1、62.2导数与函数的极值、最值第1课时函数的导数与极值学 习 目 标核 心 素 养1.理解极值、极值点的概念，明确极值存在的条件(易混点)2会求函数的极值(重点)3能利用导数解决与函数极值相关的综合问题(难点)1.通过学习函数的极值、极值点等概念，培养数学抽象素养2利用导数求函数的极值，提升逻辑推理、数学运算素养.在群山之中，某个山峰的顶端可能不是群山的最高点，但它一定是其附近的最高点；某个山谷，可能不是群山的最低点，但它一定是附近的最低点对于连续函数，有类似的性质“极大”与“极小”都是文艺复兴时期德意志库萨的尼古拉用语他认为一个事物，如果没有比它更大的事物存在，就叫做最大或极大他还认为上帝是
2、无限的极大，宇宙是相对的极大，而宇宙中的万物是极小1函数的极值一般地，设函数yf(x)的定义域为D，设x0D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有(1)f(x)f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极小值点，且f(x)在x0处取极小值极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小思考1：极大值一定比极小值大吗？提示不一定极值是一个局部性概念，是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大的或最小的，故极大值与极小值之间无法确定大小关系2函数的导数与极值一般地，设函数f(x)在x0处可导，且f(x0)0.(1)如果对于x0
3、左侧附近的任意x，都有f(x)0，对于x0右侧附近的任意x，都有f(x)0，那么此时x0是f(x)的极大值点(2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f(x)0，那么此时x0是f(x)的极小值点(3)如果f(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x0一定不是yf(x)的极值点思考2：“f(x0)0”是“x0是yf(x)的极值点”的什么条件？提示“f(x0)0”是“x0是yf(x)的极值点”的必要不充分条件如f(x)x3，由f(x)0得x0，但0不是f(x)x3的极值点1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)导数值为0的点一定是函数的极值点()(2)极大值一定比极小值大()
4、(3)函数f(x)有极值()(4)函数的极值点一定是其导函数的变号零点()答案(1)(2)(3)(4)2函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)()A无极大值点，有四个极小值点B有三个极大值点，两个极小值点C有两个极大值点，两个极小值点D有四个极大值点，无极小值点C设yf(x)的图像与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在xx1，xx3处取得极大值，在xx2，xx4处取得极小值3函数f(x)的极值点为()A0B1C0或1D1Df(x)x3x2x2(x1)，由f(x)0得x0或x1.又当x1时f(x)0，0x1时f(x)0，又x0时f(x
5、)0，1是f(x)的极小值点，x0不是函数的极值点4(一题两空)若可导函数f(x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，则f(1)_，1是函数f(x)的_值点0极大由题意可知，当x1时，f(x)0，当x1时，f(x)0，f(1)0,1是函数f(x)的极大值点求函数的极值或极值点【例1】求下列函数的极值(1)f(x)2x33x212x1；(2)f(x)x22ln x.解(1)函数f(x)2x33x212x1的定义域为R，f(x)6x26x126(x2)(x1)，令f(x)0，得x12，x21.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,1)1(1，)f(x)00f(x
6、)极大值21极小值6所以当x2时，f(x)取极大值21；当x1时，f(x)取极小值6.(2)函数f(x)x22ln x的定义域为(0，)，f(x)2x，令f(x)0，得x11，x21(舍去)当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值1因此当x1时，f(x)有极小值1，无极大值求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f(x).(2)求方程f(x)0的根.(3)利用f(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.1已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程
7、为y4x4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值解(1)f(x)ex(axb)aex2x4ex(axab)2x4，f(0)ab44，又f(0)b4，由可得ab4.(2)f(x)ex(4x4)x24x，则f(x)ex(4x8)2x44ex(x2)2(x2)(x2)(4ex2)令f(x)0，得x12，x2ln 2，当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)00f(x)极大值极小值f(x)在(，2)，(ln 2，)上单调递增，在(2，ln 2)上单调递减当x2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(2)4
8、(1e2).利用函数的极值求参数【例2】(一题两空)(1)已知函数f(x)x33ax2bxa2在x1处有极值0，则a_，b_.(2)若函数f(x)x3x2ax1有极值点，则a的取值范围为_(1)29(2)(，1)(1)f(x)3x26axb，且函数f(x)在x1处有极值0，即解得或当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3)当x(，3)时，f(x)0，此时f(x)为增函数；当x(3，1)时，f(x)0，此时f(x)为增函数故f(x)在x1处取得极小值，a2，b9.(2)f(x)x22x
9、a，由题意得方程x22xa0有两个不同的实数根，44a0，解得a1.已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.2已知函数f(x)的导函数f(x)a(x1)(xa)，若f(x)在xa处取到极大值，则a的取值范围是()A(，1)B(0，)C(0,1)D(1,0)Df(x)a(x1)(xa)，若a1，f(x)在(，a)上单调递减，在(a，1)上单调递增，f(x)在xa处取得极小值，与题意不符；若1a0，则f(x)在(
10、1，a)上单调递减，在(a，)上单调递增，与题意不符，故选D.函数极值的综合应用探究问题1如何画出函数f(x)2x33x236x16的大致图像提示f(x)6x26x366(x2x6)6(x3)(x2)由f(x)0，得x2或x3，函数f(x)的递增区间是(，2)和(3，)由f(x)0，得2x3，函数f(x)的递减区间是(2,3)由已知得f(2)60，f(3)65，f(0)16.结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图像如图所示(答案不唯一)2当a变化时，方程2x33x236x 16a有几解？提示方程2x33x236x16a解的个数问题可转化为函数ya与y2x33x236x16的图像有几个
11、交点的问题，结合探究1可知：(1)当a60或a65时， 方程2x33x236x16a有且只有一解；(2)当a60或a65时，方程2x33x236x16a有两解；(3)当65a60时，方程2x33x236x16a有三解【例3】已知函数f(x)x33xa(a为实数)，若方程f(x)0有三个不同实根，求实数a的取值范围思路点拨求出函数的极值，要使f(x)0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围解令f(x)3x233(x1)(x1)0，解得x11，x21.当x0；当1x1时，f(x)1时，f(x)0.所以当x1时，f(x)有极大值f(1)2a；当x1时，f(x)有极小值
12、f(1)2a.因为方程f(x)0有三个不同实根，所以yf(x)的图像与x轴有三个不同交点，如图由已知应有解得2a2，故实数a的取值范围是(2,2)1(变条件)本例中，若方程f(x)0恰有两个根，则实数a的值如何求解？解由例题，知函数的极大值f(1)2a，极小值f(1)2a，若f(x)0恰有两个根，则有2a0，或2a0，所以a2或a2.2(变条件)本例中，若方程f(x)0有且只有一个实根，求实数a的范围解由例题可知，要使方程f(x)0有且只有一个实根，只需2a0或2a0，即a2或a2.利用导数可以判断函数的单调性，并能在此基础上画出函数的大致图像，从直观上判断函数图像与x轴的交点或两个函数图像的
13、交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.1在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值2函数的极值是函数的局部性质可导函数f(x)在点xx0处取得极值的充要条件是f(x0)0且在xx0两侧f(x)符号相反3利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图像的交点问题1函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有()A1个 B2个 C3个 D4个B依题意，记函数yf(x)的图像与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当axx1时，f(x)0；
14、当x1xx2时，f(x)0；当x2xx4时，f(x)0；当x4xb时，f(x)0.因此，函数f(x)分别在xx1，xx4处取得极大值，选B.2函数yx33x29x(2x2)有()A极大值5，极小值27B极大值5，极小值11C极大值5，无极小值D极小值27，无极大值C令y3x26x90，得x1或x3.当x1或x3时，y0；当1x3时，y0.当x1时，函数有极大值5；3(2,2)，故无极小值3设函数f(x)xex，则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点D令yexxex(1x)ex0，得x1.当x1时，y0；当x1时，y0.故当x1时，y取得极小值4已知函数f(x)x33ax23(a2)x1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是_(，1)(2，)f(x)3x26ax3(a2)，函数f(x)既有极大值又有极小值，方程f(x)0有两个不相等的实根，36a236(a2)0，即a2a20，解得a2或a1.5已知函数yax3bx2，当x1时，有极大值3.(1)求实数a，b的值；(2)求函数y的极小值解(1)y3ax22bx.由题意，知即解得(2)由(1)知y6x39x2.所以y18x218x18x(x1)令y0，解得x11，x20.所以当x0时，y0；当0x0；当x1时，y0.所以当x0时，y有极小值，其极小值为0.