1、课时作业26正弦定理和余弦定理的应用一、选择题1如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的(D)A北偏东10 B北偏西10C南偏东80 D南偏西80解析：由条件及题图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B南偏西80.2一名学生在河岸上紧靠河边笔直行走，某时刻测得河对岸靠近河边处的参照物与学生前进方向成30角，前进200 m后，测得该参照物与前进方向成75角，则河的宽度为(A)A50(1) m B100(1) mC50 m D100 m解析：如图所示，在ABC中，BAC30，ACB
2、753045，AB200 m，由正弦定理，得BC100(m)，所以河的宽度为BCsin7510050(1)(m)3为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积是(D)A km2B km2C km2D km2解析：连接AC，根据余弦定理可得AC km，故ABC为直角三角形且ACB90，BAC30，故ADC为等腰三角形，设ADDCx km，根据余弦定理得x2x2x23，即x23(2)，所以所求的面积为13(2)(km2)4(2020四平质检)在ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边且A60，若SABC且2sinB3sinC，则ABC的周长等于(A)A5 B
3、12C10 D52解析：在ABC中，A60.2sinB3sinC，由正弦定理可得2b3c，再由SABCbcsinA，可得bc6，b3，c2.由余弦定理可得a2b2c22bccosA7，a，故ABC的周长为abc5，故选A5(2020安徽联考)如图，在ABC中，BDsinBCDsinC，BD2DC2，AD2，则ABC的面积为(B)A BC3 D3解析：过点D分别作AB和AC的垂线，垂足分别为E，F.由BDsinBCDsinC得DEDF，则AD为BAC的平分线，2，又cosADBcosADC0，即，解得AC2.则AB4.在ABC中，cosBAC，sinBAC，SABCABACsinBAC.6(20
4、20安徽名校联考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bc1，b2ccosA0，则当角B取得最大值时，ABC的周长为(A)A2B2C3D3解析：由题及正弦定理可得，sinB2sinCcosA0，即sin(AC)2sinCcosA0，得sinAcosC3sinCcosA，即tanA3tanC又cosA0.从而tanBtan(AC)，由基本不等式，得3tanC2 2，当且仅当tanC时等号成立，此时角B取得最大值，且tanBtanC，tanA，即bc，A120，又bc1，所以bc1，a，故ABC的周长为2.故选A二、填空题7如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面
5、内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB等于15.解析：在BCD中，CBD1801530135.由正弦定理得，所以BC15.在RtABC中，ABBCtanACB1515.8如图所示，在ABC中，C，BC4，点D在边AC上，ADDB，DEAB，E为垂足，若DE2，则cosA.解析：ADDB，AABD，BDC2A设ADBDx，在BCD中，可得.在AED中，可得.联立可得，解得cosA.9在ABC中，已知BC2，2，则ABC面积的最大值是.解析：由，得2()2，设|c，|b，则b2c28，又因为bccosA2，所以cosA，所以sin2A1
6、，设ABC的面积为S，则S2(bc)2sin2A(b2c24)，因为bc4，所以S23(当且仅当bc2时取等号)，所以S.所以ABC面积的最大值是.10(2020洛阳统考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且tanB，则的值是.解析：a，b，c成等比数列，b2ac，由正弦定理得sin2BsinAsinC，tanB，sinB，.三、解答题11在ABC中，AB6，AC4.(1)若sinB，求ABC的面积；(2)若2，AD3，求BC的长解：(1)由正弦定理得，所以sinC1，因为0C，所以C，所以BC2，所以SABC244.(2)设CDx，则BD2x，所以，解
7、得x，所以BC3DC3x.12(2020昆明质检)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2(cacosB)b.(1)求角A；(2)若a2，求ABC面积的取值范围解：(1)由2(cacosB)b及正弦定理得2(sinCsinAcosB)sinB，所以2sin(AB)2sinAcosBsinB，即2cosAsinBsinB，因为sinB0，所以cosA，又0A，所以A.(2)因为a2，所以正弦定理得b4sinB，c4sinC，所以SABCbcsinAbc，所以SABC4sinBsinC，因为C(AB)B，所以sinCsin，所以SABC4sinBsin4sinB，即SABC2sinB
8、cosB2sin2Bsin2Bcos2B2sin.因为0B，所以2B，所以sin1，所以0SABC2.即ABC面积的取值范围为(0,213线段的黄金分割点定义：若点C在线段AB上，且满足AC2BCAB，则称点C为线段AB的黄金分割点在ABC中，ABAC，A36，若角B的平分线交边AC于点D，则点D为边AC的黄金分割点利用上述结论，可以求出cos36(B)A BC D解析：设AB2，ADx，又ABAC，所以CD2x.由黄金分割点的定义可得AD2ACCD，即x22(2x)，解得AD1.在ABD中，由余弦定理得cos36.故选B14在ABC中，内角A，B，C满足2(tanBtanC)，则cosA的最
9、小值为.解析：由题意可得：2，即：2(sinBcosCsinCcosB)sinBsinC，2sinAsinBsinC，由正弦定理可得：2abc，由余弦定理有：cosA.当且仅当bc时等号成立据此可得：csA的最小值为.15平面四边形ABCD中，ABBC，A60，AB3，AD2.(1)求sinABD；(2)若cosBDC，求BCD的面积解：(1)在ABD中，A60，AB3，AD2，由余弦定理，得BD2AB2AD22ABADcosA9467，所以BD，由正弦定理，得，所以sinABD.(2)因为ABBC，所以ABC90，所以cosDBCsinABD，所以sinDBC.因为cosBDC，所以sinBDC.所以sinCsin(BDCDBC)sin(BDCDBC)sinBDCcosDBCcosBDCsinDBC.所以sinDBCsinC，所以DBCC，所以DCBD，所以SBCDDCBDsinBDC2.