1、2021年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高二期中联考数 学 试 题 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 角的终边经过点且，则的值为 AB C D第2题图2. 如图，在空间四边形各边上分别取点，若直线、相交于点，则A点必在直线上 B点必在直线上C点必在平面内 D点必在平面内3. 下
2、列命题中，正确的是A.垂直于同一个平面的两个平面平行B. 三个平面两两相交，则交线平行C.一个平面与两个平行平面相交，则交线平行D. 平行于同一条直线的两个平面平行4. 已知则“”是“”的 条件.A. 充分不必要 B必要不充分 C充要条件 D既不充分也不必要5. 设集合，则下列说法一定正确的是A若，则 B若，则C若，则有4个元素 D若，则6. 著名的天文学家、数学家约翰尼斯开普勒（Johannes Kepler）发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳中心处在椭圆的一个焦点上.记地球绕太阳运动的轨道为椭圆C，在地球绕太阳运动的过程中，
3、若地球轨道与太阳中心的最远距离与最近距离之比为2，则C的离心率为 AB C D7. 为庆祝中国共产党成立100周年，甲、乙、丙三个小组进行党史知识竞赛，每个小组各派5位同学参赛，若该组所有同学的得分都不低于7分，则称该组为“优秀小组”（满分为10分且得分都是整数），以下为三个小组的成绩数据，据此判断，一定是“优秀小组”的是甲：中位数为8，众数为7乙：中位数为8，平均数为8.4丙：平均数为8，方差小于2A. 甲 B乙 C丙 D无法确定8. 在棱长为2的正方体中，为的中点，点在正方体各棱及表面上运动且满足, 则点轨迹的面积为 AB C D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给
4、出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它说的是：任何一元次复系数多项式 在复数集中有个复数根（重根按重数计）.在复数集范围内，若的一个根，则=A0 B1 C2D310. 在中，则A BC外接圆直径是 D内切圆半径是 第11题图 11. 正方体中，分别为的中点，则下列结论正确的是A.B平面平面CD向量与向量的夹角是6012. 已知椭圆的左右焦点分别为是圆上且不在轴上的一点，的面积为，设的离心率为,则A. B. C. D. 三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13长轴长为4且一个焦点为的椭圆的
5、标准方程是 .14. 某圆柱的侧面展开图是面积为的正方形，则该圆柱一个底面的面积为 15. 在三棱锥中，是正三角形，平面 ，则三棱锥的外接球的表面积为 .16.若为的重心，则的最小值为 .四解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（10分）已知直线（1） 求证：直线过定点，并求出该定点.（2） 若直线与圆相切，求直线的方程.18.(12分)已知是三个内角的对边，且（1）求.（2）若，求周长的最大值.A1B1C1D1ABCD19 (12分)已知四棱柱的底面是边长为2 的菱形，且=（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.20 (12分) 已知，动点满
6、足： （1）求动点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线；（2）设动点的轨迹为，对上任意一点，在轴上是否存在一个与(为坐标原点)不重合的定点，使得为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，说明理由.21 (12分) 如图，周长为3cm圆形导轨上有三个等分点, 在点出发处放一颗珠子，珠子只 能沿导轨顺时针滚动. 现投掷一枚质地均匀的骰子.每当掷出3的倍数时，珠子滚动2cm后停止，每当掷出不是3的倍数时，珠子滚动1cm后停止.ABC(1) 求珠子恰好滚动一周后回到点的概率.(2) 求珠子恰好滚动两周后回到点（中途不在点停留）的概率.22（12分）已知椭圆：的离心率为，椭圆的短轴长等于4（1）求椭圆的标
7、准方程；xyBNMAPQO（2）设,过且斜率为的动直线与椭圆交于，两点，直线，分别交：于异于点的点，设直线的斜率为，直线，的斜率分别为求证：为定值； 求证：直线过定点.C 2021年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟” 高二期中联考数学参考答案123456789101112BBCCDBAAADACDABCACD一选择题： 三填空题： 四 解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.解：(1)由得1分 令得 3分故不管取任何实数，直线恒过定点（1，1） 4分（2） 由得平方得： 即 6分所以 8分故所求直线的方程为：10分（用点斜式方程并讨论斜率同样给分.） 18解
8、：（1）由得 2分故，4分又，故 6分（2）由及 8分故当且仅当时等号成立 10分故周长，即周长的最大值为12分19.解：（1）证明：设与的交点为，连接，因为，所以，所以，2分又因为是的中点，所以3分在中，在故在中，故故,故又，所以5分而，故平面 6分（2）（法一）连接，由（1）易知：平面，所以为直线与平面所成的角， 8分在中，故10分，所以. 12分 （法二）由（1）知：两两垂直，分别以为x,y,z轴建立空间直角坐标系，依题意，得，, 9分 平面的法向量为 10分所以即直线与平面所成的角的正弦值为. 12分20解： (1)设由有1分化简可得轨迹的方程为： 3分表示圆心为，半径为的圆 5分（2
9、）设则，设,7分要使为定值，则 9分11分故存在定点使得12分21.解：（1）设掷出3的倍数为事件, 掷出不是3的倍数记为事件,则 1分珠子恰好转一周回到A点包含的事件为（M,N）,(N,M),(N,N,N)且这三种情况互斥 3分故所求概率为 5分(2) 珠子滚两周回到A点，则必须经历以下三个步骤：A至C:此时概率为 7分C至B:掷出的必须是3的倍数，此时的概率为 9分B至A:概率与相同 11分又以上三个步骤相互独立，故所求概率为12分22.解：（1）由题意解得 所以椭圆的标准方程为：；4分 设MN的方程为，与联立得：，5分设，则6分 8分设PQ的方程为 ，与联立得，设，则9分 由11分 12分
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