1、课时作业30平面向量数量积的应用一、选择题1(2020株洲模拟)在ABC中,()|2,则ABC的形状一定是(C)A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形解析:由()|2,得()0,即()0,20,A90.又根据已知条件不能得到|,故ABC一定是直角三角形2已知点A(2,0),B(3,0),动点P(x,y)满足x2,则点P的轨迹是(D)A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线解析:(2x,y),(3x,y),(2x)(3x)y2x2,y2x6,即点P的轨迹是抛物线3在ABCD中,|8,|6,N为DC的中点,2,则等于(C)A48 B36C24 D12解析:()()22826224,故选C4
2、已知向量m(1,cos),n(sin,2),且mn,则sin26cos2的值为(B)A B2C2 D2解析:由题意可得mnsin2cos0,则tan2,所以sin26cos22.故选B5已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个动点,若动点P满足(),(0,),则点P的轨迹一定通过ABC的(C)A内心 B外心C重心 D垂心解析:由原等式,得(),即(),根据平行四边形法则,知是ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应的2倍,所以点P的轨迹必过ABC的重心6(2020安徽江南十校联考)已知ABC中,AB6,AC3,N是边BC上的点,且2,O为ABC的外心,则的值为(D)A8 B10C
3、18 D9解析:由于2,则,取AB的中点为E,连接OE,由于O为ABC的外心,则,26218,同理可得232,所以18639,故选D7(2020广东广雅中学等四校联考)已知两个单位向量a,b的夹角为120,kR,则|akb|的最小值为(B)A BC1 D解析:两个单位向量a,b的夹角为120,|a|b|1,ab,|akb|,kR,当k时,|akb|取得最小值,故选B8(2020南昌测试)在梯形ABCD中,ABCD,CD1,ABBC2,BCD120,动点P和Q分别在线段BC和CD上,且,则的最大值为(D)A2 BC D解析:因为ABCD,CD1,ABBC2,BCD120,所以四边形ABCD是直角
4、梯形,且CM,BCM30,以AB所在直线为x轴,以AD所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,因为,动点P和Q分别在线段BC和CD上,则,B(2,0),P(2,),Q,所以(2,)54.令f()54且,由对勾函数性质可知,当1时可取得最大值,则f()maxf(1)54.二、填空题9已知O为ABC内一点,且20,则AOC与ABC的面积之比是12.解析:如图所示,取AC的中点D,2,O为BD的中点,面积之比为高之比即.10已知|a|2|b|,|b|0,且关于x的方程x2|a|xab0有两相等实根,则向量a与b的夹角是.解析:由已知可得|a|24ab0,即4|b|242|b|2cos0,cos
5、.又0,.11如图,A是半径为5的圆C上的一个定点,单位向量在A点处与圆C相切,点P是圆C上的一个动点,且点P与点A不重合,则的取值范围是5,5解析:如图所示,以AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系设点P(x,y),B(1,0),A(0,0),则(1,0),(x,y),所以(x,y)(1,0)x.因为点P在圆x2(y5)225上,所以5x5,即55.三、解答题12已知点P(0,3),点A在x轴上,点Q在y轴的正半轴上,点M满足0,当点A在x轴上移动时,求动点M的轨迹方程解:设M(x,y)为所求轨迹上任一点,设A(a,0),Q(0,b)(b0),则(a,3),(xa,y),
6、(x,by),由0,得a(xa)3y0.由,得(xa,y)(x,by),b0,y0,把a代入到中,得3y0,整理得yx2(x0)动点M的轨迹方程为yx2(x0)13在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量m,n(c,b2a),且mn0.(1)求角C的大小;(2)若点D为边AB上一点,且满足,|,c2,求ABC的面积解:(1)由题意知m(cosB,cosC),n(c,b2a),mn0,则ccosB(b2a)cosC0.在ABC中,由正弦定理得sinCcosB(sinB2sinA)cosC0,整理得sinCcosBsinBcosC2sinAcosC0,即sin(BC)2sinAco
7、sC故sinA2sinAcosC,又sinA0,cosC,C(0,),C.(2)由知,2,两边平方得4|2b2a22bacosACBb2a2ba28.又c2a2b22abcosACB,a2b2ab12.由得ab8,SABCabsinACB2.14(2020福建漳州月考)已知非零向量a,b,满足|a|2|b|,若函数f(x)x3|a|x2abx1在R上存在极值,则a和b夹角的取值范围为(B)A BC D解析:由题意可知,f(x)x2|a|xab,f(x)在R上存在极值,f(x)0在R上有两个不等实数根,|a|24ab0.设a与b的夹角为,则有|a|24|a|b|cos0,|a|4|b|cos,又知|a|2|b|,cos,又知0,即a与b夹角的取值范围为,故选B15已知|1,点C在线段AB上,且|的最小值为,求|t|(tR)的最小值解:|1,点O在线段AB的垂直平分线上点C在线段AB上,且|的最小值为,当C是AB的中点时|最小,此时|,与的夹角为60,的夹角为120.又|t|22t222t1t22t11cos120t2t12,当且仅当t时等号成立|t|2的最小值为,|t|的最小值为.