1、第二课时求空间角与距离【选题明细表】知识点、方法题号利用向量求异面直线所成的角3利用向量求直线与平面所成的角2利用向量求二面角1,3,4利用向量求距离4综合应用51. (2016山东菏泽市高三上学期期末)如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的菱形,PA平面ABCD,ABC=60,E,F分别为BC,PC的中点.(1)判断AE与PD是否垂直,并说明理由;(2)若PA=2,求二面角EAFC的余弦值.解:(1)垂直.证明:由四边形ABCD为菱形,ABC=60,可得ABC为正三角形.因为E为BC的中点,所以AEBC,又BCAD,所以AEAD,因为PA平面ABCD,AE平面ABCD,所以P
2、AAE.而PA平面PAD,AD平面PAD,且PAAD=A,所以AE平面PAD.又PD平面PAD,所以AEPD.(2) 由(1)知AE,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,又E,F分别为BC,PC的中点,所以A(0,0,0),B(,-1,0),C(,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(,0,0),F(,1),所以=(,0,0),=(,1).设平面AEF的法向量为m=(x1,y1,z1),则因此取z1=-1,则m=(0,2,-1).因为BDAC,BDPA,PAAC=A,所以BD平面AFC,故为平面AFC的法向量,又=(-,3,0),所以cos=.因为二面
3、角E-AF-C为锐角,所以所求二面角的余弦值为.2. (2016山东日照市高三3月模拟)在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1为矩形,AB=2,AA1=2,D是AA1的中点,BD与AB1交于点O,且CO平面ABB1A1.(1)证明:BCAB1;(2)若OC=OA,求直线CD与平面ABC所成角的正弦值.(1)证明:由题意tan ABD=,tan AB1B=,又0ABD,AB1B,所以ABD=AB1B,所以AB1B+BAB1=ABD+BAB1=,所以AOB=,所以AB1BD.又CO平面ABB1A1,所以AB1CO,因为BD与CO交于点O,所以AB1平面CBD,又BC平面CBD,所以AB1
4、BC.(2)解:如图,以O为坐标原点,分别以OD,OB1,OC所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则A(0,-,0),B(-,0,0),C(0,0,),D(,0,0),=(-,0),=(0,),=(,0,-),设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则即令y=1,则z=-1,x=,所以平面ABC的一个法向量n=(,1,-1).设直线D与平面ABC所成角为,则sin =|cos|=为所求.3. (2016贵阳监测考试)如图,已知四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,ADBC,ADCD,且ABAC,AB=AC=PA=2,E是BC的中点.(1)求异面直线AE与PC所成的角
5、;(2)求二面角DPCA的平面角的余弦值.解: (1)如图所示,以A点为原点建立空间直角坐标系Axyz,则B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2).故E(1,1,0),=(1,1,0),=(0,2,-2),cos=,即=60,故异面直线AE与PC所成的角为60.(2)因为AB=AC=2,ABAC,所以ABC=ACB=45,因为ADBC,所以DAC=ACB=45,又ADCD,所以AD=CD=,所以D(-1,1,0),又C(0,2,0),所以=(-1,-1,0),=(0,2,-2).设n=(x,y,z)是平面PCD的法向量,则n,n,即n=0,n=0,所以令x=-1得y=1,z=1,则
6、n=(-1,1,1),|n|=.由题意得AB平面PAC,所以=(2,0,0)是平面PAC的一个法向量,所以cos=-,所以二面角D-PC-A的平面角的余弦值为.4. 导学号 18702411如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PD平面ABCD,底面ABCD是正方形,PD=AB=2,E为PC中点.(1)求证:DE平面PCB;(2)求点C到平面DEB的距离;(3)求二面角E-BD-P的余弦值.(1)证明:因为PD平面ABCD,所以PDBC.又正方形ABCD中,CDBC,PDCD=D,所以BC平面PCD.因为DE平面PCD,所以BCDE.因为PD=CD,E是PC的中点,所以DEPC.又因为PCBC=C
7、,所以DE平面PCB.(2)解:如图所示,过点C作CMBE于点M,由(1)知平面DEB平面PCB,因为平面DEB平面PCB=BE,所以CM平面DEB.所以线段CM的长度就是点C到平面DEB的距离.因为PD=AB=CD=2,PDC=90,所以PC=2,EC=,BC=2.由题意可证得BE=.所以CM=.(3)解:以点D为坐标原点,分别以直线DA,DC,DP为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),P(0,0,2),B(2,2,0),E(0,1,1),=(2,2,0),=(0,1,1).设平面BDE的法向量为n1=(x,y,z),则所以令z=1,得y=-1,x=1.所以平面
8、BDE的一个法向量为n1=(1,-1,1).又因为C(0,2,0),A(2,0,0),=(-2,2,0),且AC平面PDB,所以平面PDB的一个法向量为n2=(1,-1,0).设二面角E-BD-P的平面角为,则cos =.5. 导学号 18702412如图,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,ADC=90,ABCD,AD=DC=AB=,平面PBC平面ABCD.(1)求证:ACPB;(2)若PB=PC=,问在侧棱PB上是否存在一点M,使得二面角MADB的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.(1)证明:取AB的中点E,连接CE,因为ABCD,DC=AB,所以DCi
9、1712;AE,所以四边形AECD是平行四边形.又因为ADC=90,AD=DC=AE,所以四边形AECD是正方形,所以CEAB.所以CAB为等腰三角形,且CA=CB=2,AB=2,所以AC2+CB2=AB2,所以ACCB,又因为平面PBC平面ABCD,平面PBC平面ABCD=BC.所以AC平面PBC.又因为PB平面PBC,所以ACPB.(2)解:存在.设BC的中点为F,连接PF,因为PB=PC,所以PFBC,所以PF平面ABCD,所以PFAC,连接EF,则EFAC,所以PFFE,EFBC,分别以FE,FB,FP所在直线作为x轴,y轴,z轴,建立如图所示直角坐标系.因为AD=PB=PC=,则F(0,0,0),A(2,-1,0),B(0,1,0),D(1,-2,0),P(0,0,1).可得=(0,1,-1),=(-1,-1,0),=(0,0,1),若在线段PB上存在一点M,设=(01),因为=-,所以=+=(0,1,-1)+(0,0,1)=(0,1-).即M(0,1-),则=(1,-2-,-1+).设平面MAD的一个法向量为m=(x,y,z),则整理得令x=1,y=-1,则z=,所以m=.令n=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量,所以|cos|=.整理得32-7+2=0,解得=或2(舍去),所以存在点M,使得二面角MADB的余弦值为,且=.