1、第三章3.2.2(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1设ABCD，ABEF都是边长为1的正方形，FA面ABCD，则异面直线AC与BF所成的角等于()A45B30C90D60解析：以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BE为z轴建立空间直角坐标系则A(1,0,0)，C(0,1,0)，F(1,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)cos，.，120.AC与BF所成的角为60.答案：D2正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A. B.C.D.解析：建系如图，设正方体棱长为1，则(0,0,1)B1D面ACD1，取(1,1
2、,1)为面ACD1的法向量设BB1与面ACD1所成的角为，则sin ，cos .答案：D3如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA平面ABCD，PAADAC，点F为PC中点，则二面角CBFD的正切值为()A. B.C.D.解析：设ACBDO，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设PAADAC1，则BD，B，F，C，D.，且为平面BDF的一个法向量由，可得平面BCF的一个法向量n(1，)cosn，sinn，.tann，.答案：D4在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为()
3、A. B.C.D.解析：如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(2,0,0)，A1(2,0,4)，B1(2，2,4)，D1(0,0,4)，(2,2,0)，(2,0，4)，(0,0,4)，设n(x，y，z)是平面AB1D1的法向量，则n，n，即，令z1，则平面AB1D1的一个法向量为n(2，2,1)A1到平面AB1D1的距离为d.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5若两个平面，的法向量分别是n(1,0,1)，v(1,1,0)则这两个平面所成的锐二面角的度数是_解析：cosn，v.n，v120.答案：606已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的
4、中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为_解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设AB1.因为A1D平面ABC，ADBC，由AD，AA11知A1D.故A1.又A，B，cos.又CC1AA1，cos，cos，故异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)7如图所示，A1B1C1ABC是直三棱柱，ACB90，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，求BD1与AF1所成角的余弦值解析：方法一：取BC中点E，连接EF1，D1F1，D1F1綊B1C1，BE綊B1C1，D1F1綊BE，四边形BEF1D1是平行四边形，EF1BD1，AF1E是BD
5、1与AF1所成的角，连接AE，设BCCACC11，则AE ，AF1 ，EF1BD1 ，在AEF1中，由余弦定理得：cosAF1E.BD1与AF1所成角的余弦值为.方法二：如图所示，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设CBCACC11，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，D1，F1，则，|，|，则cos，BD1与AF1所成角的余弦值为.8如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PD平面ABCD，PDDC，E是PC的中点求EB与平面ABCD夹角的余弦值解析：取CD的中点M，则EMPD，又PD平面ABCD，EM平面ABCD，BE在平面AB
6、CD上的射影为BM，MBE为BE与平面ABCD的夹角，如图建立空间直角坐标系，设PDDC1，则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，M，E，cos，BE与平面ABCD夹角的余弦值为.9(10分)如下图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB4，AD3，AA12.E，F分别是线段AB，BC上的点，且EBFB1.(1)求二面角CDEC1的正切值；(2)求直线EC1与FD1所成角的余弦值解析：(1)如图，以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz，则有D(0,3,0)，D1(0,3,2)，E(3,0,0)，F(4,1,0)，C1(4,3,2)于是，(3，3,0)，(1,3,2)，(4,2,2)设向量n(x，y，z)与平面C1DE垂直，则有xyz.n(1，1,2)，其中z0.取n(1，1,2)，则n是平面C1DE的一个法向量向量(0,0,2)与平面CDE垂直，设二面角CDEC1的平面角大小为.由图知所求二面角为锐二面角，cos cosn，tan .(2)设EC1与FD1所成角为，则cos |cos，|.