1、11.1.4棱锥与棱台学 习 目 标核 心 素 养1.了解棱锥、棱台的定义和结构特征(重点)2掌握棱锥、棱台平行于底面的截面的性质(难点)3知道棱锥、棱台的表面积计算公式，能用公式解决简单的实际问题(重点、难点)1.通过棱锥、棱台的定义及结构特征的学习，培养数学抽象的核心素养2借助棱锥、棱台中的有关计算问题，提升数学运算的核心素养.我们见到的很多建筑物呈棱锥形状思考：观察棱锥的结构，你能给出一个几何体是棱锥的充要条件吗？1棱锥(1)棱锥的定义、分类、图形及表示棱锥图形及表示定义如果一个多面体有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥如图棱锥可记作：棱锥SABCD
2、或棱锥SAC相关概念底面(底)：是多边形的那个面；侧面：有公共顶点的各三角形；侧棱：相邻两侧面的公共边；顶点：各侧面的公共顶点；高：过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段(或它的长度)；侧面积：所有侧面的面积之和分类依据：底面多边形的边数；举例：三棱锥(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)(2)正棱锥的有关概念及其特征如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥，可以看出，正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高也都相等，称为棱锥的斜高2棱台(1)棱台的定义、分类、图形及表示棱台图形及表示定义一般地，用平行于棱锥底面的平面
3、去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台如图棱台可记作：棱台ABCDABCD相关概念上底面：原棱锥的截面；下底面：原棱锥的底面；侧面：其余各面；侧棱：相邻两侧面的公共边；顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点；高：过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)；侧面积：所有侧面的面积之和分类依据：由几棱锥截得；举例：三棱台(由三棱锥截得)、四棱台(由四棱锥截得)(2)正棱台的有关概念及其特征由正棱锥截得的棱台称为正棱台，不难看出，正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高；而且，正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的斜高
4、1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥()(2)棱台的侧棱长都相等 ()(3)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的()答案(1)(2)(3)2下面四个几何体中，是棱台的是()ABCDC棱台的侧棱延长后相交于同一点，故C正确3下面描述中，不是棱锥的结构特征的为()A三棱锥的四个面是三角形B棱锥都是有两个面互相平行的多边形C棱锥的侧面都是三角形D棱锥的侧棱相交于一点B根据棱锥的结构特征，知棱锥中不存在互相平行的多边形，故B错4已知正四棱锥的底面边长是2，高为，则这个正四棱锥的全面积是_84如图所示，由题
5、意，得AO，OB1，则AB2，又QR2，所以SAQR222，则这个正四棱锥的全面积为242284.棱锥的结构特征【例1】有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？解不一定如图所示，将正方体ABCDA1B1C1D1截去两个三棱锥AA1B1D1和CB1C1D1，得如图所示的几何体，其中有一个面ABCD是四边形，其余各面都是三角形，但很明显这个几何体不是棱锥，因此有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥棱锥的三个本质特征(1)有一个面是多边形(2)其余各面是三角形(3)这些三角形有一个公共顶点1观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是()A是棱柱B不是棱锥C不是棱锥
6、D是棱台B显然是棱锥棱台的结构特征【例2】下列关于棱台的说法中，正确说法的序号是_(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；(3)棱台的各侧棱延长后必交于一点；(4)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥(2)(3)(1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；(2)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；(3)正确，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点；(4)错误，如图所示四棱锥被平面PBD截成的两部分都是棱锥棱台结构特征问题的判断方法(1)举反例法结合
7、棱台的定义举反例直接判断关于棱台结构特征的某些说法不正确(2)直接法棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点2判断图中的几何体是不是棱台？并说明为什么？解对于(1)(3)，几何体的“侧棱”不相交于一点，不是棱台；对于(4)，几何体不是由平行于棱锥底面的平面截得的几何体，从而(4)不是棱台；对于(2)，符合棱台的定义几何体的计算问题探究问题1计算正三棱锥中底面边长、斜高、高时，通常是将所求线段转化到直角三角形中，常用到的直角三角形有哪些？提示常用到的直角三角形有：由斜高、高、底面中心到边的距离构成的三角形；由高、侧棱和底面中心与底面
8、顶点的连线构成的三角形2其他正棱锥的计算是否与正三棱锥计算用同样的方法？提示是3正棱台中的计算呢？提示根据正棱锥与正棱台的关系，转化到直角梯形中求解【例3】正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，求正三棱锥的高思路探究正三棱锥侧棱、高和底面三角形外接圆半径组成直角三角形勾股定理求解解作出正三棱锥如图，SO为其高，连接AO，作ODAB于点D，则点D为AB的中点在RtADO中，AD，OAD30，故AO.在RtSAO中，SA2，AO，故SO3，其高为3.1将本例中“侧棱长为2”，改为“斜高为2”，则结论如何？解连接SD(图略)，在RtSDO中，SD2，DOAO，故SO.2将本例中“三棱锥”改为“四棱锥”
9、，如何解答？解如图正四棱锥SABCD中，SO为高，连接OC则SOC是直角三角形，由题意BC3，则OC，又因为SC2，则SO.故其高为.正棱锥、正棱台中的计算技巧(1)正棱锥中的直角三角形的应用已知正棱锥如图(以正四棱锥为例)，其高PO，底面为正方形，作PECD于E，则PE为斜高斜高、侧棱构成直角三角形，如图中RtPEC斜高、高构成直角三角形，如图中RtPOE.侧棱、高构成直角三角形，如图中RtPOC(2)正棱台中的直角梯形的应用已知正棱台如图(以正四棱台为例)，O1，O分别为上、下底面中心，作O1E1B1C1于E1，OEBC于E，则E1E为斜高，斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E1ECC1.
10、斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO.高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O1OCC1.知识：1棱柱、棱台、棱锥关系图2棱柱、棱锥、棱台的结构特征比较几何体结构棱柱棱锥棱台底面全等的多边形多边形相似的多边形侧面平行四边形三角形梯形侧棱平行且相等相交于顶点延长线交于一点平行于底面的截面与两个底面全等的多边形与底面相似的多边形与两个底面相似的多边形过不相邻两侧棱的截面平行四边形三角形梯形方法：棱锥、棱台中的计算问题的处理方法(1)求解此类问题的关键有两点：一是转化思想的应用；二是构造直角三角形、直角梯形立体几何问题的求解一般都是将问题转化为平面几何问题，用求解平面几何常用的方法进行求解(2)正
11、棱锥、正棱台的侧面积和表面积问题，经常涉及侧棱、高、斜高、底面边心距和底面外接圆半径五个量之间的关系，即由侧棱、高、底面外接圆半径所组成的直角三角形、直角梯形或由高、斜高、底面边心距所组成的直角三角形、直角梯形求出所需要的量，从而使问题得以解决. 1在三棱锥ABCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为()A1个 B2个 C3个 D4个D在三棱锥ABCD中，任何一个三角形都可作为棱锥的底面，所以有4个2下列说法正确的是()A底面是正多边形的棱锥是正棱锥B各侧棱都相等的棱锥为正棱锥C各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥D底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥D对于A，不能保证
12、顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心，故A说法错误；对于B，不能保证底面为正多边形，故B说法错误；对于C，不能保证这些全等的等腰三角形的腰都作为侧棱，故C说法错误只有D说法正确3如图，在三棱台ABCABC中，截去三棱锥AABC，则剩余部分是()A三棱锥 B四棱锥C三棱柱 D三棱台B剩余几何体为四棱锥ABCCB.4已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为_48正四棱锥的斜高h4，S侧46448.5画一个三棱台，再把它分成：(1)一个三棱柱和另一个多面体；(2)三个三棱锥，并用字母表示解画三棱台一定要利用三棱锥(1)如图所示，三棱柱是棱柱ABCABC，另一个多面体是CBBCCB.(2)如图所示，三个三棱锥分别是AABC，BABC，CABC
