1、第4节直接证明与间接证明【选题明细表】知识点、方法题号综合法1,5,6,8,9,11,12分析法3,7,10反证法2,4基础对点练(时间:30分钟)1.命题“如果数列an的前n项和Sn=2n2-3n,那么数列an一定是等差数列”是否成立(B)(A)不成立(B)成立(C)不能断定(D)与n取值有关解析:因为Sn=2n2-3n,所以n=1时,a1=S1=-1,当n2时,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5,n=1时适合an,且an-an-1=4,故an为等差数列,即命题成立.故选B.2.用反证法证明某命题时,对结论“自然数a,b,c中恰有一个偶数”正确的反设是
2、(B)(A)自然数a,b,c中至少有两个偶数(B)自然数a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数(C)自然数a,b,c都是奇数(D)自然数a,b,c都是偶数解析:“恰有一个偶数”反面应是“至少有两个偶数或都是奇数”.故选B.3.设a=-,b=-,c=-,则a,b,c的大小顺序是(A)(A)abc(B)bca(C)cab(D)acb解析:因为a=-=,b=-=,c=-=,又因为+0,所以abc.4.设x,y,z0,则三个数+,+,+(C)(A)都大于2 (B)至少有一个大于2(C)至少有一个不小于2(D)至少有一个不大于2解析:假设三个数都小于2,则+6,由于+=(+)+(+)+(+)2+2+2=6
3、,所以假设不成立,所以+,+,+中至少有一个不小于2.故选C.5.(2016成都模拟)已知函数f(x)=()x,a,b是正实数,A=f(),B=f(),C=f(),则A,B,C的大小关系为(A)(A)ABC(B)ACB(C)BCA(D)CBA解析:因为,又f(x)=()x在R上是减函数,所以f()f()f(),即ABC.故选A.6.导学号 49612285设0x0,b0,a,b为常数,则+的最小值是(C)(A)4ab(B)2(a2+b2)(C)(a+b)2(D)(a-b)2解析:(+)(x+1-x)=a2+b2a2+b2+2ab=(a+b)2.当且仅当x=时,等号成立.故选C.7.设ab0,m
4、=-,n=,则m,n的大小关系是.解析:法一取a=2,b=1,得mn.法二-a0,显然成立,故mn.答案:mn8.已知点An(n,an)为函数y=图象上的点,Bn(n,bn)为函数y=x图象上的点,其中nN*,设cn=an-bn,则cn与cn+1的大小关系为.解析:由条件得cn=an-bn=-n=,所以cn随n的增大而减小.所以cn+1cn.答案:cn+1cn9.关于x的方程ax+a-1=0在区间(0,1)内有实根,则实数a的取值范围是.解析:(1)当a=0时,方程无解.(2)当a0时,令f(x)=ax+a-1,则f(x)在区间(0,1)上是单调函数,依题意,得f(0)f(1)0,所以(a-1
5、)(2a-1)0,所以abc,且a+b+c=0,求证0 (B)a-c0(C)(a-b)(a-c)0(D)(a-b)(a-c)bc,且a+b+c=0可得b=-a-c,a0,c0.要证a,只要证(-a-c)2-ac0,即证a(a-c)+(a+c)(a-c)0,即证a(a-c)-b(a-c)0,即证(a-c)(a-b)0.故求证“0.11.对于函数f(x),若a,b,cR,f(a),f(b),f(c)都是某一三角形的三边长,则称f(x)为“可构造三角形函数”.以下说法正确的是(D)(A)f(x)=1(xR)不是“可构造三角形函数”(B)“可构造三角形函数”一定是单调函数(C)f(x)=(xR)是“可
6、构造三角形函数”(D)若定义在R上的函数f(x)的值域是,e(e为自然对数的底数),则f(x)一定是“可构造三角形函数”解析:对于A选项,由题设所给的定义知,a,b,cR,f(a),f(b),f(c)都是某一正三角形的三边长,是“可构造三角形函数”,故A选项错误;对于B选项,由A选项判断过程知,B选项错误;对于C选项,当a=0,b=3,c=3时,f(a)=1f(b)+f(c)=,不构成三角形,故C错误;对于D选项,由于+e,可知,定义在R上的函数f(x)的值域是,e(e为自然对数的底数),则f(x)一定是“可构造三角形函数”.12.已知四棱锥SABCD中,底面是边长为1的正方形,又SB=SD=
7、,SA=1.(1)求证:SA平面ABCD;(2)在棱SC上是否存在异于S,C的点F,使得BF平面SAD?若存在,确定F点的位置;若不存在,请说明理由.(1)证明:由已知得SA2+AD2=SD2,所以SAAD.同理SAAB.又ABAD=A,所以SA平面ABCD.(2)解:假设在棱SC上存在异于S,C的点F,使得BF平面SAD.因为BCAD,BC平面SAD.所以BC平面SAD.而BCBF=B,所以平面SBC平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾,所以假设不成立.故不存在这样的点F,使得BF平面SAD.好题天天练1.已知三个不等式ab0;bcad.以其中两个作条件,余下一个作结论,则可
8、组成个正确命题.解题关键:-=.解析:此题共可组成三个命题即;.若ab0,则-=0,得bc-ad0,即可得命题正确;若ab0,bcad,则=-0,得,即命题正确;若bcad,则-=0,得ab0,即命题正确.综上可得正确的命题有三个.答案:三2.导学号 49612286凸函数的性质定理为:如果函数f(x)在区间D上是凸函数,则对于区间D内的任意x1,x2,xn,有f().已知函数y=sin x在区间(0,)上是凸函数,则在ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值为.解题关键:读懂凸函数的性质定理.解析:因为f(x)=sin x在区间(0,)上是凸函数,且A,B,C(0,),所以f()=f(),即sin A+sin B+sin C3sin =,所以sin A+sin B+sin C的最大值为.答案:3.(2016吉林白山三模)某珠宝店丢了一件珍贵珠宝,以下四人中只有一人说真话,只有一人偷了珠宝.甲:我没有偷;乙:丙是小偷;丙:丁是小偷;丁:我没有偷.根据以上条件,可以判断偷珠宝的人是.解题关键:正确运用反证法.解析:若甲说真话,则乙、丙、丁说假话,则丙、丁说的矛盾;若甲说假话,当乙说真话,丙、丁说的矛盾;当丙说真话时,甲、丁是小偷与题不符合;当丁说真话,则甲是小偷合题.答案:甲
