1、第4节三角函数的图象与性质【选题明细表】知识点、方法题号三角函数的定义域、值域、最值1,9三角函数的单调性、单调区间5,12三角函数的周期性、奇偶性、对称性2,3,4,7,8综合应用6,10,11,13,14,15,16基础对点练(时间:30分钟)1.函数y=的定义域为(C)(A)-,(B)k-,k+,kZ(C)2k-,2k+,kZ(D)R解析:因为cos x-0,得cos x,所以2k-x2k+,kZ.故选C.2.(2015四川卷)下列函数中,最小正周期为且图象关于原点对称的函数是(A)(A)y=cos(2x+) (B)y=sin(2x+)(C)y=sin 2x+cos 2x(D)y=sin
2、 x+cos x解析:选项A,y=cos(2x+)=-sin 2x,符合题意.3.(2016湖南长沙模拟)若函数y=cos(x+)(N*)图象的一个对称中心是(,0),则的最小值为(B)(A)1(B)2(C)4(D)8解析:由题意知+=+k,kZ,所以=6k+2,kZ,又N*,所以min=2.故选B.4.导学号 49612107已知sin =,且(,),函数f(x)=sin(x+)(0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于,则f()的值为(B)(A)-(B)-(C)(D)解析:根据函数f(x)=sin(x+)(0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于,可得=,所以=2.由sin =,且(,),
3、可得cos =-,所以f()=sin(+)=cos =-.故选B.5.已知f(x)=sin2x+sin xcos x,则f(x)的最小正周期和一个单调增区间分别为(C)(A),0,(B)2,(C),-, (D)2,-,解析:f(x)=sin2x+sin xcos x=+sin 2x=+(sin 2x-cos 2x)=+sin(2x-).所以T=.又因为2k-2x-2k+,kZ,所以k-xk+(kZ)为函数的单调递增区间.故选C.6.(2016龙岩质检)已知函数f(x)=|sin x|,下列结论中错误的是(B)(A)f(x)既是偶函数,又是周期函数(B)f(x)的最大值为(C)y=f(x)的图象
4、关于直线x=对称(D)y=f(x)的图象关于(,0)中心对称解析:f(-x)=|sin (-x)|=|sin x|=f(x),所以f(x)是偶函数,f(x+)=f(x),所以为周期函数,A选项正确;f(x)的最大值为1,B选项错误,C,D正确.7.导学号 49612108已知函数f(x)=Acos(x+)(A0,0,R),则“f(x)是奇函数”是“=”的条件.解析:若f(x)是奇函数,则=+k(kZ),当=时,f(x)为奇函数.答案:必要不充分8.函数y=sin(x+)(0,0)的最小正周期为,且函数图象关于点(-,0)对称,则函数的解析式为.解析:由题意知最小正周期T=,所以=2,2(-)+
5、=k,kZ,所以=k+,kZ,又0,所以=,所以y=sin(2x+).答案:y=sin(2x+)9.若f(x)=2sin x(01)在区间0,上的最大值是,则=.解析:由0x,得0x0),函数f(x)相邻两个零点之间的距离为,则下列为函数f(x)的单调递减区间的是(C)(A)0,(B),(C),(D),解析:由题可得=,所以=2.函数f(x)=3cos(-2x)=3cos(2x-).令2k2x-2k+,kZ,解得k+xk+,kZ,可得函数f(x)的减区间为k+,k+,kZ.故选C.13.已知函数y=sin x+cos x,y=2sin xcos x,则下列结论正确的是(C)(A)两个函数的图象
6、均关于点(-,0)成中心对称(B)两个函数的图象均关于直线x=-成轴对称(C)两个函数在区间(-,)上都是单调递增函数(D)两个函数的最小正周期相同解析:两个函数分别化简为y=sin(x+),y=sin 2x,函数y=sin(x+)的图象关于点(-,0)成中心对称,不关于x=-成轴对称,在(-,)上递增,最小正周期为2,函数y=sin 2x的图象关于直线x=-成轴对称,不关于(-,0)成中心对称,在(-,)上递增,最小正周期为,因此C是正确的.14.已知函数y=Acos(x+)(A0)在一个周期内的图象如图所示,其中P,Q分别是这段图象的最高点和最低点,M,N是图象与x轴的交点,且PMQ=90
7、,则A的值为.解析:由y=Acos(x+)知,函数的最小正周期T=4,设M(x0,0),则P(x0+3,A),Q(x0+1,-A),又PMQ=90,故kPMkQM=-1,解得A2=3,又A0,故A=.答案:15.(2016金华模拟)已知f(x)=2sin (2x+)+a+1(1)若xR,求f(x)的单调递增区间;(2)当x0,时,f(x)的最大值为4,求a的值;(3)在(2)的条件下,求满足f(x)=1且x-,的x集合.解:(1)由2k-2x+2k+,kZ,可得xk-,k+(kZ),所以f(x)的单调递增区间为k-,k+(kZ).(2)当x=时,f(x)取最大值f()=2sin +a+1=a+
8、3=4,所以a=1.(3)由f(x)=2sin (2x+)+2=1可得sin(2x+)=-,则2x+=+2k或2x+=+2k,kZ,即x=+k或x=+k,kZ,又x-,可解得x=-,-,所以x的集合为-,-,.16.设函数f(x)=sin2x+2sin xcos x-cos2x+(xR)的图象关于直线x=对称,其中,为常数,且(,1).(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若y=f(x)的图象经过点(,0),求函数f(x)的值域.解:(1)因为f(x)=sin2x-cos2x+2sin xcos x+=-cos 2x+sin 2x+=2sin(2x-)+,由直线x=是y=f(x)图象的一条对
9、称轴,可得sin(2-)=1.所以2-=k+(kZ),即=+(kZ).又(,1),kZ,所以=.所以f(x)的最小正周期是.(2)由y=f(x)的图象过点(,0),得f()=0,即=-2sin(-)=-2sin =-,故f(x)=2sin(x-)-,函数f(x)的值域为-2-,2-.好题天天练1.导学号 49612110若函数f(x)=sin(2x+)(|)的图象关于直线x=对称,且当x1,x2(-,-),x1x2时,f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)等于(C)(A) (B) (C) (D)解题关键:先由函数f(x)的图象关于直线x=对称求出的值,再由f(x)的对称性求f(x1+x2)
10、的值.解析:因为sin(2+)=1,所以=k+,kZ.又因为|0,- .若f(x)的最小正周期为6,且当x=时,f(x)取得最大值,则(A)(A)f(x)在区间-2,0上是增函数(B)f(x)在区间-3,-上是增函数(C)f(x)在区间3,5上是减函数(D)f(x)在区间4,6上是减函数解题关键:先由题中条件确定与的值,再验证各选项即可.解析:因为f(x)的最小正周期为6,所以=,因为当x=时,f(x)有最大值,所以+=+2k(kZ),=+2k(kZ),因为- ,所以=.所以f(x)=2sin(+),由此函数验证易得,在区间-2,0上是增函数,而在区间-3,-,3,5上不是单调函数,在区间4,6上是增函数.
