1、第四章三角函数、解三角形第七节解三角形的综合应用A级基础过关|固根基|1.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10 B北偏西10C南偏东80 D南偏西80解析：选D由条件及题图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B南偏西80.2一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为()A15 km B30 kmC45 km D60 km解析：选B如图所示，依题意
2、有AB15460，DAC60，CBM15，所以MAB30，AMB45.在AMB中，由正弦定理，得，解得BM30，故选B.3如图，一条河的两岸平行，河的宽度d0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为()A8 km/h B6 km/hC2 km/h D10 km/h解析：选B设AB与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin ，从而cos ，t(h)，所以由余弦定理得12221，解得v6.4某船开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东6
3、0的方向航行15 km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是()A5 km B10 kmC5 km D5 km解析：选C作出示意图(如图)，点A为该船开始的位置，点B为灯塔的位置，点C为该船后来的位置，所以在ABC中，BAC603030，B120，AC15.由正弦定理，得，即BC5，即这时船与灯塔的距离是5 km.5一名学生在河岸上紧靠河边笔直行走，某时刻测得河对岸靠近河边处的参照物与学生前进方向成30角前进200 m后，测得该参照物与前进方向成75角，则河的宽度为()A50(1) m B100(1) mC50 m D100 m解析：选A如图所示，在ABC中，BAC30，ACB7530
4、45，AB200 m，由正弦定理，得BC100(m)，所以河的宽度为BCsin 7510050(1)(m)6海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，那么B岛和C岛间的距离是_ n mile.解析：如图，在ABC中，AB10，A60，B75，C45，由正弦定理，得，所以BC5(n mile)答案：57如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得CAB30，CBA75，AB120 m，则这条河的宽度为_解析：如图，在ABC中，过C作CDAB于D点，则CD为所求河的宽度在ABC中，因为CAB30，CBA75，
5、所以ACB75，所以ACAB120 m.在RtACD中，CDACsin CAD120sin 3060(m)，因此这条河的宽度为60 m.答案：60 m8如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75，从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，则山高MN_ m.解析：根据题图得，AC100 m.在MAC中，CMA180756045.由正弦定理得AM100 m.在AMN中，sin 60，所以MN100150(m)答案：1509(2019届湘东五校联考)已知函数f(x)sin 2xcos2x.(1)求f(x)的最小值，
6、并写出取得最小值时的自变量x的集合；(2)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c，f(C)0，若sin B2sin A，求a，b的值解：(1)f(x)sin 2xcos2xsin 2x1sin1.当2x2k，即xk(kZ)时，f(x)的最小值为2，此时自变量x的集合为xxk，kZ.(2)因为f(C)0，所以sin 10，又0C，所以2C，即C.在ABC中，sin B2sin A，由正弦定理知b2a，又c，所以由余弦定理知()2a2b22abcos ，即a2b2ab3，联立解得10某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45，距离为1
7、0 n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间解：如图所示，根据题意可知AC10，ACB120，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h，并在B处与渔轮相遇，则AB21t，BC9t，在ABC中，根据余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos 120，所以212t210281t22109t，即360t290t1000，解得t或t(舍去)所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 h.此时AB14，BC6.在ABC中，根据正弦定理，得，所以sin CAB，即CAB21.8或CA
8、B158.2(舍去)，即舰艇航行的方位角为4521.866.8.所以舰艇以66.8的方位角航行，需 h才能靠近渔轮.B级素养提升|练能力|11.如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)，AB5，BC8，CD3，DA5，且B与D互补，则AC的长为()A7 km B8 kmC9 km D6 km解析：选A在ABC及ACD中，由余弦定理得8252285cos(D)AC23252235cos D，解得cos D，所以AC7.12如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.
9、已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为()A50 米 B50 米C50 米 D50 米解析：选B设该扇形的半径为r米，如图，连接CO.由题意，得CD150 米，OD100 米，CDO60，在CDO中，CD2OD22CDODcos 60OC2，即150210022150100r2，解得r50.13在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若其面积Sb2sin A，角A的平分线AD交BC于点D，AD，a，则b_解析：由面积公式Sbcsin Ab2sin A，可得c2b，即2.由a，并结合角平分线定理可得，BD，C
10、D，在ABC中，由余弦定理得，cos B，在ABD中，cos B，即，化简得b21，解得b1.答案：114某港湾的平面示意图如图所示，O，A，B分别是海岸线l1，l2上的三个集镇，A位于O的正南方向6 km处，B位于O的北偏东60方向10 km处(1)求集镇A，B间的距离；(2)随着经济的发展，为缓解集镇O的交通压力，拟在海岸线l1，l2上分别修建码头M，N，开辟水上航线勘测时发现：以O为圆心，3 km为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行请确定码头M，N的位置，使得M，N之间的直线航线最短解：(1)在ABO中，OA6，OB10，AOB120，根据余弦定理，得AB2OA2OB22OAOBcos 120621022610196，所以AB14，故集镇A，B间的距离为14 km.(2)依题意得，直线MN必与圆O相切设切点为C，连接OC(图略)，则OCMN.设OMx，ONy，MNc，在OMN中，由MNOCOMONsin 120，得3cxysin 120，即xy2c，由余弦定理，得c2x2y22xycos 120x2y2xy3xy，所以c26c，解得c6.当且仅当xy6时，c取得最小值6.所以码头M，N与集镇O的距离均为6 km时，M，N之间的直线航线最短，最短距离为6 km.