量，则 ，取，得，设直线与平面所成角为，由，得： 化简得：，解得或，故存在点满足题意，此时为或22. 解：（1）设，则的坐标满足消去化简得， ， ，得 =。，即即=到直线的距离= . （2）若存在平行四边形使在椭圆上，则设，则， 由于在椭圆上，所以，从而化简得简得（1），由知 （2）解（1）（2）知无解，故不存在在椭圆上的平行四边形.