1、第二节 平面向量基本定理及坐标运算 备考方向明确 方向比努力更重要 复习目标学法指导1.平面向量基本定理(1)平面向量基本定理.(2)平面内所有向量的一组基底.(3)向量夹角的概念.2.平面向量的正交分解及坐标表示(1)正交分解的概念.(2)向量的坐标表示.3.平面向量的加、减与数乘运算的坐标表示.4.平面向量共线的坐标表示.1.平面向量基本定理在平面图形中的应用主要是利用线性法则进行向量的加法减法和数乘运算.2.数形结合,将平面向量转化为基底的和,要注意把握几何图形,了解几何图形中点的位置关系.3.学会转化常用基底,如三角形和平行四边形相邻的两边等.4.建立坐标系目的是几何图形运算转化为代数
2、运算,建立合适的坐标系能将复杂问题简单化.5.注重对问题的转化,将不熟悉的基底转化成熟悉的基底方便运算.知识链条完善 把散落的知识连起来 网络构建 一、平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的任意向量a,一对实数 1,2,使a=.其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.不共线 有且只有 1e1+2e2 1.概念理解(1)平面内的基底是不唯一的,同一向量在不同基底下的表示不相同,但基底确定后,表示唯一,即1和2唯一确定.(2)用平面向量基本定理可以将平面内任一向量分解成a=1e1+2e2的形式,这是线性运算的延伸.(3)可将向量的基
3、本定理和物理中“力的分解”相联系,加深理解.2.与平面向量基本定理相关联的结论(1)0不能作为基底.拓展空间(2)ABC 中,D 为 BC 的中点,则 AD=12(AB+AC).二、平面向量的正交分解 1.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 的向量,叫做把向量正交分解.2.平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个 i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj,这样,平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定,我们把 叫做向量a的坐标,记作 ,其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.互相
4、垂直 单位向量(x,y)a=(x,y)(2)若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB=(x2-x1,y2-y1).2.与向量的坐标表示相关联的结论(1)若 AB=(x1,y1),则 BA=(-x1,-y1).1.概念理解(1)正交分解是向量的一种特殊分解,是向量基本定理的一种特殊情况.(2)正交分解是将基底看作x轴正方向和y轴正方向上的单位向量,体现数学中将一般结论特殊化的思想.拓展空间(2)0=(0,0).(3)a=(x1,y1),则与 a 方向相同的单位向量 e=aa=（12211xxy,12211yxy）.三、平面向量的坐标运算及共线向量的坐标表示 1.平面向量的坐标运算(1)若
5、a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=(x1x2,y1y2).(2)若a=(x,y),则 a=(x,y).2.向量共线的充要条件的坐标表示 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abx1y2-x2y1=0.概念理解(1)向量共线常常解决交点坐标问题和三点共线问题,向量共线的充要条件表示为 x1y2-x2y1=0,但不能表示为12xx=12yy.拓展空间(2)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系,两个相等的向量,无论起点在什么位置,它们的坐标都是相同的.温故知新 在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A,B,C 三点满足OC=23 OA+13OB,则ACAB=
6、.解析:不妨设 A(1,0),B(0,1),所以 OC=（23,13）,所以|AC|=221133=23,|AB|=2,所以ACAB=13.答案:13 高频考点突破 在训练中掌握方法【例 1】(1)下列命题:平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.在ABC 中,向量 AB,BC 的夹角为ABC.若 a,b 不共线,且1a+1b=2a+2b,则1=2,1=2.其中错误的是 .考点一 平面向量基本定理概念理解 解析:(1)只有不共线的向量才能作为基底,所以错误,中两个向量的夹角指的是同起点两个向量之间的角,错误,正确.答案:(1)(2)在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 B
7、C 的中点,若 AC=AE+AF,其中,R,则+=.解析:(2)AE=AD+12 AB,AF=AB+12 AD,所以 AE+AF=32 AD+32 AB=32 AC,所以 AC=23 AE+23 AF.所以+=43.答案:(2)43 反思归纳 (1)平面向量基本定理中,作为基底的向量必须是不共线的;(2)基底选取的不同,要注意向量的表示也不相同,在平时的应用中,注意选取合理的基底能简化运算.迁移训练 在ABC 中,点 D 在线段 BC 的延长线上,且 BC=3 CD,点 O 在线段 CD 上(与点 C,D 不重合),若AO=x AB+(1-x)AC(xR),则 x 的取值范围是()(A)（0,
8、12）(B)（0,13）(C)（-12,0）(D)（-13,0）D 解析:依题意,设 BO=BC,其中 10),且 AB CD,则 2x+1y 的最小值等于()(A)2 (B)4 (C)8 (D)16 解析:由 AB CD 得 x-1+2y=0,即 x+2y=1.又 xy0,所以 2x+1y=（2x+1y）(x+2y)=4+4yx+xy 4+24=8.当且仅当 x=12,y=14时取等号.故选 C.C 课堂类题精练 在练习中体会学习的乐趣 类型一 平面向量基本定理的理解 1.若,是一组基底,向量=x+y(x,yR),则称(x,y)为向量在基底,下的坐标,现已知向量a在基底p=(1,-1),q=
9、(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为()(A)(2,0)(B)(0,-2)(C)(-2,0)(D)(0,2)D 解析:因为 a 在基底 p,q 下的坐标为(-2,2),即 a=-2p+2q=(2,4),令 a=xm+yn=(-x+y,x+2y),所以2,24,xyxy 即0,2.xy 所以 a 在基底 m,n 下的坐标为(0,2).故选 D.2.非零不共线向量 OA,OB,且 2 OP=x OA+y OB,若 PA=AB(R),则点Q(x,y)的轨迹方程是()(A)x+y-2=0(B)2x+y-1=0(C)x+2y-2=0(D)2x+y-
10、2=0 解析:PA=AB,得 OA-OP=(OB-OA),即 OP=(1+)OA-OB.又 2 OP=x OA+y OB,所以22,2,xy 消去得 x+y=2.故选 A.A 类型二 平面向量基本定理的应用 3.正三角形 ABC 内一点 M 满足 CM=m CA+n CB(m,nR),MCA=45,则 mn的值为()(A)3-1 (B)3+1(C)312 (D)312 D 解析:令 m CA=CD,n CB=CE,由已知 CM=m CA+n CB 可得 CM=CD+CE.根据向量加法的平行四边形法则可得四边形 CDME 为平行四边形.由已知可得MCD 中MCD=45,CMD=60-45,由正弦
11、定理可得 CDMD=sin 6045sin45=sin60 cos45cos60 sin45sin45=312,即 CDCE=312.由 m CA=CD,n CB=CE,得 m=CDCA,n=CECB,所以 mn=CDCACECB=CDCE CBCA=312 CBCA,因为ABC 为正三角形,所以 CB=CA.所以 mn=312.故选 D.类型三 平面向量的坐标运算 4.(2018嘉兴模拟)设 0 2,向量 a=(sin 2,cos ),b=(cos ,1),若 ab,则tan =.解析:由 ab 得 sin 2=cos2,又因为 0 2,cos 0,所以 2sin=cos,即 tan=12.答案:12 点击进入课时训练