1、临川第一中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 不等式的解集为（）A. x|x0或x3B. x|x-2或0x3C. x|x-2或x0D. x|-2x0或x32. 等比数列an各项均为正数，若a1=1，an+2+2an+1=15an，则an的前6项和为（）A. 364B. 63C. D. 3. 已知ab0，bc0，则直线ax+by=c通过（）A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限4. 不等式cx2+5x+a0的解集为，则a、c的值（）A. a=6，c=1B. a=-
2、6，c=-1C. a=1，c=1D. a=-1，c=-65. 已知数列an为等比数列，其中a5，a9为方程x2+2019x+9=0的二根，则a7的值（）A. -3B. 3C. 3D. 96. 已知直线2axby20(a0，b0)过点(1,2)，则的最小值是（）A. 2B. 3C. 4D. 17. 已知ABC中，且，则ABC是（）A. 正三角形B. 直角三角形C. 正三角形或直角三角形D. 直角三角形或等腰三角形8. 已知数列an满足an+2=an+1-an，且a1=2，a2=3，Sn为数列an的前n项和，则S2019的值为（）A. 0B. 2C. 5D. 69. 在ABC中，b=19，c=20
3、，B=60，那么这样的三角形有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个10. 在ABC中，A=60，b=1，SABC=，则的值等于（）A. B. C. D. 11. 在ABC中，tanA是以-4为第3项，4为第7项的等差数列的公差；tanB是以为第3项，9为第6项的等比数列的公比，则该三角形为（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形12. 已知数列an，bn，的前n项和分别为Sn，Tn，且an0，若kTx恒成立，则k的最大值为（）A. B. C. 9D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知ABC中，三边与面积的关系为，则cosC的值为_14.
4、 已知m0，则过点（1，-1）的直线ax+3my+2a=0的斜率为_15. 我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为_日（结果保留一位小数，参考数据：lg20.30，lg30.48）16. 在函数，中，最小值为2的函数的序号是_三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A是锐角，且（）求A的
5、度数；（）若b2+c2=89，ABC的面积为，求a的值18. 已知等比数列an的前n项和为Sn，（1）求数列an的通项公式an；（2）令bn=n-61+log2an，求数列bn的前n项和Tn19. 已知函数f（x）=x2-2x-3（1）解不等式f（x）0；（2）若对一切x1，不等式f（x）（m+2）x-m-15恒成立，求实数m的取值范围20. 已知数列an和bn中，数列an的前n项和记为Sn若点（n，Sn）在函数y=-x2+4x的图象上，点（n，bn）在函数y=2x的图象上（1）求数列an的通项公式；（2）求数列anbn的前n项和Tn21. 如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植果树，但
6、需要有辅助光照半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足果树生长的需要，该光源照射范围是，点E，F在直径AB上，且（1）若，求AE的长；（2）设ACE=，求该空地种植果树的最大面积22. 已知数列an和bn满足a1a2a3an=（nN*）若an为等比数列，且a1=2，b3=6+b2（）求an和bn；（）设cn=（nN*）记数列cn的前n项和为Sn（i）求Sn；（ii）求正整数k，使得对任意nN*均有SkSn答案和解析1.【答案】D【解析】解：原不等式可转化为x（x+2）（x-3）0，结合数轴标根法可得，x3或-2x0即不等式的解集为x|x3或-2x0故选：D先把分式不等式转化为高次不等式，然后结合数轴
7、标根法即可求解本题主要考查了高次不等式的求解，体现了转化思想的应用，属于基础试题2.【答案】A【解析】解：因为an+2+2an+1=15an，所以anq2+2qan=15an，q2+2q-15=0，解可得，q=3或q=-5（舍），若a1=1，则S6=364故选：A由已知结合等比数列的性质可求q，然后代入等比数列的求和公式即可求解本题主要考查了等比数列的性质及求和公式的简单应用，属于基础试题3.【答案】B【解析】解：直线ax+by=c化为ab0，bc0，0，0，直线通过第一、二、四象限故选：B利用直线斜率与截距的意义即可得出本题考查了直线斜率与截距的意义，属于基础题4.【答案】D【解析】解：由题
8、意可知，是方程式cx2+5x+a=0的根，且a0，所以，解可得c=-6，a=-1故选：D由题意可知，是方程式cx2+5x+a=0的根，且a0，结合方程的根与系数关系可求本题主要考查了二次不等式的解集与二次方程的根的关系的应用，属于基础试题5.【答案】A【解析】解：数列an为等比数列，设公比为q，其中a5，a9为方程x2+2019x+9=0的二根，a5+a9=+a7q2=-2019，a70再根据a5a9=9，a7=-3，故选：A由题意利用韦达定理、等比数列的性质，求得a7的值本题主要考查韦达定理、等比数列的性质，属于基础题6.【答案】C【解析】【分析】根据直线过点（1，2），求出a，b的关系利用
9、“乘1法”与基本不等式的性质即可得出本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题【解答】解：直线2ax+by-2=0（a0，b0）过点（1，2），可得：2a+2b=2，即a+b=1则=（）（a+b）=2+=4当且仅当a=b=时取等号的最小值为4故选：C7.【答案】A【解析】解：由，得：=-，即tan（A+B）=-，A+B=120，C=60，又sinBcosB=，sin2B=，则2B=60或2B=120，即B=30或B=60，若B=30，则A=90，tanA不存在，不合题意；若B=60，则A=C=60，ABC为正三角形故选：A利用两角和的正切求得A+B，再由倍角公式求得B，则答案可求本题考
10、查三角形形状的判定，考查了两角和的正切及倍角公式的应用，是基础题8.【答案】D【解析】解：数列an满足an+2=an+1-an，则有an+3=an+2-an+1，an+3=-an，an+6=an，故数列an是周期为6的周期数列a1=2，a2=3，a3=1，a4=-2，a5=-3，a6=-1，Sn为数列an的前n项和，则S2019=336（a1+a2+a3+a4+a5+a6）+（a1+a2+a3）=6故选：D数列an满足an+2=an+1-an，则有an+3=an+2-an+1，即可得an+3=-an，an+6=an，求得数列an是周期为6的周期数列，只需求出前6项即可本题考查了数列的周期性，考
11、查了归纳推理，属于中档题9.【答案】C【解析】解：在ABC中，b=19，c=20，B=60，由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得：361=400+a2-2a20cos60，得：a2-20a+39=0，（*）=202-4139=2440，且两根之和、两根之积都为正数，方程（*）有两个不相等的正实数根，即有两个边a满足题中的条件由此可得满足条件的ABC有两个解故选：C据余弦定理b2=a2+c2-2accosB的式子，代入题中数据化简得c2-20c+39=0，由根的判别式与韦达定理得到该方程有两个不相等的正实数根，由此可得ABC有两个解本题给出三角形的两条边和其中一边的对角，判断三角形解的
12、个数着重考查了利用余弦定理解三角形、一元二次方程根的判断式与韦达定理等知识，属于基础题10.【答案】A【解析】【分析】本题考查了正余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基础题.利用三角形面积公式求c=4，利用余弦定理求a，再借助正弦定理求解.【解答】解：A=60，b=1，SABC=bcsinA=，c=4，a2=b2+c2-2bccosA=1+16-2=13，a=，=故选A11.【答案】A【解析】解：由题意可得，tanA=2，tanB=3，故tan（A+B）=-1，0A+B，A+B=，C=；又tanA0，tanB0，0A，0B，0A，0B，故ABC为锐角三角形故选：A首先，由等差数列的通项公式和等
13、比数列的通项公式，结合已知可得tanA=2，tanB=3，然后利用两角和的正切公式可求出tan（A+B）=-1，从而求出C，再结合题意确定A、B的范围，从而确定ABC的形状本题通过解三角形问题，考查了等差数列和等比数列的通项公式，两角和的正切公式，综合性较强，难度中等12.【答案】B【解析】解：由令n=1得，所以a1=3或a1=0（舍）当n2时，-得即（an+an-1）（an-an-1）-3（an+an-1）=0因为an0，上式可化为an-an-1=3故数列an是以3为首项，公差为3的等差数列，所以an=3n所以=所以+=因为xN*，Tx随着x的增大而增大，故x=1时T1=最小，所以若kTx恒
14、成立，则k的最大值为故选：B先令n=1求出a1，然后利用an=Sn-Sn-1求出an通项公式，再利用裂项法求出bn的前n项的和，借助于数列的单调性求出最值即可解决问题本题考查了数列由和求项的基本思路，裂项法求和以及不等式恒成立问题的思路是一道对数列与函数综合考查的题目注意弄清楚最后是求最大值还是最小值13.【答案】【解析】解：=absinC，tanC=1，C（0，）C=则cosC=故答案为：利用余弦定理、三角形面积计算公式可得=absinC，化简即可得出本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14.【答案】-【解析】解：把点的坐标代入方程可得：
15、a-3m+2a=0，解得a=m，故直线的方程可化为：mx+3my+2m=0，由因为m0，上式两边同除以m可得：x+3y+2=0，可得斜率为，故答案为：由题意可得a=m，代入方程并同除以m可得x+3y+2=0，即可得斜率本题考查直线方程的一般式，由点在直线上得出m的值是解决问题的关键，属基础题15.【答案】2.6【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列an，其中a1=3，公比为，其前n项和为An莞（植物名）的长度组成等比数列bn，其中b1=1，公比为2，其前n项和为Bn利用等比数列的前n项和公式及其对数的运算
16、性质即可得出【解答】解：设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列an，其中a1=3，公比为，其前n项和为An莞（植物名）的长度组成等比数列bn，其中b1=1，公比为2，其前n项和为Bn则An=，Bn=，由题意可得：=，化为2n+=7，解得2n=6，或2n=1（舍去）n=1+2.6估计2.6日蒲、莞长度相等，故答案为：2.616.【答案】【解析】解：当x0时，不符合条件；0x时，0sinx1，没有最小值；=2，当且仅当即ex=2时取等号，则=2，没有最小值；2，当且仅当x=即x=1时取等号故答案为：结合基本不等式，要注意检验一正，二定，三相等条件的检验即可判断本题主要考查了基本不等式求解最值成立条件
17、的检验，要注意一正，二定，三相等的检验17.【答案】解：（）由正弦定理可得sinB=2sinAsinB，sinB0，可得sinA=，A是锐角，A=（）A=，ABC的面积为=bcsinA=bc，bc=40，又b2+c2=89，由余弦定理可得a=7【解析】（）由已知利用正弦定理可得sinB=2sinAsinB，结合sinB0，可得sinA=，结合A是锐角，可求A的值（）由已知利用三角形的面积公式可求bc的值，进而根据余弦定理可求a的值本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18.【答案】解：（1）由题意，设等比数列an的公比为q，则
18、S3=a1+a2+a3=，S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=（a1+a2+a3）+a1q3+a2q3+a3q3=S3+S3q3=（1+q3）S3，（1+q3）=，解得q3=8，即q=2S3=a1+a2+a3=a1+2a1+4a1=7a1=，解得a1=，等比数列an的首项为，公比为2，an=2n-1=2n-2，nN*（2）由（1）知，bn=n-61+log2an=n-61+log22n-2=n-61+n-2=2n-63，故Tn=b1+b2+bn=（21-63）+（22-63）+（2n-63）=2（1+2+n）-63n=2-63n=n2-62n【解析】本题第（1）题先设等比数列an的公比为
19、q，然后根据等比数列的通项公式将S6转化成S3与q的表达式，然后代入具体数值进行计算可得q的值，再将q的值代入计算出首项a1值，即可计算出数列an的通项公式an；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列bn的通项公式，然后运用分组求和法计算前n项和Tn本题主要考查等比数列性质的应用，以及运用分组求和法求前n项和主要考查了方程思想，转化与化归思想，逻辑推理能力和数学运算能力本题属中档题19.【答案】解：（1）x2-2x-30，即（x-3）（x+1）0，解得x3或x-1，则原不等式的解集为x|x3或x-1；（2）对一切x1，不等式x2-2x-3（m+2）x-m-15恒成立，x2-4x+12m（x
20、-1），（x1），对一切x1，均有不等式m成立，而=（x-1）+-22-2=4（当x=4时等号成立），则m4，实数m的取值范围是（-，4【解析】（1）运用二次不等式的解法：因式分解，可得所求解集；（2）由题意可得对一切x1，均有不等式m成立，只需（）minm，对不等式的左边变形，结合基本不等式可得所求最小值，可得m的范围本题考查二次不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和参数分离，以及基本不等式，考查运算能力，属于中档题20.【答案】解：（1）由已知得Sn=-n2+4n当n2时，an=Sn-Sn-1=-2n+5又当n=1时，a1=S1=3，an=-2n+5（2）由已知得bn=2n
21、，anbn=（-2n+5）2n，Tn=32+14+（-1）8+（-2n+5）2n，2Tn=34+18+（-1）16+（-2n+5）2n+1，两式相减得Tn=-6+（23+24+2n-1）+（2n+5）n-1=（-2n+7）2n+1-14【解析】（1）先根据题设知Sn=-n2+4n，再利用an=Sn-Sn-1求得an，验证a1是符合，最后答案可得（2）由题设可知bn=2n，把an一同代入anbn然后用错位相减法求和本题主要考查了数列的递推式解决数列的通项公式和求和问题21.【答案】解：（1）由已知得ABC为直角三角形，因为AB=8，所以，AC=4，在ACE中，由余弦定理：CE2=AC2+AE2-
22、2ACAEcosA，且，所以13=16+AE2-4AE，解得AE=1或AE=3，（2）因为，所以ACE=，所以，在ACF中由正弦定理得：，所以，在ACE中，由正弦定理得：，所以，由于：，因为，所以，所以，所以当时，SECF取最大值为【解析】（1）由已知利用余弦定理，即可求AE的长；（2）设ACE=，求出CF，CE，利用三角形面积公式可求SCEF，求出最大值，即可求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的运用，考查三角形面积的计算，考查了正弦函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题22.【答案】解：（）a1a2a3an=（nN*），当n2
23、，nN*时，由知：，令n=3，则有b3=6+b2，a3=8an为等比数列，且a1=2，an的公比为q，则=4，由题意知an0，q0，q=2（nN*）又由a1a2a3an=（nN*）得：，bn=n（n+1）（nN*）（）（i）cn=Sn=c1+c2+c3+cn=；（ii）因为c1=0，c20，c30，c40；当n5时，而=0，得，所以，当n5时，cn0，综上，对任意nN*恒有S4Sn，故k=4【解析】本题考查了等比数列通项公式、求和公式，还考查了分组求和法、裂项求和法和猜想证明的思想，证明可以用二项式定理，还可以用数学归纳法本题计算量较大，思维层次高，要求学生有较高的分析问题解决问题的能力本题属于难题（）先利用前n项积与前（n-1）项积的关系，得到等比数列an的第三项的值，结合首项的值，求出通项an，然后现利用条件求出通项bn；（）（i）利用数列特征进行分组求和，一组用等比数列求和公式，另一组用裂项法求和，得出本小题结论；（ii）本小题可以采用猜想的方法，得到结论，再加以证明第11页，共11页
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