1、15.1 图形的轴对称第十五章轴对称15.1 图形的轴对称15.1 图形的轴对称我们生活在一个充满对称的世界中，自然界的许多动植物按对称形生长，许多建筑都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，我国的方块字中有些也具有对称性，对称给我们带来很多美的感受！与平移一样，轴对称也是一种基本的图形变化.本节我们类比研究平移的方法，研究轴对称及其性质.新课导入15.1 图形的轴对称学习目标1.能够识别轴对称图形，体会它在现实生活中的应用和价值.2.了解轴对称图形与两个图形成轴对称的定义、区别和联系.3.掌握线段垂直平分线的性质和判定.4.能用尺规准确地作出线段的垂直平分线，并会作轴对称图形及成
2、轴对称的两个图形的对称轴.15.1 图形的轴对称15.1.1 轴对称及其性质对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品中，都可以找到对称的例子.15.1 图形的轴对称观察下图是3种美丽的窗花，它们都是通过把一张纸对折，剪出一个图案(折痕处不要完全剪断)，再打开这张对折的纸得到的.观察这些窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗?共同特点：每个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合.15.1 图形的轴对称像窗花一样，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形(axisymmetric figure)，这条直线就是它的
3、对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点，这时，也说这个图形关于这条直线对称.你能再举出一些轴对称图形的例子吗?15.1 图形的轴对称观察下面的每对图形有什么共同特点?共同特点：每对图形沿着虚线折叠，左边的图形能与右边的图形重合.15.1 图形的轴对称把上图中的每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形能与右边的图形重合.像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称.同样地，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点.你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？请你标出上图中点A，B，C的对称点A，B
4、，C.15.1 图形的轴对称思考轴对称图形和两个图形成轴对称有什么区别和联系?区别：轴对称图形是一个图形，两个图形成轴对称指的是两个图形的位置关系.联系：把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形.15.1 图形的轴对称轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后，这个图形的两部分能够重合；两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合.把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形.下面，我们研究轴对称的性质.显然，成轴
5、对称的两个图形全等.接下来，类似于平移，我们研究图形变化前后对应点之间的关系.15.1 图形的轴对称探究如图，ABC 和ABC关于直线MN对称，点A，B，C分别是点A，B，C的对称点，线段 AA，BB，CC 与直线 MN 有什么关系?其他对称点呢？直线MN经过线段AA,BB,CC的中点，并且与这三条线段互相垂直.对于其他对称点，也有同样的结论.15.1 图形的轴对称右图中，点A与A是对称点，设AA交对称轴MN于点P，将ABC或ABC沿MN折叠后，点A与A重合.于是有AP=AP，MPA=MPA=90.对于其他对称点，如点B与B，点C与C也有同样的结论.因此，对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂
6、直于这条线段.这样，就得到轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分.15.1 图形的轴对称轴对称图形也具有类似的性质.例如右图，对称轴l垂直平分对称点所连接线段.AA，BB.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线(perpendicular bisector).由对称轴的性质可知，无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线.15.1 图形的轴对称1.如图所示的每个图形是轴对称图形吗?如果是，指出它的对称轴.当堂练习15.1 图形的轴对称解：(4)不是轴对称图形.(1)(2)(3)(5)都是轴对称
7、图形，它们的对称轴如图所示.15.1 图形的轴对称当堂练习2.如图所示的每幅图形中的两个图案是成轴对称的吗?如果是，指出它们的对称轴，并找出一对对称点.15.1 图形的轴对称解：(2)中的两个图案不是成轴对称的.(1)(3)中的两个图案是成轴对称的.对称轴是直线l，一对对称点A和A，如图所示.15.1 图形的轴对称当堂练习3.如图，线段AB与A B关于直线l对称，AA交直线l与点O，连接BO，BO.(1)图中相等的线段有：_,线段AA的垂直平分线是_;(2)OAB和OAB关于直线l_,OAB_OAB,ABO=_,AOB=_.AO=AO,AB=AB,BO=BO.直线l对称ABOAOB15.1 图
8、形的轴对称15.1.2 线段的垂直平分线轴对称图形的对称轴是连接其对称点的线段的垂直平分线，为作出对称轴，需要研究线段的垂直平分线的性质.我们类比角的平分线研究线段的垂直平分线.角的平分线的性质反映了角的平分线上的点到角两边的距离的关系，类似地，我们研究线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离的关系.15.1 图形的轴对称探究如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，在l上，分别比较点P1，P2，P3，与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现?点P1，P2，P3,与点A的距离和它们与点B的距离分别相等.15.1 图形的轴对称可以发现，P1A=P1B，P2A=P2B，P3A=P3
9、B，如果把线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3B都是重合的，因此它们也分别相等.由此猜想线段的垂直平分线有以下性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.通过证明两个三角形全等，可以证明这个性质.15.1 图形的轴对称如图，直线lAB，垂足为C，AC=CB，点P在l上.求证PA=PB.证明：当点P与点C不重合时，当点P与点C重合时，显然成立.15.1 图形的轴对称思考把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗?即如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢?15.1 图形的轴对称同样地，通过证明两个三角形全
10、等，可以得到：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.从上面两个结论可以看出，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.所以线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合.15.1 图形的轴对称思考分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系?你还学习过其他具有类似关系的命题吗?它们的题设和结论正好相反.如：命题:“同位角相等，两直线平行”与命题:“两直线平行，同位角相等”的题设、结论也正好相反.15.1 图形的轴对称这两个命题的题设、结论正好相反.我们把具有这种关系的两个命
11、题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题都是成立的;而命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立.15.1 图形的轴对称如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.在几何中，有许多互逆的定理.例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理，“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆定理.15.1 图形的轴对称当堂练习 1.如图，ADBC，B
12、D=DC，点C在AE的垂直平分线上.AB，AC，CE的长度有什么关系?AB+BD与DE有什么关系?15.1 图形的轴对称当堂练习2.如图，AB=AC，MB=MC.直线AM是线段BC的垂直平分线吗?为什么？解：直线AM是线段BC的垂直平分线.AB=AC,MB=MC.点A在线段BC的垂直平分线上，点M也在线段BC的垂直平分线上.线段BC的垂直平分线只有一条且两点确定一条直线.直线AM是线段BC的垂直平分线.15.1 图形的轴对称当堂练习3.写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立.(1)两直线平行，同位角相等；(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；(3)全等三角形的对应角相等.解：(
13、1)同位角相等，两直线平行.(成立)(2)如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等.(不成立)(3)对应角相等的两个三角形全等.(不成立)15.1 图形的轴对称思考如何利用直尺和圆规作线段的垂直平分线?如图，已知线段AB，要作线段AB的垂直平分线.由于“两点确定一条直线”，所以作线段AB的垂直平分线，关键是确定所求作的垂直平分线上的两个点.根据与A，B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，可以作出这样的两个点.也可以用这种方法确定线段的中点.15.1 图形的轴对称学习了线段的垂直平分线的作法，就可以作对称轴了.由于成轴对称的两个图形的对称轴是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线，所以只要任
14、意找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴.同样地，对于轴对称图形，只要任意找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴.15.1 图形的轴对称例如，对于图中的五角星，我们可以找出它的一对对称点A和A，连接AA，作出线段AA的垂直平分线l，则l就是这个五角星的一条对称轴.类似地，你能作出这个五角星的其他对称轴吗?利用作线段的垂直平分线，还可以完成其他尺规作图.15.1 图形的轴对称典例精析 例 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.已知：直线AB和AB外一点C.求作：AB的垂线，使它经过点C.分析：假设所求作直线已经作出，则它不仅
15、过点C与直线AB垂直，而且是连接AB上与垂足距离相等的两点的线段的垂直平分线.我们已经会作线段的垂直平分线，因此需要首先在直线 AB 上确定这两点.根据前面关于线段垂直平分线的定理，这两点只需满足与点C的距离相等即可.15.1 图形的轴对称由(1)可知，点C在线段DE的垂直平分线上，因而再作出与D，E距离相等的另一点F，就能得到线段DE的垂直平分线.15.1 图形的轴对称当堂练习1.作出下列各图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗?15.1 图形的轴对称解：如图所示.(第1,2,3,5个图形的画法不唯一)15.1 图形的轴对称当堂练习2.如图，与图形(1)成轴对称的是哪个图形?作出它们的对称轴？(1)(2)(3)(4)图形(2)15.1 图形的轴对称当堂练习 3.尺规作图：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线.15.1 图形的轴对称谢谢观看
