1、试卷第 1 页，总 4 页 横峰中学 2020-2021 学年度第二学期期中测试高二数学（理科）试题卷 考试时间：120 分钟；命题人：胡雅丽 审题人：宋争丁 第 I 卷（选择题）一、单选题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。）1已知复数 z 满足21zii=+，则 z=（）A 3i B 3i+C3i+D3i 2下列各式中正确的是（）A(logax)1x=B(logax)=ln10 x C(3x)=3x D(3x)=3xln3 3已知命题21:,04pxR xx+，则 p为（）A21,04xR xx+B21,04xR xx+C21,04xR xx+D21,04xR xx+4函数()
2、3f xaxbx=+在1xa=处有极值，则ab 的值为（）A2 B 2 C3 D 3 5已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1-111234+1-1n=2111242nnn+时，若已假设 n=k(k2，k 为偶数)时命题成立，则还需要用归纳假设证（）An=k+1 时等式成立 Bn=k+2 时等式成立 Cn=2k+2 时等式成立 Dn=2(k+2)时等式成立 6已知,a b 为实数，i 为虚数单位，则“复数abi+为纯虚数”是“0a=”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7.已知()2,1,2a=，()2,2,1b=，则以,a b 为邻边的平行四边形的
3、面积为（）A65 B652 C4 D8 8已知直线l 过定点()2,3,1A，且方向向量为0,1,1s，则点4,3,2P到l 的距试卷第 2 页，总 4 页 离为（）A 3 22 B22 C 102 D2 9平面区域C 是由 yx=，4x=以及 x 轴围成的封闭图形，图中阴影部分是由yx=和直线2xy=围成的，现向区域C 内随机投掷一点 P，则点 P 落在阴影区域内的概率为（）A 14 B 13 C 23 D 34 10函数()2eexxf xx=的图像大致为（）A B C D 11在三棱锥 PABC中，PA，AB，AC 两两垂直，D 为棱 PC 上一动点，2PAAC=，3AB=.当 BD 与
4、平面 PAC 所成角最大时，AD 与平面 PBC 所成角的正弦值为（）A 1111 B 2 1111 C 3 1111 D 4 1111 12已知函数222,0,()ln(1),0,xxxf xxx=+若关于 x 的不等式1()2f xaxa+在 R上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A12e,2 B122,e C12e,6 D12e,6试卷第 3 页，总 4 页 第 II 卷（非选择题）二、填空题（共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13已知复数 zm(m21)i(mR)，满足 z0，则 m_.14若“0,tan4xxm”是真命题，则实数m 的最小值为_.15函数()lnxf xx=的
5、减区间为_ 16 如图，已知正方体1111ABCDA B C D的棱长为 1，E，F，G 分别是棱111,AA BC C D 的中点，设 M 是该正方体表面上的一点，若(,)EMxEFyEG x y=+R，则点 M 的轨迹所形成的长度是_ 三、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分）17.（1）求导函数()2ln2xxf xx+=（2）求定积分3239x dx 18已知命题 p:存在 xR，使210 xax+成立.（1）若命题 p 为真命题，求实数 a 的取值范围;（2）命题 q:对任意实数 x0，2，都有220 xxa恒成立.如果命题 p，q 都是假命题，求实数 a 的取值范围.19
6、如图在边长是 2 的正方体1111ABCDA B C D中，E，F 分别为 AB，1AC 的中点 （1）求异面直线 EF 与1CD 所成角的大小（2）证明：EF 平面1ACD 试卷第 4 页，总 4 页 20数列 na满足：116a=，前n 项和()12nnn nSa+=.（1）求2a，3a，4a；（2）猜想数列 na的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.21如图，在直角梯形 ABCD 中，AB/DC，ABC=90，AB=2DC=2BC，E 为 AB 的中点，沿 DE 将ADE 折起，使得点 A 到点 P 位置，且 PEEB，M 为 PB 的中点，N是 BC 上的动点(与点 B，C 不重合)
7、.（1）求证：平面 EMN平面 PBC；（2）是否存在点 N，使得二面角 BENM 的余弦值66？若存在，确定 N 点位置；若不存在，说明理由.22已知函数()lnf xx=.（1）若1()1xaf xe 恒成立，求实数a 的值；（2）若关于 x 的方程2()ln0mf xxmx+=有四个不同的实数根，则实数m 的取值范围.答案第 1 页，总 14 页 参考答案 1D【分析】等式两边同时乘以1 i，表示复数 z，然后利用复数的乘除运算法则计算则可求出复数 z.【详解】解：因为21zii=+，所以()()22122+3zi iiiii+=.故选：D.2D【分析】根据求导公式直接可判断.【详解】由
8、(logax)=1lnxa，可知 A，B 均错；由(3x)=3xln3 可知 D 正确.故选：D 3B【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“21:,04pxR xx+”的否定为：“21:,04pxR xx+”.故选：B 4D【分析】求出函数的导函数,根据极值点处的导数为零,即可求得 ab 的长.【详解】()23fxaxb=+,由21130fabaa=+=,可得3ab=.故选:D.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值问题,属基础题,主要根据极值点的必要条件求解即可.答案第 2 页，总 14 页 5B【分析】直接利用数学归纳
9、法的证明方法，判断选项即可【详解】解：由数学归纳法的证明步骤可知，假设(2)nk k=为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证下一个偶数，即2nk=+时等式成立，不是1nk=+，因为k 是偶数，1k+是奇数，故选：B 6A【分析】根据纯虚数的定义，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.【详解】当复数abi+为纯虚数时，一定有0a=且0b，所以由复数abi+为纯虚数能推出0a=，但是由0a=不一定能推出复数abi+为纯虚数，例如当0ab时，复数 abi+为零，不是纯虚数，因此“复数abi+为纯虚数”是“0a=”的充分不必要条件，故选：A 7.A【分析】首先计算两个向量的夹角的余弦值，再转化为正
10、弦值，利用面积公式计算.【详解】解析：设向量,a b 的夹角为，()2222123a=+=，2222213b=+=，于是cos=4223 3+49由此可得65sin9=所以以,a b 为邻边的平行四边形的面积为16523 36529S=.故选：A 8A【分析】答案第 3 页，总 14 页 本题首先可根据题意得出 AP，然后求出 AP 与sAPs，最后根据空间点到直线的距离公式即可得出结果.【详解】因为()2,3,1A，4,3,2P，所以2,0,1AP，则5AP，22sAPs，由点到直线的距离公式得223 22=sdAPAPs，故选：A.9A【分析】由定积分计算区域C 的面积163S=，进而得阴
11、影面积为164433=，再根据几何概型计算即可得答案.【详解】区域C 的面积433422002216d40333Sx xx=，而由直角三角形的面积等于 4 可知，阴影面积为164433=，因此点 P 落在阴影区域内的概率为 4161334=.故选：A.【点睛】本题考查几何概型，定积分求面积，考查运算求解能力，是基础题.本题解题的关键在于求区域C 的面积，即用定积分40dSx x=表示.答案第 4 页，总 14 页 10.B【分析】通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.【详解】详解：20,()()()xxeexfxf xf xx=为奇函数，舍去 A,1(1)0fee=舍去 D;()()()
12、()()()243222,2,0 xxxxxxeexeexxexefxxfxxx+=，所以舍去 C；故选：B.【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路：由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势；由函数的奇偶性，判断图象的对称性；由函数的周期性，判断图象的循环往复 11C【分析】首先利用线面角的定义，可知当 D 为 PC 的中点时，AD 取得最小值，此时 BD 与平面PAC 所成角最大，再以点 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，利用向量坐标法求线面角的正弦值.【详解】,ABAC ABPA，且 PAACA
13、=，AB 平面 PAC，易证 AB 平面 PAC，则 BD 与平面 PAC 所成角为ADB，3tanABADBADAD=，当 AD 取得最小值时，ADB取得最大值 答案第 5 页，总 14 页 在等腰 Rt PAC中，当 D 为 PC 的中点时，AD 取得最小值.以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则(0,0,0)A，(3,0,0)B，(0,2,0)C，(0,0,2)P，(0,1,1)D，则(0,1,1)AD=，(0,2,2)PC=，(3,2,0)BC=设平面 PBC 的法向量为(,)nx y z=，则0n PCn BC=，即 220320yzxy=+=令3y=，得(2
14、,3,3)n=.因为333 11cos,11222n AD+=，所以 AD 与平面 PBC 所成角的正弦值为 3 1111.故选：C【点睛】关键点点睛：本题重点考查线面角，既考查了几何法求线面角，又考查向量法求线面角，本题关键是确定点 D 的位置，首先利用线面角的定义确定点 D 的位置，再利用向量法求线面角.12A【分析】不等式1()2f xaxa+在 R 上恒成立的两个临界状态是12yaxa=+与ln(1)(0)=+yxx相切和与222(0)yxxx=相切时，故求两种状态下的a 值，即答案第 6 页，总 14 页 可得a 的取值范围【详解】画出函数()f x 的图像如图所示.1()2f xa
15、xa+在 R 上恒成立即函数()yf x=的图像恒在直线12yaxa=+的图像的下方，且直线12yaxa=+过定点11,2，当直线与ln(1)(0)=+yxx相切时，设切点()()00,ln1P xx+，11yx=+，可得()0001ln11211xxx+=+，解得120e1x=，则直线斜率为12e，即12ea=；当直线与222(0)yxxx=相切时，此时由21222axaxx+=，得23(2)02xaxa+=，令2(2)460aa=+=，得2a=或2a=（舍），所以由图像可知12e2a 故选：A【点睛】方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围
16、，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画答案第 7 页，总 14 页 出函数的图象，利用数形结合的方法求解 13 1 【分析】由0z 可得 m210，且 m0，解出即可.【详解】z0，m210，且 m0，m1.故答案为：1.141【分析】将全称命题转化为恒成立问题，简单判断和计算即可.【详解】若“0,tan4xxm ”是真命题，则m 大于或等于函数tanyx=在 0,4的最大值 因为函数tanyx=在 0,4上为增函数，所以函数tanyx=在 0,4上的最大值为
17、1，所以，m1，即实数m 的最小值为 1.故答案为：1 15()2(0,1),1,e【分析】求出导函数()fx，然后在定义域内解不等式()0fx得减区间【详解】因为12211ln2()ln(ln)xxxxxfxxx=，0 x 且1x，答案第 8 页，总 14 页 所以由()0fx可得1211ln02 xxx x，即2ln2lnxe=，解得20 xe且1x，故函数的单调递减区间为()2(0,1),1,e，故答案为：()2(0,1),1,e 163 2 【分析】首先确定点 M 的轨迹，再求长度.【详解】(,)EMxEFyEG x y=+R，M在平面 EFG 上，取11A D，AB，1CC 的中点,
18、N H P，则点 M 的轨迹是正六边形 EHFPGN，轨迹长度是正六边形的周长，63 2lEN=.故答案为：3 2 【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定 M 在平面 EFG 上，并能作出平面 EFG 与正方体的交线.17.（1）131 2ln22ln2xxxxx+；（2）令290 xy=，则 x2+y29（y0），323 9x dx表示的是上半圆 x2+y29（y0）的面积，3239 92x dx=答案第 9 页，总 14 页 18（1）(),22,+；（2）()2,0.【分析】（1）若命题 p 为真命题，即存在 xR，使210 xax+成立，由240a=即可求解；（2）由对任意实数 x0，2
19、，都有220 xxa恒成立，可得0a，再结合（1）即可得解.【详解】（1）若命题 p 为真命题，即存在 xR，使210 xax+成立，则240a=，解得：2a 或2a，故实数 a 的取值范围为(),22,+；（2）由对任意实数 x0，2，都有220 xxa恒成立，即22xxa在 x0，2上恒成立，可得2max(2)axx，所以0a，如果命题 p，q 都是假命题，结合（1）可得：220aa ，解得实数 a 的取值范围为()2,0.【点睛】本题考查了一元二次不等式的恒成立问题以及存在性问题，考查了命题的否定，有一定的 计算量，属于基础题.19（1）60；（2）证明见解析【分析】（1）通过建立空间直
20、角坐标系，利用111cos,EF CDEF CDEF CD=可得解；（2）利用10EF DA=和0EF DC=，可证得线线垂直，进而得线面垂直.【详解】答案第 10 页，总 14 页 据题意，建立如图坐标系于是：(0,0,0)D，1(2,0,2)A，(0,2,0)C，(2,1,0)E，(1,1,1)F，1(0,0,2)D(1,0,1)EF=，1(0,2,2)CD=，1(2,0,2)DA=，(0,2,0)DC=（1）()1111 0021 21cos,222 2EF CDEF CDEF CD +=，1,60EF CD=异面直线 EF 和1CD 所成的角为60 （2）11 20 0 1 20EF
21、DA=+=1EFDA，即1 EFDA1 00 2 1 00EF DC=+=，EFDC即 EFDC 又1DA，DC 平面1DCA 且1DADCD=EF 平面1ACD 20（1）2112a=,3120a=,4130a=,（2）1(1)(2)nann=+,证明见解析.【分析】（1）根据116a=，()12nnn nSa+=计算可得答案；答案第 11 页，总 14 页（2）根据2a，3a，4a，猜想可得1(1)(2)nann=+，再根据数学归纳法的步骤进行证明即可得解.【详解】（1）由222(2 1)2Sa+=得1223aaa+=，所以2111212aa=，由333(3 1)2Sa+=，得12336a
22、aaa+=，所以3120a=，由444(4 1)2Sa+=，得1234410aaaaa+=，所以4130a=，（2）由（1）知，11162 3a=，211123 4a=，311204 5a=，411305 6a=，所以猜想：1(1)(2)nann=+，证明：1当1n=时，112 3a=成立，2假设nk=时，等式成立，即1(1)(2)kakk=+，那么当1nk=+时，11kkkaSS+=1(1)(2)2kkka+(1)2kk ka+，所以113kkkaak+=+1113(1)(2)(2)(3)kkkkkk+=+，即1nk=+时，等式也成立，所以1(1)(2)nann=+.【点睛】本题考查了不完全
23、归纳法，考查了利用数学归纳法证明等式，属于基础题.21（1）证明见解析；（2）存在，N 为 BC 的中点.【分析】（1）根据题意，先证明 EM平面 PBC，再利用面面垂直的判定定理，证明结论；（2）以 E 为原点，EB，ED，EP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设 PE=EB=2，设 N(2，m，0)，求出平面 EMN 的法向量，利用夹角公式求出 m，得到结论.答案第 12 页，总 14 页【详解】解：（1）证明：由 PEEB，PEED，EBED=E，所以 PE平面 EBCD，又 BC平面 EBCD，故 PEBC，又 BCBE，故 BC平面 PEB，EM平面 PEB，故 EMBC，
24、又等腰三角形 PEB，EMPB，BCPB=B，故 EM平面 PBC，EM平面 EMN，故平面 EMN平面 PBC；（2）假设存在点 N，使得二面角 BENM 的余弦值66.以 E 为原点，EB ED EP，分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设 PE=EB=2，设 N(2，m，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，0，1)，(1,0,1)EM=，(2,0,0)EB=，(2,0)ENm=，设平面 EMN 的法向量为(,)px y z=，由.0.20m EMxzm ENxmy=+=+=，令 xm=，得(,2,)pmm=，平面 BEN 的一个法向
25、量为(0 01)n=，故()()222006cos,62001p nmp npnmm+=+，答案第 13 页，总 14 页 解得：m=1，故存在 N 为 BC 的中点.【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算 22（1）1a=；（2）01m.【分析】（1）由(1)0g=分析出1x=是()yg x=的极大值点，得出1a=，再说明1a=时恒有1()1xf xe 即可.（2）分类讨论，分析出0 x 时只有一个实根，对0 x 时，分析导函数等于零的解的情况，分三
26、种情况讨论零点的个数【详解】解析：（I）11()()1ln1xxg xaf xeaxe=+=+，1()xag xex=，又()(1)0g xg=，故1x=是()yg x=的极大值点，所以(1)10ga=，1a=；另一方面，当1a=时，11()xg xex=，(1)0g=，()g x 在区间(0,)+单调递减，故()g x 在(0,1)单调递增，(1,)+单调递减，所以()(1)0g xg=，1()1xf xe 恒成立（II）当0m 时，2()lnlnmh xxxmx=+，22222()1mxxmh xxxx+=，当0 x 时，()0h x，()h x 在区间(,0)单调递减，又()0hm=，故
27、()h x 在区间(,0)有唯一实根，若m 1，222(1)10 xxmxm+=+，当0 x 时，()0h x，()h x 在区间(0,)+单调递减，答案第 14 页，总 14 页 故()h x 在区间(0,)+至多有一个实根，不符合题意，若01m，令1x，2x（12xx）是方程220 xxm+=的两不同实根，则12122,xxx xm+=，则120 xx 故()h x 在区间1(0,)x，2(,)x+上单调递减，在区间12(,)x x上单调递增.2222111111111111112()lnlnlnln(2)22lnln(2)xxmh xxxmxxxxxxxxx+=+=+=+()22lnln
28、(2)xxxx=+（01x），2112(1)()202(2)xxxxxx=+=，()(1)0 x=，1()0h x，同理可证2()0h x.取2321(12)11xxmm=+=+，3331()210h xxxm+=.取241minln,4mxm=，2411142mmxxm=，4444444442211()2(ln)2(ln)0mxmh xxxxxxmxmx+=+.故()h x 在41(,)xx，12(,)x x，23(,)xx各存在一个零点，实数m 的取值范围是(0,1).【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理