1、高三数学第一轮复习专题 平面向量加减与数乘运算第一部分 平面向量概念一、平面向量概念 ：1。向量定义： 既有大小，又有方向的量叫做向量。2。向量表示： 向量可用有向线段表示。 有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。 以A为起点，B为终点的有向线段，记为。 向量的大小，也是向量的长度，称为向量的模，记作：。3。零向量：长度为0的向量。 记作：。的方向是任意的。4。单位向量：长度等于1的向量。注意：每一个单位向量的方向是固定的。5。平行向量：方向相同或相反的非零向量。 规定：零向量与任一向量平行。，能得到吗？ 6。相等向量：长度相等且方向相同的向量。 在平面上，两个长度相等且方向相同的有向线段表
2、示同一个向量。7。共线向量：即平行向量。因为任一组平行向量都可依据相等向量的概念移动到同一直线上。例。判断下列说法是否正确：若，则； （ ）向量与是共线向量，则A,B,C,D四点必在同一条直线上；（ ）向量与是平行向量； （ ）任何两个单位向量都是相等向量； （ ）零向量只有大小没有方向； （ ）相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量； （ ）若，则； （ ）若向量不共线，则和都是非零向量；（ ）有相同起点的两个非零向量不平行。 （ ）答案：错 错 对 错 错 对 对 对 错第二部分 平面向量的加法运算一、向量的加法：1.三角形法则：（等效果，类比位移概念） 已知非零向量、，在平面内
3、任取一点A，作=，=，则向量叫做与的和，记作：。 即=+=。 作图特点： 第二个向量的起点是第一个向量的终点，向量的和为从第一个向量的起点指向第二个向量的终点。注意：字母运算特点与作图特点相同。 求向量和的运算，叫向量的加法。这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。如图：+=作图特点：后一个向量的起点是前一个向量的终点，向量的和为从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。对于与任一向量，规定：+ = 。2.平行四边形法则： 在平面内任取一点O，作= ，= ，以OA、OB为邻边作，则对角线就是与的和，即=+。这种作向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。作图特点：起点相同，和为从起点出发
4、的对角线。3.向量加法的应用：合成向量：向量运算。+= +=拆分向量：（和拆分）（和拆分相当于走路时“绕路”）=第三部分 平面向量减法运算二、向量的减法：1.相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。记作：。规定：零向量的相反向量仍为零向量。2.向量的减法：已知两向量、，在平面内任取一点O，作= ，= ，则。作图特点：起点相同，差的方向为由减向量终点指向被减向量终点。3.向量减法的应用：合成向量：向量运算。，拆分向量：（差拆分）=差拆分规则：O与终点字母组合，减去O与起点字母组合。三、几个重要结论：1.一般地，（、同向时右边取等号，反向时左边取等号）（、同向时左边取等号，反向时右边
5、取等号例1。若=8，=5，则的取值范围是（ C ）A。 B。 C。 D。 例2。若=3，=2，则的取值范围是（ A ）A。 B。 C。 D。 2.注意：向量不能比较大小，即使是同向也不行； 但可以相等。 例。若、满足，且、同向，则。（ ）第三部分 平面向量的数乘运算一、向量的数乘运算： =+=+=33方向与相同，长度为长度的3倍。 一般地，实数与向量的积是一个向量，记作：。它的长度和方向规定如下：（1）长度：；（2）方向：数乘运算的运算律：设、为实数，则有下列运算律：（1）（2）（3）例。计算：（1）（2）二、共线向量定理： 向量与非零向量共线，当且仅当有唯一一个实数，使得：。 称为基向量，用表示出来。例2。已知两非零向量、，作出，判断三点是否共线。解： 三点共线。注意：常用两向量共线证明三点共线。
