1、第十章电磁感应一、电磁感应现象1.产生感应电流的条件感应电流产生的条件是：穿过闭合电路的磁通量发生变化。以上表述是充分必要条件。不论什么情况，只要满足电路闭合和磁通量发生变化这两个条件，就必然产生感应电流；反之，只要产生了感应电流，那么电路一定是闭合的，穿过该电路的磁通量也一定发生了变化。当闭合电路的一部分导体在磁场中做切割磁感线的运动时，电路中有感应电流产生。这个表述是充分条件，不是必要的。在导体做切割磁感线运动时用它判定比较方便。2.感应电动势产生的条件。感应电动势产生的条件是：穿过电路的磁通量发生变化。这里不要求闭合。无论电路闭合与否，只要磁通量变化了，就一定有感应电动势产生。这好比一个
2、电源：不论外电路是否闭合，电动势总是存在的。但只有当外电路闭合时，电路中才会有电流。3.关于磁通量变化在匀强磁场中，磁通量=BSsin（是 B 与 S 的夹角），磁通量的变化=2-1有多种形式，主要有：S、不变，B 改变，这时=BSsinB、不变，S 改变，这时=SBsinB、S 不变，改变，这时=BS(sin2-sin1)当 B、S、中有两个或三个一起变化时，就要分别计算1、2，再求2-1了。在非匀强磁场中，磁通量变化比较复杂。有几种情况需要特别注意：如图所示，矩形线圈沿a b c 在条形磁铁附近移动，试判断穿过线圈的磁通量如何变化？如果线圈 M 沿条形磁铁轴线向右移动，穿过该线圈的磁通量如
3、何变化？（穿过上边线圈的磁通量由方向向上减小到零，再变为方向向下增大；右边线圈的磁通量由方向向下减小到零，再变为方向向上增大）如图所示，环形导线 a 中有顺时针方向的电流，a 环外有两个同心导线圈 b、c，与环形导线 a 在同一平面内。当 a 中的电流增大时，穿过线圈b、c 的磁通量各如何变化？在相同时间内哪一个变化更大？（b、c 线圈所围面积内的磁通量有向里的也有向外的，但向里的更多，所以总磁通量向里，a 中的电流增大时，总磁通量也向里增大。由于穿过 b 线圈向外的磁通量比穿过 c 线圈的少，所以穿过 b 线圈的磁通量更大，变化也更大。）如图所示，虚线圆 a 内有垂直于纸面向里的匀强磁场，虚
4、线圆 a 外是无磁场空间。环外有两个同心导线圈 b、c，与虚线圆 a 在同一平面内。当虚线圆 a 中的磁通量增大时，穿过线圈 b、c 的磁通量各如何变化？在相同时间内哪一个变化更大？（与的情况不同，b、c 线圈所围面积内都只有向里的磁通量，且大小相同。因此穿过它们的磁通量和磁通量变化都始终是相同的。）二、楞次定律abcbcabcacbMNS1.楞次定律感应电流具有这样的方向，即感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化。楞次定律解决的是感应电流的方向问题。它关系到两个磁场：感应电流的磁场（新产生的磁场）和引起感应电流的磁场（原来就有的磁场）。前者和后者的关系不是“同向”或“反向”的简单关
5、系，而是前者“阻碍”后者“变化”的关系。在应用楞次定律时一定要注意：“阻碍”不等于“反向”；“阻碍”不是“阻止”。从“阻碍磁通量变化”的角度来看，无论什么原因，只要使穿过电路的磁通量发生了变化，就一定有感应电动势产生。从“阻碍相对运动”的角度来看，楞次定律的这个结论可以用能量守恒来解释：既然有感应电流产生，就有其它能转化为电能。又由于感应电流是由相对运动引起的，所以只能是机械能转化为电能，因此机械能减少。磁场力对物体做负功，是阻力，表现出的现象就是“阻碍”相对运动。从“阻碍自身电流变化”的角度来看，就是自感现象。自感现象的应用和防止。应用：日光灯电路图及原理：灯管、镇流器和启动器的作用。防止：
6、定值电阻的双线绕法。2.右手定则。对一部分导线在磁场中切割磁感线产生感应电流的情况，右手定则和楞次定律的结论是完全一致的。这时，用右手定则更方便一些。3.楞次定律的应用。楞次定律的应用应该严格按以下四步进行：确定原磁场方向；判定原磁场如何变化（增大还是减小）；确定感应电流的磁场方向（增反减同）；根据安培定则判定感应电流的方向。例 1.如图所示，有两个同心导体圆环。内环中通有顺时针方向的电流，外环中原来无电流。当内环中电流逐渐增大时，外环中有无感应电流？方向如何？解：由于磁感线是闭合曲线，内环内部向里的磁感线条数和内环外部向外的所有磁感线条数相等，所以外环所围面积内（这里指包括内环圆面积在内的总
7、面积，而不只是环形区域的面积）的总磁通向里、增大，所以外环中感应电流磁场的方向为向外，由安培定则，外环中感应电流方向为逆时针。例 2.如图所示，闭合导体环固定。条形磁铁 S 极向下以初速度 v0沿过导体环圆心的竖直线下落过程，导体环中的感应电流方向如何？解：从“阻碍磁通量变化”来看，当条形磁铁的中心恰好位于线圈 M 所在的水平面时，磁铁内部向上的磁感线都穿过了线圈，而磁铁外部向下穿过线圈的磁通量最少，所以此时刻穿过线圈 M 的磁通量最大。因此全过程中原磁场方向向上，先增后减，感应电流磁场方向先下后上，感应电流先顺时针后逆时针。从“阻碍相对运动”来看，线圈对应该是先排斥（靠近阶段）后吸引（远离阶
8、段），把条形磁铁等效为螺线管，该螺线管中的电流是从上向下看逆时针方向的，根据“同向电流互相吸引，反向电流互相排斥”，感应电流方向应该是先顺时针后逆时针的，与前一种方法的结论相同。NSv0M220V例 3.如图所示，O1O2是矩形导线框 abcd 的对称轴，其左方有垂直于纸面向外的匀强磁场。以下哪些情况下 abcd 中有感应电流产生？方向如何？A.将 abcd 向纸外平移B.将 abcd 向右平移C.将 abcd 以 ab 为轴转动 60D.将 abcd 以 cd 为轴转动 60解：A、C 两种情况下穿过 abcd 的磁通量没有发生变化，无感应电流产生。B、D 两种情况下原磁通向外，减少，感应电
9、流磁场向外，感应电流方向为 abcd。例 4.如图所示装置中，cd 杆原来静止。当 ab 杆做如下那些运动时，cd 杆将向右移动？A.向右匀速运动B.向右加速运动C.向左加速运动D.向左减速运动解：.ab 匀速运动时，ab 中感应电流恒定，L1中磁通量不变，穿过 L2的磁通量不变化，L2中无感应电流产生，cd 保持静止，A 不正确；ab 向右加速运动时，L2中的磁通量向下，增大，通过 cd 的电流方向向下，cd 向右移动，B 正确；同理可得 C 不正确，D 正确。选 B、D例 5.如图所示，当磁铁绕 O1O2轴匀速转动时，矩形导线框（不考虑重力）将如何运动？解：本题分析方法很多，最简单的方法是
10、：从“阻碍相对运动”的角度来看，导线框一定会跟随条形磁铁同方向转动起来。如果不计一切摩擦阻力，最终导线框将和磁铁转动速度无限接近到可以认为相同；如果考虑摩擦阻力，则导线框的转速总比条形磁铁转速小些（线框始终受到安培力矩的作用，大小和摩擦力的阻力矩相等）。如果用“阻碍磁通量变化”来分析，结论是一样的，但是叙述要复杂得多。可见这类定性判断的题要灵活运用楞次定律的各种表达方式。例 6.如图所示，水平面上有两根平行导轨，上面放两根金属棒 a、b。当条形磁铁如图向下移动时（不到达导轨平面），a、b 将如何移动？解：若按常规用“阻碍磁通量变化”判断，则需要根据下端磁极的极性分别进行讨论，比较繁琐。而且在判
11、定 a、b 所受磁场力时。应该以磁极对它们的磁场力为主，不能以 a、b 间的磁场力为主（因为它们的移动方向由所受的合磁场的磁场力决定，而磁铁的磁场显然是起主要作用的）。如果注意到：磁铁向下插，通过闭合回路的磁通量增大，由=BS 可知磁通量有增大的趋势，因此 S 的相应变化应该是阻碍磁通量的增加，所以 a、b 将互相靠近。这样判定比较起来就简便得多。例 7.如图所示，绝缘水平面上有两个离得很近的导体环 a、b。将条形磁铁沿它们的正中向下移动（不到达该平面），a、b 将如何移动？解：根据=BS，磁铁向下移动过程中，B 增大，所以穿过每个环中的磁通量都有增大的趋势，由于 S 不可改变，为阻碍增大，导
12、体环应该尽量远离磁铁，所以 a、b 将相互远离。例8.如图所示，在条形磁铁从图示位置绕O1O2轴转动90的过程中，放在导轨右端附近的金属棒 ab 将如何移动？解：无论条形磁铁的哪个极为 N 极，也无论是顺时针转动还是逆时针a db cO1O2c a d bL2L1O1O2a ba bO1aO2b转动，在转动 90过程中，穿过闭合电路的磁通量总是增大的（条形磁铁内、外的磁感线条数相同但方向相反，在线框所围面积内的总磁通量和磁铁内部的磁感线方向相同且增大。而该位置闭合电路所围面积越大，总磁通量越小，所以为阻碍磁通量增大金属棒 ab 将向右移动。例 9.如图所示，a、b 灯分别标有“36V 40W”
13、和“36V 25W”，闭合电键，调节 R，使 a、b 都正常发光。这时断开电键后重做实验：电键闭合后看到的现象是什么？稳定后那只灯较亮？再断开电键，又将看到什么现象？解：重新闭合瞬间，由于电感线圈对电流增大的阻碍作用，a 将慢慢亮起来，而 b 立即变亮。这时 L 的作用相当于一个大电阻；稳定后两灯都正常发光，a 的额定功率大，所以较亮。这时 L 的作用相当于一只普通的电阻（就是该线圈的内阻）；断开瞬间，由于电感线圈对电流减小的阻碍作用，通过 a 的电流将逐渐减小，a 渐渐变暗到熄灭，而 abRL 组成同一个闭合回路，所以 b 灯也将逐渐变暗到熄灭，而且开始还会闪亮一下（因为原来有 IaIb），
14、并且通过 b的电流方向与原来的电流方向相反。这时 L 的作用相当于一个电源。（若将 a 灯的额定功率小于 b 灯，则断开电键后 b 灯不会出现“闪亮”现象。）例 10.如图所示，用丝线将一个闭合金属环悬于 O 点，虚线左边有垂直于纸面向外的匀强磁场，而右边没有磁场。金属环的摆动会很快停下来。试解释这一现象。若整个空间都有垂直于纸面向外的匀强磁场，会有这种现象吗？解：只有左边有匀强磁场，金属环在穿越磁场边界时（无论是进入还是穿出），由于磁通量发生变化，环内一定有感应电流产生。根据楞次定律，感应电流将会阻碍相对运动，所以摆动会很快停下来，这就是电磁阻尼现象。还可以用能量守恒来解释：有电流产生，就一
15、定有机械能向电能转化，摆的机械能将不断减小。若空间都有匀强磁场，穿过金属环的磁通量不变化，无感应电流，不会阻碍相对运动，摆动就不会很快停下来。三、法拉第电磁感应定律1.法拉第电磁感应定律电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比，即tkE，在国际单位制中可以证明其中的 k=1，所以有tE。对于 n 匝线圈有tnE。（平均值）将均匀电阻丝做成的边长为l的正方形线圈abcd从匀强磁场中向右匀速拉出过程，仅 ab 边上有感应电动势 E=Blv，ab 边相当于电源，另 3 边相当于外电路。ab 边两端的电压为 3Blv/4，另 3 边每边两端的电压均为Blv/4。将均匀电阻丝做成的边
16、长为 l 的正方形线圈 abcd 放在匀强磁场中，当磁感应强度均匀减小时，回路中有感应电动势产生，大小为 E=l 2(B/t)，这种情况下，每条边两端的电压 U=E/4-Ir=0 均为零。感应电流的电场线是封闭曲线，静电场的电场线是不封闭的，这一点和静电场不同。在导线切割磁感线产生感应电动势的情况下，由法拉第电磁感应定律可推导出感应电动势大小的表达式是：E=BLvsin（是 B 与 v 之间的夹角）。（瞬时值）OBabLRcBlabdBlvabcd例 11.如图所示，长 L1宽 L2的矩形线圈电阻为 R，处于磁感应强度为 B的匀强磁场边缘，线圈与磁感线垂直。求：将线圈以向右的速度 v 匀速拉出
17、磁场的过程中，拉力的大小 F；拉力的功率 P；拉力做的功 W；线圈中产生的电热 Q；通过线圈某一截面的电荷量 q。解：这是一道基本练习题，要注意计算中所用的边长是 L1 还是 L2，还应该思考一下这些物理量与速度 v 之间有什么关系。vRvLBFBILFREIvBLE22222,22222vRvLBFvPvRvLLBFLW12221vWQRtREtIq与 v 无关特别要注意电热 Q 和电荷 q 的区别，其中Rq与速度无关！例 12.如图所示，竖直放置的 U 形导轨宽为 L，上端串有电阻 R（其余导体部分的电阻都忽略不计）。磁感应强度为 B 的匀强磁场方向垂直于纸面向外。金属棒 ab 的质量为
18、m，与导轨接触良好，不计摩擦。从静止释放后ab 保持水平而下滑。试求 ab 下滑的最大速度 vm解：释放瞬间 ab 只受重力，开始向下加速运动。随着速度的增大，感应电动势 E、感应电流 I、安培力 F 都随之增大，加速度随之减小。当 F 增大到 F=mg 时，加速度变为零，这时 ab 达到最大速度。由mgRvLBFm 22，可得22LBmgRvm 这道题也是一个典型的习题。要注意该过程中的功能关系：重力做功的过程是重力势能向动能和电能转化的过程；安培力做功的过程是机械能向电能转化的过程；合外力（重力和安培力）做功的过程是动能增加的过程；电流做功的过程是电能向内能转化的过程。达到稳定速度后，重力
19、势能的减小全部转化为电能，电流做功又使电能全部转化为内能。这时重力的功率等于电功率也等于热功率。进一步讨论：如果在该图上端电阻的右边串联接一只电键，让 ab 下落一段距离后再闭合电键，那么闭合电键后 ab 的运动情况又将如何？（无论何时闭合电键，ab 可能先加速后匀速，也可能先减速后匀速，还可能闭合电键后就开始匀速运动，但最终稳定后的速度总是一样的）。例 13.如图所示，U 形导线框固定在水平面上，右端放有质量为 m 的金属棒 ab，ab 与导轨间的动摩擦因数为，它们围成的矩形边长分别为 L1、L2，回路的总电阻为 R。从 t=0 时刻起，在竖直向上方向加一个随时间均匀变化的匀强磁场 B=kt
20、，（k0）那么在 t 为多大时，金属棒开始移动？解：由tE=kL1L2 可知，回路中感应电动势是恒定的，电流大小也是恒定的，但由于安培力 F=BILB=ktt，所以安培力将随时间而增大。当安培力增大到等于最大静摩擦力时，ab 将开始向左移动。这时有：2212211,LLkmgRtmgRLkLLktFL1L2BvbaBL1L2Ra bm L2.转动产生的感应电动势转动轴与磁感线平行。如图，磁感应强度为 B 的匀强磁场方向垂直于纸面向外，长 L 的金属棒 oa 以 o 为轴在该平面内以角速度逆时针匀速转动。求金属棒中的感应电动势。在应用感应电动势的公式时，必须注意其中的速度 v 应该指导线上各点的
21、平均速度，在本题中应该是金属棒中点的速度，因此有2212LBLBLE。线圈的转动轴与磁感线垂直。如图，矩形线圈的长、宽分别为 L1、L2，所围面积为 S，向右的匀强磁场的磁感应强度为 B，线圈绕图示的轴以角速度匀速转动。线圈的 ab、cd 两边切割磁感线，产生的感应电动势相加可得 E=BS。如果线圈由 n 匝导线绕制而成，则 E=nBS。从图示位置开始计时，则感应电动势的瞬时值为 e=nBScost。该结论与线圈的形状和转动轴的具体位置无关（但是轴必须与 B 垂直）。实际上，这就是交流发电机发出的交流电的瞬时电动势公式。例 14.如图所示，xoy 坐标系 y 轴左侧和右侧分别有垂直于纸面向外、
22、向里的匀强磁场，磁感应强度均为 B，一个围成四分之一圆形的导体环 oab，其圆心在原点 o，半径为 R，开始时在第一象限。从t=0 起绕 o 点以角速度逆时针匀速转动。试画出环内感应电动势 E随时间 t 而变的函数图象（以顺时针电动势为正）。解：开始的四分之一周期内，oa、ob 中的感应电动势方向相同，大小应相加；第二个四分之一周期内穿过线圈的磁通量不变，因此感应电动势为零；第三个四分之一周期内感应电动势与第一个四分之一周期内大小相同而方向相反；第四个四分之一周期内感应电动势又为零。感应电动势的最大值为 Em=BR2，周期为 T=2/，图象如右。3.电磁感应中的能量守恒只要有感应电流产生，电磁
23、感应现象中总伴随着能量的转化。电磁感应的题目往往与能量守恒的知识相结合。这种综合是很重要的。要牢固树立起能量守恒的思想。例 15 如图所示，矩形线圈 abcd 质量为 m，宽为 d，在竖直平面内由静止自由下落。其下方有如图方向的匀强磁场，磁场上、下边界水平，宽度也为 d，线圈 ab 边刚进入磁场就开始做匀速运动，那么在线圈穿越磁场的全过程，产生了多少电热？解：ab 刚进入磁场就做匀速运动，说明安培力与重力刚好平衡，在下落2d 的过程中，重力势能全部转化为电能，电能又全部转化为电热，所以产生电热 Q=2mgd。例 16 如图所示，水平面上固定有平行导轨，磁感应强度为 B 的匀强磁场方向竖直向下。
24、同种合金做的导体棒 ab、cd 横截面积之比为 21，长度和导轨的宽均为 L，ab 的质量为 m,电阻为 r，开始时 ab、cd 都垂直于导轨静止，不计摩擦。给 ab 一个向右的瞬时冲量 I，在以后的运动中，cd 的最大速度 vm、最大加速度 am、o ava db cL1L2ByoxBaba bd cBa db cT 2TEtoEmRvlBF22产生的电热各是多少？解：给 ab 冲量后，ab 获得速度向右运动，回路中产生感应电流，cd 受安培力作用而加速，ab 受安培力而减速；当两者速度相等时，都开始做匀速运动。所以开始时 cd 的加速度最大，最终 cd 的速度最大。全过程系统动能的损失都转
25、化为电能，电能又转化为内能。由于 ab、cd 横截面积之比为 21，所以电阻之比为 12，根据 Q=I 2RtR，所以 cd 上产生的电热应该是回路中产生的全部电热的 2/3。又根据已知得 ab 的初速度为 v1=I/m，因此有：2/,2,1mFaBLIFrrEIBLvEm，解得rmILBam22232。最后的共同速度为 vm=2I/3m，系统动能损失为EK=I 2/6m，其中 cd 上产生电热 Q=I 2/9m例 16 如图所示，水平的平行虚线间距为 d=50cm，其间有 B=1.0T 的匀强磁场。一个正方形线圈边长为 l=10cm，线圈质量 m=100g，电阻为 R=0.020。开始时，线
26、圈的下边缘到磁场上边缘的距离为 h=80cm。将线圈由静止释放，其下边缘刚进入磁场和刚穿出磁场时的速度相等。取 g=10m/s2，求：线圈进入磁场过程中产生的电热 Q。线圈下边缘穿越磁场过程中的最小速度 v。线圈下边缘穿越磁场过程中加速度的最小值 a。解：由于线圈完全处于磁场中时不产生电热，所以线圈进入磁场过程中产生的电热 Q 就是线圈从图中 2 位置到 4 位置产生的电热，而 2、4位置动能相同，由能量守恒 Q=mgd=0.50J3 位置时线圈速度一定最小，而 3 到 4 线圈是自由落体运动因此有v02-v2=2g(d-l)，得 v=22 m/s 2 到 3 是减速过程，因此安培力减小，由 F-mg=ma 知加速度减小，到 3 位置时加速度最小，a=4.1m/s2hdl1234v0v0v