1、四川省泸县第五中学2021届高三数学上学期开学考试试题 理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，集合，则（）ABCD2已知复数满足（是虚数单位），则=（）ABCD3某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）ABCD4在等差数列中,，则（ ）A5B8C10D145设是定义在上周期为2的奇函数，当时，则（ ）ABCD6设为中边上的中点，且为边上靠近点的三等分点，则（ ）ABCD7甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁
2、看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ）A乙、丁可以知道自己的成绩B乙可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D丁可以知道四人的成绩8已知是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（ ）A，B，C，D，9已知向量与的夹角为，=2，=5，则在方向上的投影为( )ABCD10已知是抛物线上一点，为其焦点，为圆的圆心，则的最小值为（ ）A2B3C4D511已知为双曲线的右支上一点，分别为双曲线的左顶点和右焦点，线段的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为( )AB2C3D412已知，为中不同数字的种类，如，求所有的个的排列所得的的平均值为ABCD二、填空题：本题共4小题
3、，每小题5分，共20分。13若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 14圆心在直线上的圆C与轴交于两点，则圆C的方程为_15在单调递增，则的范围是_16已知函数，则满足的实数的取值范围是_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）设数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，若，成等比数列（）求及；（）设，设数列的前项和，证明：18（12分）某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，箱内有一个“”号球，两个“”号球，三个“”号球、四个无号球
4、，箱内有五个“”号球，五个“”号球，每次摸奖后放回，每位顾客消费额满元有一次箱内摸奖机会，消费额满元有一次箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“”号球奖元，“”号球奖元，“”号球奖元，摸得无号球则没有奖金（）经统计，顾客消费额服从正态分布，某天有位顾客，请估计消费额（单位：元）在区间内并中奖的人数.（结果四舍五入取整数）附：若，则，.（）某三位顾客各有一次箱内摸奖机会，求其中中奖人数的分布列.（III）某顾客消费额为元，有两种摸奖方法，方法一：三次箱内摸奖机会；方法二：一次箱内摸奖机会.请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大.19（12分）如图，正四棱柱中，点在上且. （）证明：平面；
5、 （）求二面角的余弦值.20（12分）已知抛物线，过点的直线与抛物线相切，设第一象限的切点为.（）证明：点在轴上的射影为焦点；（）若过点的直线与抛物线相交于两点，圆是以线段为直径的圆且过点，求直线与圆的方程.21（12分）已知函数 .（）当 时，讨论 的极值情况；（）若 ，求 的值.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修44：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，其中为参数，在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为， 直线的极坐标方程为.（）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；（）
6、若是曲线上的动点，为线段的中点.求点到直线的距离的最大值.23选修45：不等式选讲（10分）已知函数.（）解不等式；（）记函数的最小值为，若均为正实数，且，求的最小值.2020年四川省泸县第五中学高三开学考试理科数学参考答案1D2A3C4B5C6A7A8C9B10B11D12D1318014151617（1）设的公差为，由题意有，且，所以，；（2）因为，所以，.18详解：（1）依题意得，得，消费额在区间内的顾客有一次箱内摸奖机会，中奖率为人数约人其中中奖的人数约为人（2）三位顾客每人一次箱内摸奖中奖率都为，三人中中奖人数服从二项分布，故的分布列为（或）（或）（或）（或）（3）箱摸一次所得奖金的
7、期望为箱摸一次所得奖金的期望为方法一所得奖金的期望值为，方法二所得奖金的期望值为，所以这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大19以为坐标原点，射线为轴的正半轴，射线为轴的正半轴，射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，即可得出、，、(1)因为,，所以，因为，所以平面；(2)设向量是平面的法向量，则，故，.令，则，等于二面角的平面角，20（）由题意知可设过点的直线方程为，由消去整理得，又因为直线与抛物线相切，所以，解得当时，直线方程为，可得点坐标为，又因为焦点，所以点在轴上的射影为焦点（）设直线的方程为，由，其中恒成立.设，则，所以，由于圆是以线段为直径的圆过点，则，所以所以，解得或当时，直线的方程
8、为，圆的方程为；当时，直线的方程为，圆的方程为21（1） 因为，由得，或当时，单调递增，故无极值当时，,的关系如下表：+00+单调递增极大值单调递减极小值单调递增故有极大值，极小值当时，,的关系如下表：+00+单调递增极大值单调递减极小值单调递增故有极大值，极小值综上：当时，有极大值，极小值；当时，无极值；当时，有极大值，极小值（2）令，则（i）当时，所以当时，单调递减，所以，此时，不满足题意（ii）由于与有相同的单调性，因此，由（）知：当时，在上单调递增，又，所以当时，；当时，故当时，恒有，满足题意当时，在单调递减，所以当时，此时，不满足题意当时，在单调递减，所以当时，此时，不满足题意综上所述：22（1）直线的极坐标方程为，即.由，可得直线的直角坐标方程为.将曲线的参数方程消去参数，得曲线的普通方程为.（2）设 .点的极坐标化为直角坐标为.则.点到直线的距离 .即时，等号成立.点到直线的距离的最大值为.23（1），所以等价于或或，解得或，所以不等式的解集为或.（2）由（1）可知，当时，取得最小值，所以，即，由柯西不等式，整理得，当且仅当时，即时等号成立，所以的最小值为.