1、2015-12 高二数月（文）12 第 1 页共 4 页PABCVEDFPACBNMABCDEABCDA1B1C1D1树德中学高2014级第三期12月阶段性考试数学(文科)试题满分：150 分考试时间：120 分钟命题人：黄波一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知直线 l 经过点 P(2,5)，且斜率为34，则直线 l 的方程为()A3x4y140 B3x4y140 C4x3y140 D4x3y1402.下列命题中，正确的是()A.若两个平面有三个公共点，则这两个平面重合B.经过一条直线和一点，有且只有一个平
2、面C.若平面 与平面 相交，则它们只有有限个公共点D.经过两条相交直线，有且只有一个平面3.如右图所示，正三棱锥 V-ABC 中，,D E F 分别是,VC VA AC 的中点，P 为 VB 上任意一点，则直线 DE 与 PF 所成的角的大小是()A030B060C090D随 P 点的变化而变化4.设 a、b、c 分别是ABC 中A、B、C 所对边的边长，则直线 xsinAayc0 与直线 bxysinBsin C0 的位置关系是()A平行B重合 C垂直D相交但不垂直5.如右图，ABCD-A1B1C1D1 为正方体，下面结论错误的是()A.BD平面 CB1D1 B.1AC BDC.AC1平面
3、CB1D1 D.111BCBCB D平面平面6.四面体 ABCD 四个面的重心分别为 E、F、G、H，则四面体 EFGH 的表面积与四面体 ABCD 的表面积的比值是()A 271B161C 91D 817.若不等式组502xyyax，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（）A5a B7aC57a D5a 或7a8.某几何体的三视图如右图所示,其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为()A.(4)33B.(4)3C.(8)32D.(8)369.设两圆 C1、C2 都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于()A4 B4 2C8 D8 210.如图，在直
4、棱柱 ABCA1B1C1 中，AC=BC=2，ACB=90，AA1=2 3，E，F 分别为 AB、CB 中点，过直线 EF 作棱柱的截面，若截面与平面 ABC所成的二面角的大小为 60，则截面的面积为()A3 或 1B1 C4 或 1D3 或 4 11.已知 ACBD、为圆 M:22(1)(1)4xy的两条相互垂直的弦，垂足为 2,21P,则四边形ABCD的面积的最小值是()A.4 B.3 2C.2 6D.512.如图，面 ACD 与面 BCD 的二面角为060，AC=AD，点 A 在面 BCD 的射影 E 是BCD 的垂心，CD=4，则三棱锥 A-BCD 的体积为()A3 3B 8 33C2
5、 3D缺条件二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在答题卷中的横线上)13.下图是一个算法的流程图，最后输出的 x 的值是14.设,x y 满足约束条件04312xyxxy，则231xyx的最大值是15.已知长方体 ABCDA1B1C1D1 中，棱长 AA1=5，AB=12，那么直线 B1C1 和平面 A1BCD1 的距离为16正三棱锥 PABC 中，CM=2PM，CN=2NB，对于以下结论：二面角 BPAC 大小的取值范围是（3，）；若 MNAM，则 PC 与平面 PAB 所成角的大小为2；过点 M 与异面直线 PA 和 BC 都成4 的直线有 3 条；若二面
6、角 BPAC 大小为 32，则过点 N 与平面 PAC 和平面 PAB 都成6 的直线有 3 条其中正确的命题是（写出所有正确命题的编号）C1B1A1CBAEFx=x-3是开始S=0 x=2输出 x结束S=S+x20?S 否2015-12 高二数月（文）12 第 2 页共 4 页三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分 10 分)(1)已知直线 l1：axby40，l2：(a1)xyb0，若直线 l1 与直线 l2 平行，且坐标原点到 l1，l2的距离相等.求 a,b 的值;(2)已知 ABC 的三个顶点分别是(1,5),(
7、5,5),(6,2)ABC,求它的外接圆的方程.18.(本小题满分 12 分)如图，在三棱锥 PABC中,2ACBC,PBCAC 平面,PAB是正三角形.（1）求证：PCAB;（2）求点C 到平面 APB 的距离;（3）求二面角 BAPC的正弦值.19.(本小题满分 12 分)已知圆22:(1)5C xy,直线:20l mxym.（1）求证：对 mR，直线l 与圆 C 总有两个不同的交点;（2）若过点(1,1)P的直线a 与圆C 交于不同的 A、B 两点，且满足 2APPB，求此时直线a 的方程.20.(本小题满分 12 分)如图，在三棱锥 PABC中,PAABC 底面,ACBC,H 为 PC
8、 的中点,M为 AH 的中点，2,1PAACBC.（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值；（3）在线段上是否存在一点 N,使平面，若存在,请求出 PNNB的值,若不存在,请说明理由.21.(本小题满分 14 分)已知C 过点,且与M:关于直线对称.(1)求C 的方程；(2)设为C 上的一个动点,求的最小值；(3)过点 P 作两条相异直线分别与C 相交于 A,B,且直线 PA 和直线 PB的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线AB 的斜率是否为定值,若是,求出定值,若不是,请说明理由.22.(本小题满分 14 分)如图，圆柱1OO 内有一个三棱柱111-ABC AB C，三棱柱的底面为
9、圆柱底面的内接三角形，且 AB 是圆 O的直径.（1）证明：平面11A ACC 平面11B BCC；（2）设12ABAA，点 C 为圆柱1OO 底面圆周上一动点，记三棱柱111-ABC AB C 的体积为V.求V 的最大值；记平面11A ACC 与平面1B OC 所成的角为(0 90)，当V 取最大值时，求cos 的值；当V 取最大值时，在三棱柱111-ABC AB C 的侧面11A ACC 内（包括边界）的动点 P 到直线11B C 的距离等于它到直线 AC 的距离，求动点 P 到点 C 距离|PC 的最值.AHPBCPMAHBPB/MNABC)1,1(P222(2)(2)(0)xyrr20
10、 xyQPQ MQACBP2015-12 高二数月（文）12 第 3 页共 4 页高 2014 级第三期 12 月阶段性考试数学（文科）答题卷非选择题(考生须用 0.5 毫米的黑色墨迹签字笔书写)二、填空题（每小题 4 分，共 16 分）13、14、15、16、三、解答题17、(10 分)请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效18、（12 分）请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效19、（12 分）请在各题目答题区域内作答，超出黑色
11、矩形边框限定区域的答案无效ACBP高 2014 级班姓名：考号：密封线2015-12 高二数月（文）12 第 4 页共 4 页请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效20、（12 分）请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效21、（14 分）请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效22、（14 分）请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效密封线内不要答题2015-12 高二数月（文）12 第 5
12、页共 4 页树德中学高2014级第三期12月阶段性考试数学（文科）参考答案一.选择题15 ADCCD 610 CCDCA 1112 AB 二.填空题13.1014.11 15.601316.三.解答题17.(1)l1l2，ab(a1)0，b a1a，故 l1 和 l2 的方程可分别表示为：(a1)xy4a1a0，(a1)xy a1a0，又原点到 l1 与 l2 的距离相等4a1aa1a，a2 或 a23，a2，b2 或 a23，b2.(2)设外接圆的方程为220 xyDxEyF,代入三点得50 550240 6202026504DE FEDE FFDE FD 即所求圆的方程是222242200
13、(2)(1)25xyxyxy(其它解法均可)18.（）取 AB 中点 D，连结 PDCD，APBP，PDABACBC，CDABPDCDD，AB 平面 PCDPC 平面 PCD，PCAB（）由（）知 AB 平面 PCD，平面 APB 平面 PCD过C 作CHPD，垂足为 H 平面 APB平面 PCDPD，CH 平面 APB CH的长即为点C 到平面 APB 的距离由（）知 PCAB，又 PCAC，且 ABACA，PC平面 ABC CD 平面 ABC，PCCD在 RtPCD中，122CDAB，362PDPB，222PCPDCD332PDCDPCCH点C 到平面 APB 的距离为 2 33（）ACB
14、C，APBP，APCBPC又 PCAC，PCBC又90ACB，即 ACBC，且 AC PC C，BC平面 PAC 取 AP 中点 E 连结 BECE，ABBP，BEAPEC 是 BE 在平面 PAC 内的射影，CEAPBEC是二面角 BAPC的平面角在BCE中，90BCE，2BC，362BEAB，6sin3BCBECBE二面角 BAPC的正弦值为63.19.(1)由直线:20(1)20l mxymm xy.因为mR所以1 012 02xxyy ,即直线恒过(1,2),又221(2 1)25,所以(1,2)恒在圆内所以直线l 与圆 C 总有两个不同的交点(2)若直线 a 的斜率不存在,即 A(1
15、,-1),B(1,3),此时 APPB,不满足条件,舍去若 直 线 a 的 斜 率 存 在,设:1(1)a yk x,即10kxyk,设 C 到 直 线 a 的 距 离 为21kdC Mk过圆心 C 作直线 a 的垂线交于 M,由11,32APAB AMAB,所以16PMAB,在直角三角形CMP 中,222CMPMCP,又22 5ABd,代入易得1k 所以所求直线 a 的方程为020 xyxy或20.（）证明：因为底面，底面，所以，又因为，所以平面，又因为平面，所以.因为是中点，所以，又因为，所以平面.（）解：在平面中，过点作因为平面，所以平面，由底面，得，两两垂直，所以以为原点，所在直线分别
16、为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，因为，由得令，得.设与平面成角为，因为，PA ABCBC ABCPABCACBCPAACABCPACAHPACBCAH，ACPAHPCAHPCPCBCCAHPBCABCA，BCAD/BCPACADPACPA ABCPAACADAADACAP(0,0,0)A(0,0,2)P(1,2,0)B(0,2,0)C(0,1,1)H1 1(0,)2 2MAHB(,)x y zn(0,1,1)AH(1,2,0)AB 0,0,AHAB nn0,20,yzxy 1z(2,1,1)nPMAHB)23,21,0(PMACBEPACBDPH2015-
17、12 高二数月（文）12 第 6 页共 4 页所以，即（）解：因为，所以，又因为，所以.因为平面，平面的法向量，所以，解得.所以3PNNB 21.(1)设圆心,则,解得则圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为(2)设,则,且=所以的最小值为(可由均值不等式或三角代换求得)(3)由题意知,直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设,由,得 因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得 同理,所以 22.（1）证明：1A A 平面 ABC，BCABC 平面，1A ABC。AB 是圆 O 的直径，BCAC。又111,ACA AABCA ACC 平面而11BCB BCC 平面，所以平面11A ACC 平
18、面11B BCC（2）解法一：由已知圆柱的底面半径为 1，故三棱柱111-ABC AB C 的体积122VAC BCAC BC。又2224ACBCAB2222ACBCAC BC，当且仅当2ACBC时等号成立。从而，max2V，当2ACBC时取得最大值解法二：由已知圆柱的底面半径为 1，故三棱柱111-ABC AB C 的体积122VAC BCAC BC。设(090)BAC ，则cos2cos,sin2sinACABBCAB。由于4sincos2sin22AC BC，当且仅当sin21 即45 时等号成立，故max2V由知，V 取最大值时，OCAB。于是，以 O 为坐标原点，OB 为 y 轴，O
19、O1 为 z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则1(1,0,0),(0,1,0),(0,1,2)CBB。11BCA ACC 平面，(1,1,0)BC是平面11A ACC 的一个法向量。设平面1B OC 的法向量(,)nx y z，由1020nOCrxryrznOB 得，故02xyz，取1z 得平面1B OC的一个法向量为(0,-2,1)n。因为0 90，所以210cos|cos,|5|52n BCrn BCnBCr以 C 为坐标原点，AC 为 x 轴正方向，1CC 为 y 轴正方向，建立平面直角坐标系 xCy，则设(,)P x y，(0,0)C，1(0,2)C，1(2,2)A，(2,0)A，动
20、点 P 到直线11B C 的距离即为1|PC，到直线 AC 的距离等于|y，所以22(2)|xyy，化简得动点 P 的轨迹方程为21(20)4xyx，其轨迹为以1CC的中点(0,1)为顶点，开口向上的抛物线的一段，20 x。所以，2222|44(2)8PCxyyyy，由20 x得312y，所以1y 时，min|1PC；32y 时，max17|2PC132 0(1)1()22sincos,562PMPMPM nnn2 15sin15(1,2,2)PB PNPB(,2,2)PN13(0,)22PM 1 3(,2,2)2 2MNPNPM/MNABCABC(0,0,2)AP 3 40MN AP 43C(,)a b222022212abba00ab C222xyrP22r C222xy(,)Q x y222xy(1,1)(2,2)PQ MQxyxy224xyxy2xyPQ MQ4PAPB:1(1)PA yk x:1(1)PB yk x 221(1)2yk xxy 222(1)2(1)(1)20kxkk xkP1x 22211Akkxk22211Bkkxk(1)(1)2()1BABABAABBABABAyyk xk xkk xxkxxxxxx2015-12 高二数月（文）12 第 7 页共 4 页
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