1、第二节 函数的单调性与值域(一)备考方向明确 方向比努力更重要 复习目标学法指导1.增函数、减函数的概念.2.函数的单调性、单调区间.3.函数的最大值和最小值.1.单调性是研究函数中的变量之间的大小关系的重要指标,要学会从数与形两个角度理解与应用单调性.2.单调区间是单调性存在和应用的范围,要注意辨析其表述形式的差异,区分其意义的不同,能根据函数结构的不同求解单调区间.3.能依据函数式特征选择相应性质与方法求解值域(或最值).知识链条完善 把散落的知识连起来 一、函数的单调性 1.单调函数的定义 网络构建 增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意
2、两个自变量的值x1,x2当x1x2时,都有 ,那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时,都有 ,那么就说函数f(x)在区间D上是减函数f(x1)f(x2)上升的 下降的 2.单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间D上是 或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,叫做函数y=f(x)的单调区间.增函数 区间D 图象 描述 自左向右看图象是 .自左向右看图象是 .拓展空间 1.概念理解(1)单调性是函数的局部性质,是针对定义域I内某个区间D而言的,即DI;(2)定义的核心是判定两个不等关系的“异同”,标准是“同增异减”.(3)应用定义判定或证明函数的单调性时,
3、x1,x2必须表示任意的自变量,切忌用特殊值代替.(4)单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应用逗号间隔,一般不能用并集符号“”连接,也不能用“或”连接.(5)区分两种叙述形式:“函数在区间D上单调”与“函数的单调区间是D”,二者意义不同:前者中D是函数单调区间的子集,后者中D是函数唯一的单调区间.2.与判定函数单调性相关的结论(1)利用定义判断或证明函数的单调性的等价形式 设任意 x1,x2a,b且 x10 f(x)在a,b上是增函数;1212f xf xxx0 f(x)在a,b上是增函数;(x1-x2)f(x1)-f(x2)0)在公共定义域内与 1f x 的单调
4、性相反;与 f x 的单调性相同.(3)运算性质 若f(x),g(x)均是区间D上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间D上的增(减)函数.若k0,则kf(x)与f(x)的单调性相同;若k0 时,值域为244acba,+);当 a0且a1)的值域是(0,+).(5)y=log ax(a0且a1)的值域是R.(6)y=sin x,y=cos x的值域是-1,1.(7)y=tan x的值域是R.温故知新 1.下列函数中,在区间(0,+)上为增函数的是()(A)y=1x (B)y=(x-1)2(C)y=2-x (D)y=log0.5(x+1)A 解析:显然 y=1x 是(0,+)上的增函数;y
5、=(x-1)2在(0,1)上是减函数,在(1,+)上是增函数;y=2-x,即 y=(12)x在 R 上是减函数;y=log0.5(x+1)在(0,+)上是减函数.故选 A.2.设函数 f(x)在 R 上为增函数,则下列结论一定正确的是()(A)y=1f x 在 R 上为减函数(B)y=|f(x)|在 R 上为增函数(C)y=2-f(x)在 R 上为减函数(D)y=-f(x)3在 R 上为增函数 C 解析:根据题意,依次分析选项:对于 A,对于函数 f(x)=x,y=1f x=1x,在 R 上不是减函数,A 错误;对于 B,对于函数 f(x)=x,y=|f(x)|=|x|,在 R 上不是增函数,
6、B 错误;对于 C,令 t=f(x),则 y=2-f(x)=(12)f(x)=(12)t,t=f(x)在 R 上为增函数,y=(12)t在 R 上为减函数,则 y=2-f(x)在 R 上为减函数,C 正确;对于 D,对于函数 f(x)=x,y=-f(x)3=-x3,在 R 上为减函数,D 错误.故选 C.3.函数 y=x2-2ax+b 在(-,1上单调递减,则实数 a 的取值范围是 ;若其单调递减区间是(-,1),则实数 a 的值是 .解析:函数 y=x2-2ax+b 的递减区间是(-,a,所以(-,1 (-,a,故 a1.答案:1,+)1 4.已知函数 f(x)=x(2x-12x),若 f(
7、x-1)f(x),则 x 的取值范围是 .解析:当 x0 时,f(x)在(0,+)上递增,而 f(-x)=f(x),f(x)是偶函数,故 f(x)在(-,0)上是减函数,若 f(x-1)f(x),则|x-1|x|,即(x-1)2x2,解得 x0)在 x(-1,1)时的单调性.解:设-1x1x21,则 f(x1)-f(x2)=1211axx-2221axx =221212 12221211ax xaxax xaxxx=21122212111a xxx xxx.因为-1x1x20,x1x2+10,(21x-1)(22x-1)0.因此当 a0 时,f(x1)-f(x2)0,即 f(x1)f(x2),
8、此时函数 f(x)在(-1,1)上为减函数.反思归纳 利用定义判定函数单调性的步骤(1)取值:任取所给区间上两个变量x1,x2;(2)作差,若f(x)0(或0),也可以作商;(3)变形:化简后的代数式中须出现“x1-x2”;(4)定号:判定差的正负或商与1的大小,必要时分类讨论;(5)判定:注意完整的叙述.迁移训练 D 给出下列命题:函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的单调增区间是(-,0(0,+);若定义在R上的函数f(x),有f(-1)0,则函数f(x)在D上是增函数;闭区间上的单调函数,其最值一定在区间端点取到.其中正确的是()(A)(B)(C)(D)解析:错误.函数的单调递增区
9、间应为(-,0和(0,+).错误.f(-1)0,则x1x2时,f(x1)f(x2);x1x2时,f(x1)f(x2).正确.若函数在闭区间上单调,则其图象的最高、最低点一定在端点,即最值在端点取到.【例 2】(1)函数 f(x)=12log(x2-4)的单调递增区间为()(A)(0,+)(B)(-,0)(C)(2,+)(D)(-,-2)考点二 求函数的单调区间 解析:(1)函数 y=f(x)的定义域为(-,-2)(2,+),因为函数 y=f(x)是由 y=12log t 与 t=g(x)=x2-4 复合而成,又 y=12log t 在(0,+)上单调递减,g(x)在(-,-2)上单调递减,所以
10、函数 y=f(x)在(-,-2)上单调递增,故选 D.(2)函数 y=f(x)(xR)的图象如图所示,则函数 g(x)=f(log ax)(0a1)的单调减区间是()(A)0,12(B)a,1(C)(-,0)12,+)(D)a,1a 解析:(2)因为 u=logax(0a0,解得x2,故函数的定义域为x|x2,f(x)=ln t单调递增,根据复合函数单调性知原函数f(x)=ln(x2-3x+2)的递增区间是(2,+).故选D.1.f(x)=ln(x2-3x+2)的递增区间是()(A)(-,1)(B)(1,32)(C)(32,+)(D)(2,+)D 2.f(x)=|x2+x-6|的单调递增区间是
11、 .解析:数形结合得 f(x)的单调递增区间是(-3,-12),(2,+).答案:(-3,-12),(2,+)考点三 求函数的最值(值域)【例3】(1)f(x)=xlg x在区间2,10上的最大值为 ,最小值为 .解析:(1)g(x)=x在2,10上递增且为正数,h(x)=lg x在2,10递增且为正数,所以f(x)=xlg x在区间2,10上递增,所以最大值为f(10)=10,最小值为f(2)=2lg 2.答案:(1)10 2lg 2 (2)函数y=-x(x0)的最大值为 .解析:(2)令 t=x,则 t0,所以 y=t-t2=-212t+14,结合图象知,当 t=12,即 x=14时,ym
12、ax=14.答案:(2)14(3)函数 f(x)=281xx(x1)的最小值为 .解析:(3)f(x)=281xx=212191xxx =(x-1)+91x+2 2 911xx+2=8,当且仅当 x-1=91x,即 x=4 时,f(x)min=8.答案:(3)8 反思归纳 求函数最值(值域)的常用方法及适用类型(1)单调性法:易确定单调性的函数,利用单调性法研究函数最值(值域).(2)图象法:能作出图象的函数,用图象法,观察其图象最高点、最低点,求出最值(值域).(3)基本不等式法:分子、分母其中一个为一次,一个为二次函数结构以及两个变量(如x,y)的函数,一般通过变形使之具备“一正、二定、三
13、相等”的条件,用基本不等式法求最值(值域).(4)换元法:对解析式较复杂的函数,可通过换元转化为以上类型中的某种,再求解.用换元法时,一定要注意新“元”的范围.迁移训练 1.(2018台州模拟)若函数 f(x)=a-221x(aR)是奇函数,则 a=,函数 f(x)的值域为 .解析:函数 f(x)=a-221x(aR)是奇函数,f(-x)+f(x)=0,即 a-221x+a-221x =2a-(221x+221x )=2a+2 2121xx=0,解得 a=-1;令 y=-1-221x 1-2x=21y,即有 2x=11yy0,解得 y1 或 y0,所以 1+12x 1,所以 0211+2x2,
14、即函数 f(x)的值域为(0,2).令 x1x2,则 f(x1)-f(x2)=111221xx-221221xx=12122 2221 21xxxx 0,所以 x3,因为 y=1t=12t 在(0,+)上单调递减,且 t=x2-2x-3 在(-,-1)上单调递减,在(3,+)上单调递增.所以函数 f(x)=2123xx在(-,-1)上单调递增,在(3,+)上单调递减.【例 4】判断函数 f(x)=2123xx的单调性.易错分析 (1)易忽略函数的定义域,只求解二次函数的单调区间;(2)错用复合函数的单调性法则或错用“外层函数”的单调性.迁移训练 1.已知单调函数f(x),对任意的xR都有ff(
15、x)-2x=6,则f(2)等于()(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 解析:设t=f(x)-2x,f(t)=6,且f(x)=2x+t,令x=t,则f(t)=2t+t=6,因为f(x)是单调函数,所以t=2,即f(x)=2x+2,则f(2)=22+2=6.故选C.C 2.(2017丽水模拟)函数 y=2121xx为 函数(填“奇”或“偶”),函数 f(x)=221x+1的图象的对称中心为 .解析:y=2121xx的定义域为 R,记 g(x)=2121xx,则 g(-x)=2121xx=1221xx=-g(x),所以 g(x)即 y=2121xx是奇函数;函数 f(x)的定义域 R,f(-x)+f(x)=221x +1+221x+1=2 2121)xx+2=4,故 f(x)的对称中心为(0,2).答案:奇(0,2)点击进入课时训练
